運用“等效碰撞”解題 提升模型拓展能力

王利東 姜連國

（1.首都師范大學附屬蘋果園中學，北京 100144；2.北京市第八十中學，北京 100102）

1 引言

2017年版高中物理課程標準強調(diào)物理學科的核心素養(yǎng)，更加重視學生科學思維和科學探究的培養(yǎng).新課標對物理建模能力提出了明確的要求，在物理學科的核心素養(yǎng)中，模型建構(gòu)是科學思維的重要組成部分，要求學生基于經(jīng)驗事實建構(gòu)物理模型，運用抽象概括、分析綜合、推理論證等科學方法，基于事實證據(jù)和科學推理對不同觀點和結(jié)論提出質(zhì)疑和批判，進行檢驗和修正，進而提出創(chuàng)造性見解.物理模型是物理知識的主要成分，物理建模是學生建構(gòu)和使用物理知識、進而認識真實世界的過程.在物理建?；顒又?，學習者必須根據(jù)已有的物理知識和生活經(jīng)驗，使用所給予的材料和工具來探究面對的新情境，建構(gòu)起對當前情境的理解，并將自己的這種理解表達出來.

碰撞是動量和守恒部分的重要模型，涉及到動量和能量的知識.這一部分內(nèi)容綜合性強，從經(jīng)典碰撞模型的建立，到模型的應用和拓展，都對學生提出了較高的要求.新課標對不同層次的學業(yè)水平作出了細致的描述，其中水平4是高考要求達到的層次.在水平4對建模能力的描述中，要求“能將實際問題中的對象和過程轉(zhuǎn)換成所學的物理模型”，在實際問題和過程中抽象物理模型，建模情境更復雜，難度更高；要求“能對綜合性物理問題進行分析和推理，獲得結(jié)論并作出解釋”，模型優(yōu)化更全面，綜合性更高；要求“能恰當使用證據(jù)證明物理結(jié)論”明確提出論證需要，不僅要明確觀點，還要指出理由；要求“能對已有結(jié)論提出有依據(jù)的質(zhì)疑，采用不同方式分析解決物理問題”，通過運用類比遷移、質(zhì)疑創(chuàng)新等高階思維，實現(xiàn)物理模型的拓展和推廣.［1］

高考對碰撞模型的考查不僅局限于經(jīng)典模型的提取，還常常涉及到碰撞模型在不同領域的拓展，結(jié)合新穎的題目情境考查學生的創(chuàng)新能力.要求學生發(fā)展遷移的技巧，能用建立的模型來解釋新情境，甚至在已建立模型基礎上進行延伸，再建構(gòu)一個新的模型.在日常教學中，我們既要重視基礎知識的學習和鞏固，也要注重對學生綜合能力和面對新情境問題的訓練，提升學生的科學思維和科學探究的水平.下面從經(jīng)典力學、電場、電磁感應、熱學、光學、原子物理等知識情境下，討論“廣義”碰撞問題.

2 不同情境下的碰撞

隨著新課改的實施，考題多在不同的問題情境下設置，更著重考查學生的科學思維和科學探究的能力，學生解題時需要提取重要信息，聯(lián)想基礎知識，建立模型，最后再選擇運用不同工具解決問題.有些題目是在原始物理問題情境中出現(xiàn)，［2］難度會更大些，臨場應對能力更加全面.

2.1 經(jīng)典力學情境

例1.（2020年北京高考真題）在同一豎直平面內(nèi)，3個完全相同的小鋼球（1號、2號、3號）懸掛于同一高度；靜止時小球恰能接觸且懸線平行，如圖1所示.在下列實驗中，懸線始終保持繃緊狀態(tài)，碰撞均為對心正碰.以下分析正確的是

圖1

（A）將1號移至高度h釋放，碰撞后，觀察到2號靜止、3號擺至高度h.若2號換成質(zhì)量不同的小鋼球，重復上述實驗，3號仍能擺至高度h.

（B）將1、2號一起移至高度h釋放，碰撞后，觀察到1號靜止，2、3號一起擺至高度h，釋放后整個過程機械能和動量都守恒.

（C）將右側(cè)涂膠的1號移至高度h釋放，1、2號碰撞后粘在一起，根據(jù)機械能守恒，3號仍能擺至高度h.

