非線性時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性

倪郁東, 宋陽琴, 韓嬌杰

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

隨著脈沖系統(tǒng)在生物、物理、電子通信等各個(gè)方面的廣泛應(yīng)用,越來越多的學(xué)者對其展開研究。穩(wěn)定性是脈沖系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)特性之一,是脈沖系統(tǒng)正常工作的基本前提,因此研究脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一項(xiàng)重要的工作。脈沖系統(tǒng)包含系統(tǒng)狀態(tài)方程以及脈沖量方程。時(shí)滯指信號(hào)傳輸?shù)难舆t,不僅系統(tǒng)狀態(tài)中涉及時(shí)滯,脈沖量也與時(shí)滯有關(guān)。例如,在一個(gè)反應(yīng)堆中,試劑濃度的變化率不僅與當(dāng)前濃度有關(guān),與之前的濃度也相關(guān);同時(shí)為了控制反應(yīng)速度,每隔一段時(shí)間需加一次試劑,所加的試劑量作為脈沖量與當(dāng)前溶液濃度和之前溶液濃度都相關(guān)。因此,在研究脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性的過程中,需要考慮系統(tǒng)與脈沖同時(shí)帶有時(shí)滯的情況[1-3]。一般時(shí)滯脈沖系統(tǒng)表達(dá)形式為:

(1)

關(guān)于時(shí)滯脈沖微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究,Lyapunov-Razumikin是常用方法之一。首先構(gòu)造一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù),再運(yùn)用各種分析技巧,如線性不等式等,即可得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件[4-11]。通常所研究的時(shí)滯脈沖系統(tǒng)中,僅系統(tǒng)方程與時(shí)滯有關(guān)。文獻(xiàn)[5]研究了線性時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性,構(gòu)造了一個(gè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)數(shù)的V函數(shù),規(guī)定脈沖量非增,利用穩(wěn)定性的定義,證明了V函數(shù)是穩(wěn)定且吸引的,最后得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。文獻(xiàn)[6]分析了線性時(shí)滯系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性,構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)為V(t)=xT(t)v,再構(gòu)造函數(shù)W(t)=eγt×V(t);當(dāng)W(t)滿足導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí),按脈沖時(shí)刻分段證明W(t)的函數(shù)值的取值范圍,從而得到x(t)的指數(shù)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[10]的系統(tǒng)與脈沖中均帶有時(shí)滯,并且分析了線性與非線性2類時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性、一致漸近穩(wěn)定性以及全局指數(shù)穩(wěn)定性:首先構(gòu)造關(guān)于正定矩陣P的Lyapunov函數(shù),再利用矩陣特征值性質(zhì)、不等式性質(zhì)和范數(shù)性質(zhì)分析該函數(shù),通過穩(wěn)定性的定義得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。上述文獻(xiàn)證明系統(tǒng)穩(wěn)定所用的方法均為構(gòu)造Lyapunov函數(shù),再通過各種分析方法,利用穩(wěn)定性的定義得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

本文研究系統(tǒng)函數(shù)為f(t,x(t),x(t-r1))、脈沖函數(shù)為Bx(t-)+Cx(t--r2)和h(x(t-),x(t--r2))的非線性時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性:首先通過比較原理,構(gòu)造其比較系統(tǒng);再根據(jù)比較系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的分析,得到原系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件;最后用示例說明所得結(jié)論的有效性。

1 基本理論

定義1 設(shè)V:R+×Rn→R+,稱V屬于V0類,若V滿足下列條件:

(1)V在[τk-1,τk)×Rn(k=1,2,…)上連續(xù),且對任意x∈Rn,k=1,2,…,有

(2) 對?x,y∈Rn, ?L>0,有

|V(t,x)-V(t,y)|≤L‖x-y‖,

且對所有的t∈R+,有V(t,0)=0。

定義2 對(t,x)∈[τk-1,τk)×Rn,k=1,2,…,有

x+hf(t,x(t),x(t-r1)))-V(t,x)]。

定義3 若函數(shù)α(s)∈C([0,+∞), [0,+∞))嚴(yán)格遞增且滿足α(0)=0,則稱該函數(shù)為K類函數(shù)。

定義4 設(shè)V∈V0,假設(shè)

