變參數(shù)非線性馬斯京根分段演算模型研究與應(yīng)用

羅宇軒　陳華　林康聆　王俊　王金星

摘要：為了更好地模擬天然河道中洪水演進的時空非線性特征，通過構(gòu)建連續(xù)型可變參數(shù)的槽蓄方程，在前人研究基礎(chǔ)上進一步改進了非線性馬斯京根模型結(jié)構(gòu)，并與河道分段演算方法相耦合，提出了一種變參數(shù)非線性馬斯京根分段演算模型（CVPCS-NMM），并應(yīng)用于實際案例中。結(jié)果表明：CVPCS-NMM取得了比分段馬斯京根模型和變指數(shù)非線性馬斯京根模型（CVEP-NMM）更好的效果，反映出了天然河道洪水過程在時空上的非線性變化特點，表明該模型是一種行之有效的河道演算方法，也為進一步探討如何將河道分段演算方法與非線性馬斯京根模型相結(jié)合提供了一種研究思路。

關(guān)鍵詞：洪水預(yù)報; 洪水演進; 非線性馬斯京根模型; 連續(xù)型可變參數(shù); 河道分段演算

中圖法分類號： P338

文獻標(biāo)志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2021.10.015

0引 言

馬斯京根模型是應(yīng)用非常廣泛的河道演算方法，當(dāng)符合其線性假定時模擬精度較好[1]。模型假定如下：① 流量與槽蓄量為單一線性關(guān)系，② 各時段流量沿程呈線性變化。然而，天然河道的洪水演進一般具有明顯的非線性特征，往往不能滿足上述線性假定。因此，為了提高馬斯京根模型的適用性，需要對其進行一定的非線性改進。

為了描述槽蓄量與流量間的非線性關(guān)系，Gill[2]提出了帶指數(shù)參數(shù)β的非線性槽蓄方程，在此基礎(chǔ)上，Easa[3]創(chuàng)造性地引入了無量綱入流變量u來反映參數(shù)的時變特性，提出了連續(xù)型函數(shù)的變指數(shù)非線性馬斯京根模型。連續(xù)型函數(shù)建立了參數(shù)與入流量間的關(guān)系，使參數(shù)β具有較好的自適應(yīng)時變特性。不過，對槽蓄方程的非線性改進，本質(zhì)上是在解決馬斯京根模型時間變化線性假定引起的誤差[4]，而自然界中的河道洪水演進還具有空間上非線性變化的特點。

為了改進流量在沿程變化上的線性假定，中國水文專家趙人俊教授于1962年提出了馬斯京根模型的分段演算方法[5]。但該方法假定各子河段演算參數(shù)是相同的，然而實際中河段特性和水力學(xué)特性并不能保證沿程不變，不同子河段對洪水的調(diào)蓄作用必然會發(fā)生變化。此外，該方法也未考慮槽蓄量與流量間的非線性關(guān)系。對該方法的進一步研究也主要針對這兩方面，如王煜[6]將子河段參數(shù)考慮進演算模型，提出了多河段流量演算方法，不過實際中子河段參數(shù)往往未知;孫美云[7]、祝許珂[8]等根據(jù)洪峰流量分級建立了分段馬斯京根模型的參數(shù)率定方案，一定程度上反映了流量與蓄量的非線性關(guān)系，但該方法本質(zhì)上仍是線性馬斯京根模型的演算。

基于優(yōu)勢互補思想，若將變參數(shù)非線性槽蓄方程與分段演算方法結(jié)合，則不僅能描述槽蓄量與流量間的非線性關(guān)系，也能使子河段參數(shù)具有自適應(yīng)變化特性，從而更好地體現(xiàn)洪水的時空非線性演進特征。基于此，本文以連續(xù)型函數(shù)的變參數(shù)非線性馬斯京根模型為基礎(chǔ)，結(jié)合分段演算方法，構(gòu)建了一種變參數(shù)非線性馬斯京根分段演算模型（Nonlinear Muskingum Model with Continous Variable Parameters and Channel Segmented method，CVPCS-NMM）。最后，通過兩個常用洪水?dāng)?shù)據(jù)集以及漢江下游皇莊-沙洋河段的實際洪水案例對模型性能進行了驗證。

