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    核心素養(yǎng)視角下概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)的策略與實(shí)踐

    2021-12-09 06:00:37陳黎
    教學(xué)研究與管理 2021年10期
    關(guān)鍵詞:教學(xué)策略核心素養(yǎng)

    陳黎

    摘 要:文章以新課標(biāo)和近幾年高考導(dǎo)向?yàn)橹敢?,從學(xué)情、師資、教學(xué)資源和教學(xué)手段等維度對高中概率與統(tǒng)計(jì)主題內(nèi)容的教學(xué)策略和實(shí)踐進(jìn)行研究,以期在新一輪教學(xué)改革的浪潮中落實(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)生個人核心素養(yǎng)目標(biāo),體現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)主題的課程價值。

    關(guān)鍵詞:高中概率與統(tǒng)計(jì);教學(xué)策略;核心素養(yǎng)

    在大數(shù)據(jù)時代,社會的深刻變革使數(shù)學(xué)有了更廣闊的應(yīng)用空間,同時也會對數(shù)學(xué)教育提出新的要求?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào):在數(shù)學(xué)課程開展的過程中,把促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展放在突出位置。

    概率與統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中,概率與統(tǒng)計(jì)以主題的形式出現(xiàn),教學(xué)的內(nèi)容與要求均有所增加的同時凝練了學(xué)科的核心素養(yǎng)。

    另一方面,從高考命題的角度來說:2004年全國高考卷首次出現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的解答題,到2019年全國I卷(理)概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的解答題成了壓軸題。高考對概率與統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容的考查明顯體現(xiàn)出從最初的知識立意到能力立意再到素養(yǎng)立意的變化。如何將新課標(biāo)中的核心素養(yǎng)落實(shí)到平時概率與統(tǒng)計(jì)的教育教學(xué)中去,這是高中數(shù)學(xué)教師必須面對和思考的問題。筆者在近幾年翻閱了大量資料并結(jié)合教學(xué)工作,從理論到實(shí)踐對該主題的教與學(xué)進(jìn)行研究和探討。

    一、概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中存在的問題

    (一)學(xué)情特點(diǎn)

    小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)課程中概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容是以每年1—2章節(jié)滲透的形式呈現(xiàn)的。學(xué)生有一定的基礎(chǔ),體現(xiàn)在了解概率是什么(模糊地);計(jì)算簡單的古典概型;能做簡單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì);會計(jì)算樣本的極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等數(shù)字特征。這也基本符合學(xué)生在該年齡階段的認(rèn)知特點(diǎn)。

    高中階段學(xué)生在這一主題的內(nèi)容學(xué)習(xí)中主要存在以下問題:

    1. 對重要概念存在模糊認(rèn)識。比如對概率研究的對象隨機(jī)事件,學(xué)生就缺乏系統(tǒng)完整的認(rèn)知,在計(jì)算復(fù)雜概率問題時不會分析隨機(jī)事件的相互關(guān)系(互斥、相互獨(dú)立)。這是因?yàn)樵谛W(xué)初中的數(shù)學(xué)課程中學(xué)生沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)這個概念,這顯然影響了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的發(fā)展。

    2. 對概率與統(tǒng)計(jì)的主體思想沒有整體地認(rèn)知。這是因?yàn)橹暗膶W(xué)習(xí)是滲透式的,每個學(xué)年學(xué)一些,學(xué)生對概率與統(tǒng)計(jì)主題內(nèi)容很難有完整系統(tǒng)的概念。即使在高中也分成兩個模塊來學(xué),之前的零碎感和模糊感很難在短期內(nèi)消除,造成數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)發(fā)展不到位。

    (二)教師方面存在的問題

    師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的畢業(yè)生在本科期間的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》雖然是必修課,但明顯偏重于理論,與實(shí)際結(jié)合較少,非應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生基本沒有做過一個完整的統(tǒng)計(jì)案例。再加上之前的概率與統(tǒng)計(jì)主題不是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,教學(xué)用到專業(yè)知識的地方不多,也就導(dǎo)致很多初高中教師對這塊內(nèi)容缺乏系統(tǒng)的認(rèn)識,教學(xué)上對學(xué)生的引領(lǐng)就顯得比較無力。