其中:g:R+×R+|→R在[τk-1,τk)×R+上是連續(xù)的;ψk:R+|→R+為非減函數(shù),則稱下列系統(tǒng)為系統(tǒng)(1)的比較系統(tǒng)，即

(2)

其中,k=1,2,…。

引理1(比較原理)[12]若

(1)f(t,0,0)=0,g(t,0)=0,h(0,0)=0;

(2)V:R+×Sρ|→R+,ρ>0,V∈V0,

V(t+s,x(t+s))≤lV(t,x(t)),

s∈[-max(r1,r2),0],l∈R+,

D+V(t,x)≤g(t,V(t,x)),t≠τk;

(3) 存在ρ0>0,當(dāng)x∈Sρ0時(shí),滿足:

x+h(x(t),x(t-r2))∈Sρ0,

V(t,x+h(x(t),x(t-r2)))≤ψk(V(t,x)),

t=τk,x∈Sρ0,k=1,2,…;

(4) 存在函數(shù)α(·)、β(·)∈K,當(dāng)(t,x)∈R+×Sρ時(shí),滿足:

α(‖x‖)≤V(t,x)≤β(‖x‖),

則比較系統(tǒng)(2)的平凡解的穩(wěn)定性蘊(yùn)含著脈沖系統(tǒng)(1)的平凡解的穩(wěn)定性。

引理2 設(shè)a、b、ck(k=1,2,…)都是常數(shù),若脈沖系統(tǒng)

(3)

其中,k=1,2,…,滿足:

(1) 0

證明令τ0=t0,d=beaΔt,記c0=0,由上述條件可知,當(dāng)k=0,1,2,…時(shí),

w(τk)=w0dk+ck+

ck-1d+ck-2d2+…+c1dk-1。

w(τk)≥w0dk-w0dk×

當(dāng)t∈[τk,τk+1)時(shí),

w(t)=ea(t-τk)w(τk)≥0。

因?yàn)?/p>

w(t)=ea(t-τk)w0dk+

ea(t-τk)(ck+dck-1+…+dk-1c1)≤

ea(t-τk)w0dk+ea(t-τk)×

(1+d+…+dk-1)ck=

且0

從而脈沖系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的。

引理2的補(bǔ)充說明:

(1) 當(dāng)引理2中的條件更換為beaΔt>1,c1=-w0beaΔt,ck≤ck+1(k=1,2,…)時(shí),可類似證明脈沖系統(tǒng)(3)也是漸近穩(wěn)定的。

引理3[13]若P∈Rn×n是正定矩陣,Q∈Rn×n是對稱矩陣,則對任意向量x∈Rn,下列不等式成立,即

xTQx≤λmax(P-1Q)xTPx,

其中,λmax(P-1Q)為矩陣P-1Q的最大特征值。

2 漸近穩(wěn)定性條件

對于線性脈沖控制的時(shí)滯脈沖系統(tǒng):

(4)

其中:k=1,2,…;B、C∈Rn×n;B為對稱矩陣;f(t,x(t),x(t-t1))∈C[R+×Rn×Rn,Rn];r1、r2∈R+為固定時(shí)滯;α=max{r1,r2}。有如下結(jié)論成立。

定理1 對于系統(tǒng)(4),設(shè)P為正定矩陣,λ1為P的最小特征值,λ2為P的最大特征值,λ3為B的最大特征值,λ4為P-1BTPB的最大特征值,λ5為P-1CTPC的最大特征值。若滿足如下條件:

(1)f(t,0,0)=0,?l∈R+,s∈[0,α],

xT(t-s)Px(t-s)≤lxT(t)Px(t),

‖f(t,x(t),x(t-r1))‖≤K1‖x(t)‖+

K2‖x(t-r1)‖,

(2) 0<(1+2λ3+λ4+lλ5)×

則脈沖系統(tǒng)(4)的平凡解是漸近穩(wěn)定的。

證明令x(t)=x(t;t0,x0)表示系統(tǒng)的解,設(shè)V(t,x)=xTPx,當(dāng)t≠τk,k=1,2,…時(shí),

D+V(t,x(t))=f(t,x(t),x(t-r1))TPx(t)+

xT(t)Pf(t,x(t),x(t-r1))=

2fT(t,x(t),x(t-r1))Px(t)≤

2‖fT(t,x(t),x(t-r1))‖‖Px(t)‖≤

2K1‖x(t)‖‖Px(t)‖+

2K2‖x(t-r1)‖‖Px(t)‖=

即

(5)

當(dāng)t=τk,k=1,2,…時(shí),

(6)

由此建立時(shí)滯脈沖系統(tǒng)(4)的比較系統(tǒng)為:

(7)

由引理2知,當(dāng)條件(2)、條件(3)成立時(shí),比較系統(tǒng)(7)是漸近穩(wěn)定的。

顯然,

f(t,x(t),x(t-r1))|x(t)=0,x(t-r1)=0=0,

g(t,w)|w=0=0,

[Bx(t)+Cx(t-r2)]|x(t)=0,x(t-r2)=0=0,

于是比較原理的條件(1)成立。由

xT(t-s)Px(t-s)≤lxT(t)Px(t)

及(5)式知,比較原理中的條件(2)成立。由

‖x(t)+Bx(t-)+Cx(t--r2)‖≤‖x(t)‖

可知,對任意ρ0>0,當(dāng)x∈Sρ0時(shí),有

x(t)+Bx(t-)+Cx(t--r2)∈Sρ0。

由(6)式知:

V(t,x(t)+Bx(t-)+Cx(t--r2))≤

(1+2λ3+λ4+lλ5)V(t,x)+ck=ψk(V(t,x)),

即比較原理中的條件(3)成立。令

α(‖x‖)=λ1‖x‖2,β(‖x‖)=λ2‖x‖2,

則α(‖x‖)≤V(t,x)≤β(‖x‖),比較原理的條件(4)成立。

綜上所述,脈沖系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的。

下面是定理1的補(bǔ)充說明。

(1) 當(dāng)條件(2)、條件(3)更換為:k=1,2,…,

(1+2λ3+λ4+lλ5)×

-(1+2λ3+λ4+lλ5)×

由引理2的補(bǔ)充說明(1)可知,脈沖系統(tǒng)(4)也是漸近穩(wěn)定的。

(2) 當(dāng)條件(2)、條件(3)更換為:k=1,2,…,

(1+2λ3+λ4+lλ5)×

由引理2的補(bǔ)充說明(2)可知,脈沖系統(tǒng)(4)也是漸近穩(wěn)定的。

對非線性脈沖控制的時(shí)滯脈沖系統(tǒng):

(8)

其中:k=1,2,…;r1,r2∈R+為固定時(shí)滯;

f(t,x(t),x(t-r1))∈C[R+×Rn×Rn,Rn];

h(x(t-),x(t--r2))∈C[Rn×Rn,Rn];

α=max{r1,r2}。有如下結(jié)論。

定理2 對于系統(tǒng)(5),設(shè)P為正定矩陣,λ1為P的最小特征值,λ2為P的最大特征值。若滿足如下條件:

(1)f(t,0,0)=0,h(0,0)=0, ?K1>0,K2>0,L1>0,L2>0,l∈R+,s∈[0,α],使得

xT(t-s)Px(t-s)≤lxT(t)Px(t),

‖f(t,x(t),x(t-r1))‖≤

K1‖x(t)‖+K2‖x(t-r1)‖,

‖h(t,x(t-),x(t--r2))‖≤

L1‖x(t-)‖+L2‖x(t--r2)‖,

‖x(t)+h(t,x(t-),x(t--r2))‖≤‖x(t)‖;