1.3模型參數(shù)優(yōu)化方法

參數(shù)優(yōu)化算法的性能將很大程度上影響模型的實際應(yīng)用效果，而本文提出的CVPCS-NMM所形成的參數(shù)求解空間維度較高，如何更高效地獲得最佳參數(shù)是需要考慮的問題。SCE-UA作為一種不依賴導(dǎo)數(shù)理論的參數(shù)優(yōu)化算法[10]，在諸多水文模型的高維參數(shù)優(yōu)化問題中都得到了應(yīng)用[11-13]，也取得了較好效果。本文將以SCE-UA作為洪水演算模型的參數(shù)優(yōu)化算法。

參數(shù)優(yōu)化過程主要包括：確定尋優(yōu)空間、確定算法參數(shù)值、建立目標(biāo)函數(shù)和確定停止迭代準(zhǔn)則。其中，參數(shù)尋優(yōu)空間根據(jù)幾種模型參數(shù)特點和經(jīng)驗來分別確定;算法參數(shù)和停止迭代準(zhǔn)則取迭代次數(shù)為5 000，復(fù)合型個數(shù)為10，迭代收斂判斷閾值為0.01%，循環(huán)次數(shù)為1 000;目標(biāo)函數(shù)取算例1中為SSQ，算例2中為NSE。

2實際案例應(yīng)用

2.1算例1：Wilson河段和Wye河段洪水?dāng)?shù)據(jù)集

本節(jié)所選用洪水?dāng)?shù)據(jù)集是國內(nèi)外學(xué)者[3，14-15]研究非線性河道演進模型的常用案例，被認(rèn)為體現(xiàn)出了洪水演進的非線性特征[3]。其中，Wilson河段[16]洪水特征表現(xiàn)為光滑的單峰型洪水;Wye河段[17]無支流匯入且旁側(cè)入流量較小，洪水特征表現(xiàn)為不光滑的單峰型洪水。

通過SCE-UA算法，得到CVPCS-NMM在Wilson河段洪水模擬中對應(yīng)最優(yōu)參數(shù)方案為：Kmin=0.001 3，x=0.321，a=0.103，b=0.451，c=982.04，d=4.360，N=7。在Wye河段洪水模擬中對應(yīng)最優(yōu)參數(shù)方案為：Kmin=0.000 8，x=-0.391，a=1.573，b=0.742，c=2.16，d=2.799，N=3。同樣得到分段馬斯京根模型在兩河段中最優(yōu)參數(shù)方案，其中Wilson河段為k=25.64，x=0.316，N=10;Wye河段為k=20.53，x=0.410，N=3。CVEP-NMM最優(yōu)參數(shù)方案與文獻[3]一致。

CVPCS-NMM、CVEP-NMM和分段馬斯京根模型的模擬結(jié)果如表1所列。從統(tǒng)計指標(biāo)總體上來看，CVPCS-NMM的誤差平方和SSQ、洪峰誤差EQ和峰現(xiàn)時差ET均比其他兩種模型更優(yōu)。同時，與CVEP-NMM的結(jié)果相比，CVPCS-NMM在兩個數(shù)據(jù)集中的SSQ分別減小了67.4%和30.1%;EQ分別減小了14.4%和49.0%;ET在Wye河段更小，而在Wilson河段保持一致。相比分段馬斯京根模型，CVPCS-NMM在兩個數(shù)據(jù)集中的SSQ分別減小了96.3%和54.0%;EQ分別減小了86.8%和82.5%;ET在Wye河段更小，在Wilson河段則保持一致。

CVPCS-NMM模擬的Wilson河段和Wye河段洪水過程如圖1和圖2所示?？梢钥闯?，對于兩種特征不同的洪水案例，CVPCS-NMM模擬的流量過程均能較好地貼合實測出流過程，具有較高的模擬精度。

以Wilson河段為例，給出CVPCS-NMM模擬的各斷面流量過程如圖3所示。由圖3可以看出，流量過程線既表現(xiàn)出了洪水演進的坦化、推移現(xiàn)象，也反映出了流量的沿程非線性分布特點，較好地體現(xiàn)了洪水在時空上的非線性演進特征。