    要給學(xué)生“一杯水”,老師至少要有“一桶水”。在高中數(shù)學(xué)課程中,為了讓僅具備初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生理解并接受概率與統(tǒng)計(jì)中的許多概念,教材不可能用公理化的方式對其進(jìn)行嚴(yán)格的定義,但教師不但要正確理解,還應(yīng)在此基礎(chǔ)上將難懂的學(xué)術(shù)語言轉(zhuǎn)換為能符合學(xué)生認(rèn)知水平的教學(xué)語言,并引發(fā)積極的思考。趙軒、任子朝認(rèn)為教學(xué)中重視做題忽視概念不利于知識的內(nèi)化和遷移。為了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展,高考作為選拔性考試將會進(jìn)一步發(fā)揮加強(qiáng)基本概念考查,打破機(jī)械刷題學(xué)習(xí)模式的導(dǎo)向作用。為了讓學(xué)生對概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容有整體的理解和正確的認(rèn)識,教師有必要將大學(xué)教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》重新學(xué)習(xí)一次,至少將重要的章節(jié)重溫一遍。筆者這兩年利用閑暇時間特意將新舊三個版本的大學(xué)教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》重新研讀了一遍,對很多相關(guān)概念的理解有了新的認(rèn)識,對概率與統(tǒng)計(jì)問題認(rèn)識的高度和深度使筆者在教學(xué)中能游刃有余,讓教學(xué)過程變得有序、充實(shí),讓學(xué)生對知識和方法的來龍去脈清楚明晰。另外教師必須認(rèn)真鉆研新課標(biāo),將其各核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與價值、表現(xiàn)與水平特征、培養(yǎng)與評價等相關(guān)內(nèi)容爛熟于心,充分領(lǐng)會其精神和本質(zhì),才有可能讓學(xué)科素養(yǎng)落在實(shí)處。

    如果教師只滿足于能講解課本和習(xí)題上的案例是不夠的,這就要求教師擴(kuò)大知識面,多進(jìn)行課外的閱讀,從現(xiàn)實(shí)生活中去尋找教育教學(xué)的素材,如果在課堂上能將生活中學(xué)生感興趣的事物用概率與統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)進(jìn)行分析、透視,引起學(xué)生的興趣,參與討論、產(chǎn)生共鳴,那么“創(chuàng)設(shè)情境”“有效遷移”就不會停留在表面,這樣的課堂就不再枯燥、乏味,而讓學(xué)生聽得津津有味,對教師產(chǎn)生崇敬感。情感、態(tài)度價值觀的因素融入進(jìn)來,學(xué)科素養(yǎng)的凝練過程才會有“問渠那得清如許,為有源頭活水來”的效果。筆者近幾年讀了吳軍博士的《數(shù)學(xué)之美》,作者用通俗的敘事語言將數(shù)學(xué)在現(xiàn)今眾多前沿領(lǐng)域的應(yīng)用娓娓道來,是非常好的數(shù)學(xué)科普書籍。其中包含大量的概率與統(tǒng)計(jì)在自然語言處理、密碼學(xué)、路徑規(guī)劃、人工智能等前沿科學(xué)的豐富案例,它們作為教學(xué)素材經(jīng)常在筆者的課堂上適時出現(xiàn),讓學(xué)生驚訝“原來讓翻譯軟件正確率大幅提高的不是語言學(xué)家的研究成果而是統(tǒng)計(jì)模型的應(yīng)用”“ALPHA GO能戰(zhàn)勝柯潔并不是它能理解柯潔的棋風(fēng)而是它有基于統(tǒng)計(jì)學(xué)超快的自學(xué)能力”,這樣的課堂才更具有活力和靈性。