（D）將1號和右側(cè)涂膠的2號一起移至高度h釋放，碰撞后，2、3號粘在一起向右運動，未能擺至高度h，釋放后整個過程機械能和動量都不守恒.

解析：3個完全相同的小鋼球碰撞，結(jié)合選項給出的控制條件，提取不同的碰撞模型分析判斷.

選項（A）1號球與質(zhì)量不同的2號球相碰后，1號球的速度不為0，則碰后2號球獲得的動能小于1號球剛要碰2號前的動能，所以2號球與3號球相碰后，3號球獲得的動能也小于2號球剛要碰3號球前的動能，所以3號球不能擺到h高度，故（A）錯誤.

選項（B）1、2號球釋放后，3小球之間的碰撞為彈性碰撞，且3小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒，但整個過程中，系統(tǒng)所受合外力不為零，所以系統(tǒng)動量不守恒，故（B）錯誤.

選項（C）1、2號碰撞后粘在一起，為完全非彈性碰撞，碰撞過程有機械能損失，所以1、2號球再與3號球相碰后，3號球獲得的動能不足以使其擺至高度，故（C）錯誤.

選項（D）碰撞后，2、3號粘在一起，為完全非彈性碰撞，碰撞過程有機械能損失，且整個過程中，系統(tǒng)所受合外力不為0，所以系統(tǒng)的機械能和動量都不守恒，故（D）正確.

點評：題目中雖然沒有要求計算，只是個定性判斷的問題，但對彈性碰撞、非彈性碰撞和完全非彈性碰撞的區(qū)別要比較熟悉.在（A）、（B）選項中，對彈性碰撞的不同情況加以討論，（A）選項中2號球質(zhì)量與1號球的質(zhì)量不同，它所獲得的動能要小.（B）、（D）選項中對動量守恒的條件要很清楚，不然容易選錯.題目基于牛頓擺實驗設計，設置不同的控制條件，突破典型碰撞過程的動量守恒，通過改變小球質(zhì)量、兩個同時擺動、小球涂膠等等進行模型變式，考查學生的模型提取和論證能力.

2.2 電場情境

例2.（2012 年 北 京高考理綜真題第24題）勻強電場的方向沿x軸正向，電場強度E隨x的分布如圖2所示.圖中E0和d均為已知量.將帶正電的質(zhì)點A在O點由靜止釋放.A離開電場足夠遠后，再將另一帶正電的質(zhì)點B放在O點也由靜止釋放.當B在電場中運動時，A、B間的相互作用力及相互作用能均為0；B離開電場后，A、B間的相互作用視為靜電作用.已知A的電荷量為Q，A和B的質(zhì)量分別為m和.不計重力.

圖2

（1）求A在電場中的運動時間t；

（2）若B的電荷量求兩質(zhì)點相互作用能的最大值Epm；

（3）為使B離開電場后不改變運動方向，求B所帶電荷量的最大值qm.

解析：（1）A在電場中只受電場力做加速運動，由牛頓第二定律得電場力為恒力，所以A在電場中做勻變速直線運動解得

（2）設A、B離開電場時的速度分別為vA0、vB0，由動能定理得

由（1）式可知vA0＜vB0，B追A，出電場后，只有A、B之間的相互作用力，系統(tǒng)滿足動量和能量守恒.A、B相互作用力為斥力，A受的力與其運動方向相同，B受的力與其運動方向相反，相互作用力對A做正功，對B做負功.A、B靠近的過程中，B的路程大于A的路程，由于作用力大小相等，作用力對B做功的絕對值大于對A做功的絕對值，因此相互作用力做功之和為負，相互作用能增加.所以，當A、B最接近時相互作用能最大，此時兩者速度相同，設為v′，有