則脈沖系統(tǒng)(8)的平凡解是漸近穩(wěn)定的。

證明令x(t)=x(t;t0,x0)表示系統(tǒng)的解,設(shè)V(t,x)=xTPx,當(dāng)t≠τk,k=1,2,…時(shí),有

(9)

證明過程同定理1。

當(dāng)t=τk(k=1,2,…)時(shí),

(10)

由此建立時(shí)滯脈沖系統(tǒng)(8)的比較系統(tǒng)為:

(11)

由以上條件可知:

根據(jù)引理2的補(bǔ)充說明(1)可知,當(dāng)條件(2)成立時(shí),比較系統(tǒng)(11)是漸近穩(wěn)定的。

顯然,

g(t,w)|w=0=0,

f(t,x(t),x(t-r1))|x(t)=0,x(t-r1)=0=0,

h(x(t),x(t-r2))|x(t)=0,x(t-r2)=0=0,

因此比較原理的條件(1)成立。由

xT(t-s)Px(t-s)≤lxT(t)Px(t),

V(t,x(t))=g(t,V(t,x(t)))

及(9)式知,比較原理的條件(2)成立。由

‖x(t)+h(t,x(t-),x(t--r2))‖≤‖x(t)‖

可知,對任意ρ0>0,當(dāng)x∈Sρ0時(shí),有

x(t)+h(t,x(t-),x(t--r2))∈Sρ0。

由(10)式知:

V(t,x(t-)+h(x(t-),x(t--r2)))≤

ck=ψk(V(t,x)),

因此比較原理的條件(3)成立。令

α(‖x‖)=λ1‖x‖2,β(‖x‖)=λ2‖x‖2,

則α(‖x‖)≤V(t,x)≤β(‖x‖),比較原理的條件(4)成立。

綜上所述,脈沖系統(tǒng)(8)是漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值示例

例1 給出脈沖系統(tǒng)(4)的一個(gè)例子,驗(yàn)證定理1,其中

f(t,x,x(t-t1))=

設(shè)P為單位正定矩陣,由已知數(shù)據(jù)可得:

λ1=1,λ2=1,

K1=0.1,K2=0.1,

l=6.242 9。

取Δt=0.1,t1=t2=0.02,則

(1+2λ3+λ4+lλ5)×

0.937 6<1,

c1=-1.409 3,c2=-0.224 2,

c3=-0.036 1,c3=-0.005 7。

顯然,定理1的條件成立。

無脈沖的時(shí)間序列圖如圖1所示。

圖1 無脈沖量的時(shí)間序列圖

加入脈沖量后的脈沖系統(tǒng)的時(shí)間序列圖如圖2所示。

從圖2中可以看出,狀態(tài)變量在進(jìn)行7次脈沖后已經(jīng)趨近于0,系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

圖2 脈沖控制后的時(shí)間序列圖

當(dāng)函數(shù)f不變,函數(shù)h如下,給出脈沖系統(tǒng)(8)的一個(gè)例子,驗(yàn)證定理2,其中

h(x,x(t-t2))=

設(shè)P為單位正定矩陣,由已知數(shù)據(jù)可得:

λ1=1,λ2=1,K1=0.1,K2=0.1,

L1=1,L2=0.001,l=0.998 6。

取Δt=0.1,t1=t2=0.02,則

c1=-29.357 0。

顯然,定理2的條件成立。無脈沖的時(shí)間序列如圖1所示,加入脈沖量后的脈沖系統(tǒng)的時(shí)間序列如圖3所示。從圖3可以看出,狀態(tài)變量在進(jìn)行一次脈沖后在零解處達(dá)到穩(wěn)定。

圖3 脈沖控制后的時(shí)間序列

4 結(jié) 論