    二、教學(xué)策略與建議

    (一)抓住主題特點(diǎn),著重發(fā)展數(shù)據(jù)處理核心素養(yǎng)

    在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要學(xué)生凝練學(xué)科核心素養(yǎng),數(shù)據(jù)處理是概率與統(tǒng)計(jì)主題所獨(dú)有的。這一素養(yǎng)與其他數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)相比,其獨(dú)特主要表現(xiàn)在:一是立論的基礎(chǔ)不同。因?yàn)閿?shù)據(jù)分析問題的起點(diǎn)一定來自于數(shù)學(xué)的外部,研究問題的基本思路是從數(shù)據(jù)出發(fā)而不是從定義出發(fā);二是推理方法,數(shù)據(jù)分析中推理的基礎(chǔ)是歷史經(jīng)驗(yàn),主要采用歸納推理,其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的推理基礎(chǔ)是公理體系主要采用演繹推理;三是判斷準(zhǔn)則,不同數(shù)學(xué)判斷結(jié)論的準(zhǔn)則是對與錯,這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性,統(tǒng)計(jì)學(xué)面向隨機(jī)現(xiàn)象探究偶然性下的規(guī)律性,即使是同樣的數(shù)據(jù)也允許出現(xiàn)不同的判斷。人們根據(jù)自己對數(shù)據(jù)背景的理解采用不同的推斷方法進(jìn)行分析得出不同的推斷結(jié)果,其判斷結(jié)論的準(zhǔn)則是好與壞,這既體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性,又體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)學(xué)的藝術(shù)特色。只有正確認(rèn)識數(shù)據(jù)分析的這些特點(diǎn),才能在概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中的找準(zhǔn)著力點(diǎn),讓學(xué)生樹立正確的概率與統(tǒng)計(jì)基本思想。

    在教學(xué)實(shí)踐中,教師應(yīng)該運(yùn)用豐富而真實(shí)的案例,反復(fù)強(qiáng)化以下基本的統(tǒng)計(jì)思想,讓學(xué)生在逐層發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)的過程中有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ):

    統(tǒng)計(jì)學(xué)在做什么?——研究總體。

    統(tǒng)計(jì)學(xué)對總體怎么研究?——用樣本估計(jì)總體。

    統(tǒng)計(jì)學(xué)研究總體的那些方面?——數(shù)據(jù)的分布情況、數(shù)字特征;多種數(shù)據(jù)是否有關(guān)、有什么樣的關(guān)系。

    統(tǒng)計(jì)學(xué)有什么用?——根據(jù)總體的情況做出正確的決策。

    只有真正落實(shí)數(shù)據(jù)處理這一核心素養(yǎng)的發(fā)展,才能讓學(xué)生從整體上對這個主題學(xué)習(xí)內(nèi)容有深層次的認(rèn)識。這樣他們在應(yīng)對概率與統(tǒng)計(jì)問題的時候才會有方向感。

    (二)以主題教學(xué)均衡發(fā)展其他核心素養(yǎng)

    概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中除了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之外還有數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)主要用在統(tǒng)計(jì)部分,而概率部分離不開另外四種素養(yǎng)。概率與統(tǒng)計(jì)又是密不可分的。在解決概率與統(tǒng)計(jì)問題的時候,除了數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)發(fā)揮核心作用之外,其他幾個素養(yǎng)也是不可或缺。這部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)本身就體現(xiàn)了素養(yǎng)相互交融的特點(diǎn)。從數(shù)學(xué)的整體來講我們應(yīng)該辯證看待,既要用分析的方式,也要有綜合的思維方式。

    首先要優(yōu)先發(fā)展數(shù)學(xué)建模思想。概率與統(tǒng)計(jì)問題的起點(diǎn)都是實(shí)際問題,那么數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)就會在解決問題的過程中扮演重要的角色。數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁,是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本方式。這一素養(yǎng)沒有充分發(fā)展就意味著建模過程不暢或錯誤。