2.2算例2：漢江下游皇莊-沙洋河段場次洪水

漢江下游皇莊至沙洋河段河道長約76 km，區(qū)間無較大支流匯入。河道彎曲，洲灘較多，河床寬窄相間，寬段主泓擺動較大，在大洪水作用下，彎道附近有撇彎切灘現(xiàn)象發(fā)生[18]。為了進一步驗證模型的實際應(yīng)用效果，選取皇莊-沙洋河段1998～2011年共11場洪水?dāng)?shù)據(jù)，其中1998～2008年作為率定期，2009～2011年作為檢驗期。

通過SCE-UA算法得到各模型的最優(yōu)參數(shù)方案，其中CVPCS-NMM的最優(yōu)參數(shù)方案為Kmin=4.71，x=-0.213，a=1.140，b=-0.024，c=0.033，d=0.827，N=2;CVEP-NMM的最優(yōu)參數(shù)方案為Kmin=42.02，x=-0.226，a=1.130，b=-0.056，c=95.038;分段馬斯京根模型的最優(yōu)參數(shù)方案為k=13.59，x=-0.206，N=2。場次洪水模擬結(jié)果的各指標(biāo)統(tǒng)計值如表2所列，由表2可以看出：

（1） 從流量過程擬合效果看，CVPCS-NMM、CVEP-NMM和分段馬斯京根模型的率定期平均NSE分別為0.953，0.944和0.905，檢驗期平均NSE分別為0.975，0.968和0.951。整體而言，CVPCS-NMM對流量過程的擬合效果要好于其余兩種模型，且絕大多數(shù)場次洪水的對比結(jié)果也反映出CVPCS-NMM為三者中最優(yōu)。

（2） 從洪峰誤差來看，3種模型的率定期平均EPQ分別為3.48%，3.39%和6.97%，檢驗期平均EPQ分別為2.52%，3.37%和3.25%。除率定期CVPCS-NMM比CVEP-NMM的洪峰誤差更大外，整體上看CVPCS-NMM仍為三者中最優(yōu)。

（3） 從峰現(xiàn)時差來看，在所選用場次洪水中，CVPCS-NMM有7場洪水模擬結(jié)果的ET小于分段馬斯京根模型，有2場洪水模擬結(jié)果的ET小于CVEP-NMM，其余場次洪水3種模型模擬結(jié)果的ET基本一致。

以20080721號和20090528號洪水為例，分別由圖4和圖5展示了3種模型的模擬流量過程線。由圖可見，相比其余兩種模型，CVPCS-NMM的模擬流量過程線對實測流量的貼合程度更高，洪峰模擬的準(zhǔn)確性也更好。

以20080721號洪水的CVPCS-NMM模擬結(jié)果為例，各斷面流量過程如圖6所示。由圖6可以看出，各斷面流量過程線的變化反映出了洪水波演進過程中的坦化變形與推移現(xiàn)象。也可以看出，相比穩(wěn)定流時流量沿程趨于線性分布，在漲、落洪階段河道流量的沿程分布表現(xiàn)出了非線性特點，這與實際情況是較為符合的。

2.3分析與討論

從圖1和圖6所展示的洪水流量過程線可以看出，本文所提出的CVPCS-NMM既能使模擬出流更接近實際情況，也能較好地體現(xiàn)洪水波的推移、坦化現(xiàn)象，同時也反映出了流量的沿程非線性分布特點。這是由于通過無量綱入流ut構(gòu)造了各子河段的變參數(shù)非線性槽蓄方程，使各子河段參數(shù)能自適應(yīng)變化，從而將分段馬斯京根模型和CVEP-NMM的優(yōu)勢進行了互補，進而更好地反映出洪水演進過程的時空非線性特征。

由表1～2中的模擬結(jié)果評價指標(biāo)可以看出，相比分段馬斯京根模型和CVEP-NMM，本文提出的CVPCS-NMM對各案例洪水的模擬效果更好，進一步證明將河道分段演算方法與變參數(shù)非線性槽蓄方程相結(jié)合的思路是可行的。

3結(jié) 論

（1） 本文通過構(gòu)建連續(xù)型可變參數(shù)的槽蓄方程，在前人研究基礎(chǔ)上進一步改進了非線性馬斯京根模型結(jié)構(gòu)，并將其與分段馬斯京根模型相耦合，提出了一種變參數(shù)非線性馬斯京根分段演算模型CVPCS-NMM。結(jié)果表明：CVPCS-NMM發(fā)揮了CVEP-NMM和分段馬斯京根模型的優(yōu)點，具有比兩者更好的模擬性能，也能較好地反映出天然河道中洪水在時空上的非線性演進特征。

