有關“連續(xù)體碰撞”的模型進階與試題分析

李旭斌 陳曉陸

（中國人民大學附屬中學朝陽學校，北京 100028）

高中物理學習認知發(fā)展規(guī)律滿足從感性到理性、從具體到抽象、從簡單到復雜的認知進階規(guī)律.米粒流撞擊臺秤產(chǎn)生示數(shù)的現(xiàn)象在生活中易于觀察，學生易于聯(lián)想，以該感性、具體的連續(xù)體碰撞模型為抓手，逐漸延伸至較為抽象的電子流碰撞模型、理想氣體分子碰撞模型、光子碰撞模型這些對象模型，并且從較為簡單的完全非彈性碰撞延伸至較為復雜的完全彈性碰撞、非完全彈性碰撞這些過程模型（表1）.

表1 有關連續(xù)體碰撞的模型進階

1 原始模型：米粒流碰撞模型

米粒流撞擊臺秤產(chǎn)生示數(shù)的現(xiàn)象在生活中較為普遍、易于聯(lián)想.米粒流碰撞模型是一類經(jīng)典的連續(xù)體碰撞模型，以此模型作為進階的起點.類似的問題情境還有水流等流體產(chǎn)生的沖擊力.

例1.如圖1，利用自動稱米機稱米，買者認為：因為米落在容器中有向下的沖力，造成讀數(shù)偏大，因而不劃算；賣著認為：當讀數(shù)滿足需求時，自動裝置立即切斷米流，尚有一些米在空中，這些米是多給買者的，因而買家賺了.自動稱米機究竟準不準？說說你的看法.

圖1

解析：問題的爭議主要在空中的米流柱的末端對臺秤造成的沖擊力，是否與空中米流柱的總重力相同.可以運用“微元法”，選取空中米流柱底端的一小部分Δm，設該米流微元對臺秤造成的沖擊力大小為F、與臺秤作用時間為Δt、自由下落高度為h，由于米流撞擊袋子中的米堆不會反彈，因此該米流微元與米堆發(fā)生完全非彈性碰撞，根據(jù)動量定理可以得到

該米流微元落到米堆時的速度v滿足

設米粒流的流量為ρ（單位時間內(nèi)流出的米流質(zhì)量），則ρ=Δm/Δt，結(jié)合（1）、（2）兩式可以得到米流柱底端撞擊臺秤產(chǎn)生的沖擊力

空中米流柱下落時間t滿足

空中米流柱總質(zhì)量m′滿足

空中米流柱總重力G′滿足

可見F=G′，說明空中米流柱底端對臺秤的沖擊力示數(shù)與空中米流柱自身重力相同，因此自動稱米機是準確的，買家不賺賣家不賠.

實驗驗證：如圖2，打開龍頭讓水流出，用電子秤測量流進燒杯中的水的質(zhì)量，通過拍攝視頻可以發(fā)現(xiàn)，在關閉龍頭時空中仍然存在一段水柱，此時電子稱示數(shù)為90g，如圖2（甲）所示.當空中的水柱落回燒杯后，此時電子秤的示數(shù)仍然為90g，如圖2（乙）所示.通過該實驗現(xiàn)象可以說明空中水柱底端對臺秤產(chǎn)生的示數(shù)與這段水柱的總重相同.

圖2

2 模型進階1：電子流碰撞模型（由米粒流到電子流的對象模型進階）

金屬中電流的產(chǎn)生是電子定向移動形成的，電子流撞擊金屬片可形成電流.電子流碰撞模型是米粒流碰撞模型的對象模型進階，該對象模型抽象，需要由米粒流進行類比遷移，但由于其過程模型仍然是完全非彈性碰撞，因此在運用動量定理分析此類問題并不復雜.

例2.（2020年北京高考第19題第2問）如圖3所示，真空中有一長直細金屬導線MN，與導線同軸放置一半徑為R的金屬圓柱面.假設導線沿徑向均勻射出速率相同的電子，已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮出射電子間的相互作用.撤去柱面，沿柱面原位置放置一個弧長為a、長度為b的金屬片.在該金屬片上檢測到出射電子形成的電流I，電子流對該金屬片的壓強為p，求單位長度導線單位時間內(nèi)出射電子的總動能.

圖3

解析：假設單位時間內(nèi)金屬片接收到的電子個數(shù)為n，電子射出的速度為v0，電子流對金屬片的作用力大小為F，根據(jù)動量定理

電子流對金屬片產(chǎn)生的壓強可以表示為

金屬片上檢測到的電流可以表示為

聯(lián)立（6）、（7）式得到

若將該金屬片沿弧長a延展至一周（寬度b不變），則金屬片單位時間接收到的電子個數(shù)

則單位長度的導線單位時間射出電子個數(shù)

聯(lián)立（8）-（10）式，得到單位長度導線單位時間射出電子總動能

3 模型進階2：氣壓產(chǎn)生（由電子氣到氣體分子、由完全非彈性碰撞到完全彈性碰撞）

與電子流的定向運動不同，理想氣體分子向空間各個方向運動的幾率相同，存在朝某一方向做定向運動的概率.理想氣體分子碰撞模型不僅存在對象模型的進階、還存在這過程模型的進階，即研究對象是以一定概率做定向運動的氣體分子、而且碰撞過程是完全彈性碰撞具有反彈速度，因此運用動量定理分析此類問題較為復雜.