    比較近兩年的高考題我們會得到不言而喻的結(jié)論。2019年高考全國卷I(理)21題難度1.6,答卷中大量出現(xiàn)空白卷、審題不清和模型選擇錯誤。而2020年高考全國卷I(理)19題一改前三年背景文本材料較多的風(fēng)格,采用題干簡潔、直接設(shè)問的方式,對數(shù)學(xué)思維的要求雖然更高,但得分率有0.29,明顯高于2019年。由此說明數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)恰好是學(xué)生的短板。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的主要瓶頸在于學(xué)生的知識面(對外部事物的理解)和在綜合情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析問題的能力。畢竟學(xué)生和社會接觸比較少,很多問題的情境離學(xué)生的生活比較遠(yuǎn),要想學(xué)生在面臨陌生情境都能有深刻的理解是不現(xiàn)實(shí)的,應(yīng)對的辦法是:1. 認(rèn)真落實(shí)新課標(biāo)中數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動(必修主題五、選擇性必修主題四)的主題內(nèi)容,尤其要引導(dǎo)學(xué)生完成與統(tǒng)計(jì)學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動;2. 為學(xué)生提供較多真實(shí)的案例,讓其進(jìn)行閱讀、分析、建模的嘗試。

    其次,其他幾個素養(yǎng)雖然不是概率與統(tǒng)計(jì)主題重點(diǎn)需要發(fā)展的核心素養(yǎng),但教師在教學(xué)中也必須統(tǒng)籌兼顧?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中提到:數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)通常是在綜合化、復(fù)雜化的情境中通過個體與情境的有效互動生成的。這就要求數(shù)學(xué)教師從以往的課節(jié)教學(xué)向主題教學(xué)轉(zhuǎn)換。課節(jié)教學(xué)以課時為單位進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),對于合理把控?cái)?shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)程優(yōu)化教學(xué)活動具有重要意義。不足之處是易使學(xué)生知識割裂,不利于形成完整的知識鏈條和體系,常常過多地關(guān)注知識與技能、忽視情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng),不利于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展,易使教師拘泥于具體內(nèi)容,缺乏對教學(xué)整體的把握。

    (三)從學(xué)生成長角度,聚焦學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展能力

    數(shù)學(xué)作為中國學(xué)生的一門必修課,除了要落實(shí)本學(xué)科的核心素養(yǎng)之外,還要肩負(fù)中國學(xué)生發(fā)展的六大核心素養(yǎng):人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新。其中的科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)在概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中有非常具體的落腳點(diǎn)。

    科學(xué)精神可以簡單概括為實(shí)事求是、求真務(wù)實(shí)、開拓創(chuàng)新的理性精神和“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”的實(shí)證精神。隨著大數(shù)據(jù)時代的到來,概率與統(tǒng)計(jì)方法和結(jié)論在科學(xué)的各個領(lǐng)域、分支都有越來越廣泛的應(yīng)用。這部分的內(nèi)容相比其他數(shù)學(xué)內(nèi)容更容易課本、高考、習(xí)題中的各種情境都是概率與統(tǒng)計(jì)在各個層面應(yīng)用的管窺,處處體現(xiàn)理性精神和實(shí)證精神,是科學(xué)精神最好的涵詠。比如:研究吸引與肺癌關(guān)系的獨(dú)立性檢驗(yàn)是心理學(xué)、醫(yī)學(xué)中廣泛采用的研究方法;二項(xiàng)分布是研究教育教學(xué)的有力工具;“要不要購買易損零件”(2016年高考—理19題)、“要不要繼續(xù)檢測”(2018年高考—理20題)帶有會計(jì)學(xué)和工商管理學(xué)的背景;“遇到紅燈的概率問題”來源于城市交通規(guī)劃學(xué)。教師在講完這些例子的數(shù)學(xué)過程之后不妨為學(xué)生講一講例子背后的理性精神。教師的延拓講解或許會點(diǎn)亮某些學(xué)生心中的科學(xué)火種,讓他們在不久的將來走上科研之路,最終成為某個領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物。