（3）考慮A、B在區(qū)間運動，由動量守恒、能量守恒，且在初態(tài)和末態(tài)均無相互作用，有

圖3

點評：本題第2問要計算出AB兩球的初速度，對A和B的初速度進行一個比較，結(jié)合彈性碰撞模型情形，畫出質(zhì)點AB出電場后的情景圖，有助于基礎較弱的學生對問題進行分析.如圖3所示，此題情境并不復雜，但增加了電場的知識，需要學生能有比較強的遷移能力，找清楚初始條件，與學過的模型進行聯(lián)系.依據(jù)條件準確畫出情景圖，是一種化解難度的方法.題目（2）、（3）以點電荷的相互作用為載體，考查相互作用過程的動態(tài)分析，二者的相互作用過程符合碰撞模型的典型特征：速度相等時符合完全非彈性碰撞模型、離開無窮遠時符合彈性碰撞模型.題目界定了兩質(zhì)點相互作用能，增加了難度要求學生從能量守恒角度，分析得出兩質(zhì)點的動能與相互作用能相互轉(zhuǎn)化，速度相等時相互作用能最大，最大值等于動能的減少量；離開無窮遠時兩質(zhì)點的總動能與B剛離開電場時相等，利用彈性碰撞模型，根據(jù)B離開電場后運動方向不變的要求，求得B所帶電荷量的最大值qm.

應用SPSS 22.0統(tǒng)計軟件進行實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學分析。所有計量資料均進行正態(tài)分布檢驗和方差分析檢驗，表格整體數(shù)據(jù)以均值±標準差（x±s）表示，組間的比較采用單因素方差分析 （One-way ANOVA）并進行方差齊性檢驗；兩兩比較采用LSD法；計數(shù)資料比較采用χ2檢驗。P<0.05表示差異有統(tǒng)計學意義。

2.3 電磁感應情境

例3.如圖4所示，兩條平行光滑導軌相距L，水平導軌足夠長，忽略導軌電阻，水平軌道周圍有豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場中，金屬棒a、b質(zhì)量分別為m和金屬棒b放在水平導軌上，金屬棒a從斜軌上高h處自由滑下，設棒a與棒b始終未相撞，金屬棒a、b電阻為R、求：金屬棒a產(chǎn)生的熱量Qa是多少？

圖4

解析：金屬棒a從斜軌滑下進入水平軌道后，切割磁感線，回路中產(chǎn)生感應電流，棒a受到水平向左的安培力的作用做減速運動，棒b受水平向右的安培力作用做加速運動.棒a、b切割磁感線使回路產(chǎn)生感應電流，a、b棒發(fā)熱，隨著時間推移，當兩棒最終速度相等時，回路中感應電流變?yōu)?，棒a、b不受安培力作用，水平方向上沒有外力，所以棒a、b以共同速度勻速直線運動.根據(jù)能量守恒，求出棒a、b回路產(chǎn)生的總的熱量，再根據(jù)電阻之間的關(guān)系就可以求金屬棒a在此過程中產(chǎn)生的熱量Qa.設a剛進入水平軌道時速度為v0，則有

之后對棒a、b組成的系統(tǒng)，因為水平方向合力為零，動量守恒，設棒a、b的最終共同速度為v，則有

水平軌道上的整個過程由能量守恒得

棒ab中電流雖然變化，但發(fā)熱之比始終不變，可得

點評：兩個金屬棒在水平軌道上的運動，受到的安培力等大反向，可以等效成內(nèi)力.這樣，兩個金屬棒組成的系統(tǒng)動量守恒，最終速度相等，符合完全非彈性碰撞特征.從能量轉(zhuǎn)化角度，系統(tǒng)損失的機械能轉(zhuǎn)化為電能，等于兩個金屬棒上產(chǎn)生的總電熱.電磁感應情境下的“類碰撞過程”需要將兩部分的知識結(jié)合起來考慮，尤其系統(tǒng)的動量守恒條件和能量轉(zhuǎn)化方向的判定，迷惑性更強.

2.4 熱學情境

例4.如圖5所示，兩端足夠長的敞口容器中，有兩個可以自由移動的光滑活塞A和B，中間封有一定量的空氣，現(xiàn)有一塊粘泥C，以動能Ek0沿水平方向飛撞到A并與之粘在一起，由于活塞的壓縮，使密封氣體的內(nèi)能增加，設A、B、C質(zhì)量相等，碰撞時間極短，若不考慮活塞和粘泥所吸收的熱量，則密閉空氣在碰撞后的絕熱變化過程中，內(nèi)能增加的最大值是多少？