例3.（2013年北京高考第24題第2問）正方體密閉容器中有大量運動粒子，每個粒子質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)粒子數(shù)量n為恒量，為簡化問題，我們假定：粒子大小可以忽略；其速率均為v，且與器壁各面的碰撞機會均等；與器壁碰撞前后瞬間，粒子速度方向都與器壁垂直，且速率不變.利用所學力學知識，導出器壁單位面積所受粒子壓力f與m、n和v的關系.

圖4

解析：由于理想氣體分子和器壁發(fā)生完全彈性碰撞，分子碰后速度與碰前速度等大反向，根據(jù)動量定理，單個分子動量變化量的大小滿足

為計算Δt時間內(nèi)撞擊器壁的分子個數(shù)，構(gòu)建如圖4所示的立方體模型，如果氣體分子均撞向器壁，撞擊器壁的分子個數(shù)可以表示為vΔtSn，由于分子朝各個方向運動的幾率相同，即朝前、后、左、右、上、下的運動幾率相同，因此實際的分子個數(shù)可以表示為

根據(jù)動量定理，器壁受到的撞擊力大小F滿足

由此解得

最后得到氣體分子撞擊器壁產(chǎn)生的壓強，即氣體壓強滿足

延伸思考1.假設氣體分子與缸壁的碰撞視為彈性碰撞，氣體分子的質(zhì)量為m，溫度為T時氣體分子的速率為v，且與缸壁碰撞前后，速度方向均與缸壁垂直.若該溫度下單位時間內(nèi)氣體分子與缸壁單位面積碰撞次數(shù)記為N，請導出此溫度下的壓強p與m、v、N之間的關系.

解析：根據(jù)動量定理

根據(jù)壓強的定義進一步得到

延伸思考2.例3中的n的含義是單位體積內(nèi)的氣體分子個數(shù)，而例4中的N是氣體分子與缸壁單位時間、單位面積碰撞次數(shù)，兩者之間存在怎樣的關系？

延伸思考3.（由2019年北京高考第24題第3問改編）由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為0.將雨滴簡化為垂直于運動方向面積為S的圓盤，推導圓盤以速度v下落時，受到的空氣阻力所滿足的關系.（提示：設單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為n，空氣分子與圓盤碰撞前后相對圓盤的速度大小不變且均為u，且u＞v，單個空氣分子質(zhì)量為m0）.

圖5

解析：以地面為參考系，以豎直向下為正方向，單個分子碰撞前后動量的變化量

Δt時間內(nèi)與雨滴碰撞的氣體分子個數(shù)表示為

根據(jù)動量定理得到

聯(lián)立（18）-（20）式得到

4 模型進階3：光壓產(chǎn)生（由氣體分子到光子、由完全彈性碰撞到非完全彈性碰撞）

光子碰撞物體表面同樣會產(chǎn)生壓強，即光壓.黑色物體能完全吸收光子，因此光子與黑色物體的碰撞是完全非彈性的，而白色物體完全反射光子，因此光子與白色物體的碰撞是完全彈性的，一般物體存在部分吸收光子的情況，即光子與物體的碰撞一般認為是非完全彈性的，這使得連續(xù)體碰撞的過程模型變得復雜.

例4.根據(jù)量子理論：光子既有能量也有動量；光子能量E和動量p之間的關系是E=pc，其中c為光速.由于光子有動量，照到物體表面的光子被物體吸收或被反射時都會對物體產(chǎn)生一定的沖量，也就對物體產(chǎn)生了一定的壓強，稱之為“光壓”（類比“氣壓”）.根據(jù)動量定理可以近似認為：當動量為p的光子垂直照射到物體表面，若被物體反射，則物體受到的沖量大小為2p；若被物體吸收，則物體受到的沖量大小為p.

某激光發(fā)出激光束的功率為P0，光束的橫截面積為S.當該激光束垂直照射到某物體表面時，物體對該激光的反光率為η，請推導該激光束對此物體產(chǎn)生的光壓大小.

解析：設時間Δt內(nèi)，照射到物體表面的光子個數(shù)為N，依題意得

由于一部分光子發(fā)生完全彈性碰撞、另一部分光子發(fā)生完全非彈性碰撞，因此光束與物體的碰撞屬于非完全彈性碰撞，根據(jù)動量定理得到物體受到的撞擊力F大小滿足

聯(lián)立（21）、（22）式得到

激光束對此物體產(chǎn)生的光壓大小為

5 結(jié)語

連續(xù)體碰撞問題包含了牛頓運動定律、動量定理等運動和相互作用觀，模型建構(gòu)、推理論證等科學思維要素，以及“微元法”等物理學科方法；解決此類問題往往需要學生具備較高的物理核心素養(yǎng)和高階思維.根據(jù)從感性到理性、從具體到抽象、從簡單到復雜的認知進階規(guī)律，教師可以從原始的連續(xù)體碰撞模型出發(fā)，引導學生親歷從連續(xù)體（如米粒流）到電子流、理想氣體分子、光子的對象模型進階，從完全非彈性碰撞到完全彈性碰撞、非完全彈性碰撞的過程模型進階.通過物理模型進階，輔助學生熟悉并掌握連續(xù)體碰撞問題.