    學(xué)會學(xué)習(xí)是指既要掌握學(xué)習(xí)知識的技能和方法,更要通過不同方面的努力,全面提高學(xué)習(xí)品質(zhì),在學(xué)習(xí)中身心獲得發(fā)展,不斷超越自我。另一種通俗的理解是具備可持續(xù)學(xué)習(xí)的能力和意愿。這一素養(yǎng)的凝練需要豐富的場景和過程加持,而提高專業(yè)閱讀能力是重要的部分。

    在學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的過程中,學(xué)生有機(jī)會獲得較其他內(nèi)容更多的數(shù)學(xué)與其他科學(xué)融合的閱讀材料,對這些材料的正確理解是數(shù)學(xué)建模能否成功的關(guān)鍵。在教學(xué)過程中,教師若能對學(xué)生閱讀進(jìn)行相應(yīng)的指導(dǎo),學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)能得到提高的同時,學(xué)生學(xué)習(xí)的素養(yǎng)也得到了發(fā)展。余文森教授認(rèn)為,在由狹義教學(xué)走向廣義教學(xué)的過程中,要由以書本知識為教學(xué)對象轉(zhuǎn)化為以課程資源為教學(xué)對象,課程資源包括但不限于教材。

    (四)合理運(yùn)用信息技術(shù),有機(jī)融合數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)

    發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體是數(shù)學(xué)教學(xué)活動。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,利用信息技術(shù)可以創(chuàng)設(shè)豐富的情境,可以將較為抽象的內(nèi)容變得直觀可視,可以提高學(xué)生自主探究和解決問題的能力。而在概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容中,由于涉及的數(shù)據(jù)處理方法多樣,計(jì)算繁雜,對教師的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂控制能力提出了很大的挑戰(zhàn),學(xué)生在課堂上面對成堆的數(shù)據(jù)和眼花繚亂的圖形很容易迷失思考的方向,無法真正參與教學(xué)活動中,很難實(shí)現(xiàn)知識與方法的生成、理解、升華過程,就更談不上發(fā)展核心素養(yǎng),因此要合理使用信息技術(shù)。

    隨著信息技術(shù)的發(fā)展,市場上的概率與統(tǒng)計(jì)的平臺很多,如:SPSS、MatLab等。但由于它們太過專業(yè)、對硬件要求高而不適用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)。GGB(Geogebra)是近年來風(fēng)靡世界的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件,有免費(fèi)、功能強(qiáng)大、可移植性好等諸多特點(diǎn),代表著數(shù)學(xué)課堂教學(xué)軟件的發(fā)展方向。從筆者多年的實(shí)踐來看,EXCEL是最適合在中學(xué)課堂中運(yùn)用的概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)平臺。EXCEL的優(yōu)點(diǎn)是小巧、方便、經(jīng)濟(jì)、易學(xué),幾乎每臺計(jì)算機(jī)上都有EXCEL,對硬件的要求不高,每位教師都可以根據(jù)自己的實(shí)際學(xué)習(xí)能力掌握一定的制作方法。通過在課堂中合理使用EXCEL,都能大幅度提高課堂的效率和有效性,現(xiàn)場操作的過程能讓學(xué)生產(chǎn)生既視感,幫助他們理解數(shù)據(jù)處理的具體過程,有效地提升凝練數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的效率。

    另一方面,信息技術(shù)的運(yùn)用是否能使課堂有效、真正為發(fā)展核心素養(yǎng)服務(wù),這就取決于教師的組織教學(xué)的能力和學(xué)科功底。沒有精湛的教學(xué)設(shè)計(jì)和嫻熟的課堂駕馭能力為依托,光靠堆砌信息技術(shù)手段,并不能為學(xué)生帶來更深層次的思考,也就無從談起發(fā)展核心素養(yǎng)。這就是標(biāo)題中“合理”“有機(jī)融合”的要義。