（2） 本文所提出的河道演算模型為進一步探討如何將河道分段演算方法與非線性馬斯京根模型相結(jié)合提供了一種研究思路。例如，還可以進一步的改進模型結(jié)構(gòu)，以考慮較大區(qū)間入流情況下的河道演算;同時，河道流量與演算參數(shù)間的函數(shù)表達形式也有值得繼續(xù)探討的空間。

參考文獻：

[1]芮孝芳，張超.Muskingum法的發(fā)展及啟示[J].水利水電科技進展，2014，34（3）：1-6.

[2]GILL M A.Flood routing by the Muskingum method[J].Journal of Hydraulic Engineering，1978，36（3-4）：353-363.

[3]EASA S M.Evaluation of nonlinear Muskingum model with continuous and discontinuous exponent parameters[J].Journal of Civil Engineering，2015，19（7）：2281-2290.

[4]翟家瑞.馬斯京根法幾種不同應(yīng)用形式淺析[J].人民黃河，1994（4）：5-7.

[5]趙人俊.流域匯流的計算方法[J].水利學(xué)報，1962（2）：1-9.

[6]王煜.馬斯京根多河段流量演算線性方法[J].水文，1995（6）：31-34.

[7]孫美云，劉俊，左君，等.分段馬斯京根法在黃河龍潼河段洪水預(yù)報中應(yīng)用[J].水電能源科學(xué)，2012，30（8）：44-46.

[8]祝許珂，梁國華，何斌，等.基于馬斯京根法的嫩江江橋-大賚段洪水演算[J].人民長江，2018，49（3）：27-31.

[9]TUNG Y K.River flood routing by Nonlinear Muskingum method[J].Journal of Hydraulic Engineering，1985，111（12）：1147-1460.

[10]DUAN Q Y，SOROOSHIAN S，GUPTA V.Effective and efficient global optimization for conceptual rainfall-runoff models[J].Water Resources Research，1992，28（4）：1015-1031.

[11]闞光遠(yuǎn)，洪陽，梁珂，等.基于GPU加速的水文模型參數(shù)率定[J].人民長江，2019，50（5）：69-73，79.

[12]周洋洋，李致家，姚成，等.基于SCE-UA算法的API模型應(yīng)用研究[J].水力發(fā)電，2014，40（4）：13-16.

[13]邢寶龍，薛聯(lián)青，陳奕，等.基于SCE-UA算法的河網(wǎng)水系水閘調(diào)度模擬[J].水資源保護，2013（6）：26-30.

[14]XU D M，QIU L，CHEN S Y.Estimation of nonlinear Muskingum model parameter using differential evolution[J].Journal of Hydrologic Engineering，2012，17（2）：348-353.

[15]KARAHAN H，GURARSLAN G，GEEM Z W.Parameter estimation of the nonlinear Muskingum flood routing model using a hybrid harmony search algorithm[J].Journal of Hydrologic Engineering，2013，18（3）：352-360.

[16]WILSON E M.Engineering Hydrology[M].Basingstoke：MacMillan Education，1990.

[17]NERC.Flood studies report [M].Wallingford：Natural Environment Research Council，1975.

[18]劉超，匡威.漢江中下游2007年洪水水量平衡分析[J].水利水電快報，2008，29（S1）：85，96.

（編輯：謝玲嫻）

Abstract：In order to better simulate the nonlinear spatial-temporal features of flood routing in natural rivers，we construct a storage function with continuous variable parameters，and further improve the structure of the nonlinear Muskingum model based on previous researches.Coupled with the channel segmentation calculation method，a Nonlinear Muskingum Model with Continuous Variable Parameters and Channel Segmented method（CVPCS-NMM）is proposed and applied to actual cases.The results show that the simulation effect of CVPCS-NMM is better than the Segmented Muskingum model and CVEP-NMM，which reflects the nonlinear spatial-temporal features of flood routing in natural rivers.It indicates that the CVPCS-NMM is an effective flood routing calculation method and provides a research idea for further discussion of combining the channel segmented method with the nonlinear Muskingum model.

Key words：flood forecasting;flood routing;nonlinear Muskingum model;continuous variable parameter;channel segmented method