    三、教學(xué)案例與思考

    (一)教學(xué)案例:統(tǒng)計(jì)案例(非線性回歸分析)

    【教學(xué)設(shè)計(jì)】

    1. 教材分析:本節(jié)內(nèi)容是高中人教A選修2-3第三章3.1節(jié)第二課時,是在學(xué)習(xí)完線性回歸方程的計(jì)算(通過例1復(fù)習(xí)必修3),擬合效果分析之后的進(jìn)一步學(xué)習(xí),是對線性回歸分析的進(jìn)一步鞏固和提高。是回歸分析問題的最后一節(jié)新授課。

    2. 學(xué)情分析:教學(xué)群體是高二物理班學(xué)生,數(shù)學(xué)水平落差較大。通過上一節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)基本掌握了線性回歸的建模與分析方法,能對兩個相關(guān)變量進(jìn)行回歸求參、預(yù)測、殘差分析、擬合效果分析。

    3. 教學(xué)目標(biāo):

    (1)能在較綜合的環(huán)境中正確地區(qū)分線性和非線性的回歸模型,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

    (2)能創(chuàng)造性地運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識構(gòu)造相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)模型解決問題,并用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)語言表達(dá)數(shù)據(jù)提供的信息和規(guī)律,發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)。

    (3)根據(jù)問題的需要對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行合理地表述、推理、運(yùn)算,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

    4. 重難點(diǎn):

    重點(diǎn):如何將非線性回歸分析轉(zhuǎn)化為線性回歸分析;如何評價擬合效果;

    難點(diǎn):如何確定非線性回歸模型的表達(dá)式。

    5. 教法和學(xué)法:分組討論法、講練結(jié)合法。

    【教學(xué)過程】

    1. 回顧舊知:回顧線性回歸分析的基本步驟。

    教師提出問題,引導(dǎo)學(xué)生回憶線性回歸分析的基本步驟,教師做點(diǎn)評、補(bǔ)充(喚醒學(xué)生的記憶,鞏固學(xué)生的最近發(fā)展區(qū))。

    2. 提出問題:

    (1)教師讀題,引導(dǎo)學(xué)生理解題意,學(xué)生思考、討論、敘述自己的理解,確定解釋變量和預(yù)報(bào)變量:溫度和產(chǎn)卵數(shù)誰做解釋變量誰做預(yù)備變量比較好?(提出情境、閱讀文本、理解題意)

    (2)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察散點(diǎn)圖,并描述其特點(diǎn),如:單調(diào)性,凹凸性等,然后討論出幾種比較符合的函數(shù)模型(二次、指數(shù)、冪):觀察散點(diǎn)圖,你認(rèn)為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間具有線性關(guān)系嗎?如果不是,可能與哪些函數(shù)圖象比較匹配?(通過圖形的直觀性引導(dǎo)學(xué)生了解不是任意兩個變量之間都是線性相關(guān)關(guān)系)

    (3)教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何設(shè)計(jì)二次函數(shù)的具體表達(dá)式,主要從參數(shù)個數(shù)差異如何消除來引導(dǎo):如果使用其他函數(shù)模型(比如二次函數(shù))具體如何設(shè)計(jì)函數(shù)表達(dá)式?(用較易轉(zhuǎn)化的二次函數(shù)做鋪墊,用化歸思想引導(dǎo)學(xué)生思考如何將非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃)

    (4)如果是二次型模型,如何求參數(shù)?(讓學(xué)生體會數(shù)據(jù)如何隨著模型的變化而轉(zhuǎn)換)

    (5)教師提出問題,引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生通過觀察思考發(fā)表自己的意見,教師點(diǎn)評:如果是指數(shù)函數(shù)模型如何設(shè)計(jì)具體函數(shù)表達(dá)式?(使學(xué)生進(jìn)一步體會把解釋變量和預(yù)報(bào)變量的非線性關(guān)系經(jīng)過轉(zhuǎn)換后可以轉(zhuǎn)化為兩個新變量間的關(guān)系)

    (6)教師提出問題,引導(dǎo)學(xué)生分組討論,然后讓學(xué)生分組配合計(jì)算參數(shù):如何計(jì)算這兩種指數(shù)函數(shù)模型的參數(shù)?(讓學(xué)生熟悉線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)方法)

    (7)教師提問、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變換獲得最終的非線性模型:如何將得到的線性回歸模型再變回原問題所提出的模型?(將線性回歸轉(zhuǎn)回非線性回歸從而解決問題)

    (8)教師提出問題,引導(dǎo)學(xué)生回憶評價線性回歸模型擬合好壞的標(biāo)準(zhǔn)——相關(guān)系數(shù)R2,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探討如何進(jìn)行不同模型間的比較;學(xué)生討論、計(jì)算每個模型的R2,并進(jìn)行比較:以上幾個模型中哪個能更好地刻畫紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的關(guān)系?(引導(dǎo)學(xué)生嘗試進(jìn)行不同模型的比較)

    (9)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納處理非線性回歸問題的思路,同時應(yīng)強(qiáng)調(diào)要借助散點(diǎn)圖的直觀性,聯(lián)想已學(xué)過的基本初等函數(shù)圖象,引導(dǎo)學(xué)生感受知識與方法之間的聯(lián)系。

    小結(jié):我們?nèi)绾翁幚矸蔷€性問題?(引導(dǎo)學(xué)生整理思路,內(nèi)化知識與方法,擴(kuò)大最近發(fā)展區(qū))

    3. 課堂練習(xí):

    通過練習(xí)進(jìn)一步內(nèi)化方法,鞏固新的最近發(fā)展區(qū)。再次體會統(tǒng)計(jì)案例:收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、建立模型、回歸模型、數(shù)據(jù)分析、決策的全過程。學(xué)生自主練習(xí),教師巡視解惑、個別輔導(dǎo)。

    某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值。

    4. 課后作業(yè):(1)課本練習(xí);(2)課外收集與閱讀:①探究近10年我國人均GDP與淘寶雙11的銷售額數(shù)據(jù)的關(guān)系;②網(wǎng)上搜索與非線性回歸有關(guān)的案例并閱讀,在小組內(nèi)分享。

    (二)反思

    本節(jié)課總體來講設(shè)計(jì)合理、符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn);課堂上學(xué)生的思維活躍,參與度高,主體性強(qiáng);合理運(yùn)用信息技術(shù)輔助教學(xué),教學(xué)效果良好。在教師的引導(dǎo)中,培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。在這堂課之后,接下來第二周筆者又以本節(jié)課的課后作業(yè)為資源再上了一節(jié)自主探究課,學(xué)生分組展示對案例的分析,非常精彩。由此說明本堂課在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)方面有可取之處。

    四、結(jié)語

    通過以上研究,我們認(rèn)為在概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中,可以通過厘清本主題的整體特點(diǎn)和思想主線;提高教師自身的專業(yè)水平;用真實(shí)、完整、豐富的案例作教學(xué)資源;有機(jī)結(jié)合信息技術(shù)為手段等方面來提高教學(xué)能效,發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)和個人核心素養(yǎng)。

    參考文獻(xiàn)

    [1]陳曉,周仕榮.從“概率與統(tǒng)計(jì)”考點(diǎn)看高考中的“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)通報(bào)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2018(08).

    [2]龍正武,陳星春.近三年概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的高考特點(diǎn)及相關(guān)教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2018(11).

    [3]王沛鈺,李祎.核心素養(yǎng)視域下統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的若干策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2018(07).

    [4]趙軒,任子朝.中學(xué)數(shù)學(xué)中概率的相關(guān)概念辨析——從一道高考題談起數(shù)學(xué)通報(bào)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2018(12).

    [5]余文森.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)[M].上海:上海出版社,2017.

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