圖5

解析：粘泥C飛撞到A并粘在一起的瞬間，可以認為二者組成的系統(tǒng)動量守恒，初速度為v0，末速度為v1，則有mv0=2mv1；在AC一起向右運動的過程中，AB的氣體被壓縮，壓強增大，所以活塞A將減速運動，而活塞B將從靜止開始做加速運動，在兩活塞的速度相等之前，AB之間的距離減小，氣體體積越來越小，內(nèi)能越來越大，AB速度相等時內(nèi)能最大，設此時速度為v2，此過程中對ABC組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得（氣體質(zhì)量不計）

由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律可得，在氣體壓縮過程中系統(tǒng)的動能的減少量等于氣體內(nèi)能的增加量，可得

點評：熱學的知識學生訓練比較少，此情境對很多學生是比較陌生.這種情境能更好地考查學生對碰撞知識的理解.在壓縮氣體的過程中，CA與B兩個活塞受到的內(nèi)外氣體的壓力差大小是相等的，方向相反，滿足動量守恒的條件，而CA、B活塞所受力做功是不同的，把CA、B的一部分動能轉(zhuǎn)化為氣體內(nèi)能.由熱力學第一定律可知：ΔU=Q+W，而密閉氣體是絕熱過程，增加的內(nèi)能全部來自做功，把ABC的動能一部分轉(zhuǎn)化為氣體的內(nèi)能.題目涉及兩個過程：粘泥C飛撞到A并粘在一起的過程、CA與B相互作用壓縮氣體直到速度相等的過程.兩個過程都符合完全非彈性碰撞模型的特征，都損失了動能，但只有第二個過程中損失的動能才轉(zhuǎn)化為封閉氣體的內(nèi)能.

2.5 光學情境

例5.如圖6所示，美國物理學家康普頓及其團隊將X射線入射到石墨上，發(fā)現(xiàn)被石墨散射的X射線中除了有與入射波長相同的成分外，還有與入射波長不同的成分.我國物理學家吳有訓在此項研究中也做出了突出貢獻，因此物理學界也把這一效應稱為“康普頓 吳效應”.由于這一現(xiàn)象很難用經(jīng)典電磁理論解釋，所以康普頓提出光子不僅有能量，也具有動量，光子的動量p與其對應的波長λ之間的關(guān)系為（h為普朗克常量）進一步研究表明X射線的散射實質(zhì)是單個光子與單個電子發(fā)生碰撞的結(jié)果.由于電子的速度遠小于光的速度，可認為電子在碰撞前是靜止的.現(xiàn)探測到散射X射線的波長不同于入射X射線的波長，請你構(gòu)建一個合理的相互作用模型，解決以下問題：

（1）請定性分析散射后X射線的波長λ′與入射X射線的波長λ的大小關(guān)系；

（2）若已知入射X射線的波長為λ，散射后X射線的波長為λ′.設散射X射線相對入射方向的偏轉(zhuǎn)角為θ.求時電子獲得的動量.

圖6

解析：由題意可建構(gòu)如下模型：X射線中的單個光子與靜止的電子發(fā)生碰撞，遵守動量守恒定律.

（1）由于入射光子把一部分能量給了電子，則散射后光子的能量減小，光子的頻率ν減小，根據(jù)可知，光子的波長變大，即λ′＞λ.

圖7

（2）建立圖7的坐標系.設電子獲得的動量p的方向與入射X射線方向的夾角為φ，動量p在x、y方向上的分量分別為px、py，根據(jù)動量守恒定律有，

x方向：

y方向：

其中cosθ=0，sinθ=1，

聯(lián)立（1）-（4）式可得

點評：按照光子理論對康普頓效應解釋，X射線為一些E=hν的光子，與自由電子發(fā)生彈性碰撞，電子獲得一部分能量，散射的光子能量減小，頻率減小，波長變長.這一過程同時滿足動量守恒與能量守恒，其中光子的動量滿足本題以康普頓效應的微觀過程為載體，對光子碰撞電子的過程進行分析，把碰撞模型從一維拓展到二維，給出了光子的動量表達式，提示建立二維坐標系把矢量運算化為代數(shù)運算的方法，分別在兩個方向上把碰撞后的動量進行矢量分解，然后分別根據(jù)動量守恒列式.把彈性碰撞動碰靜的模型進行了適度的拓展，碰撞前后運動不在一條直線上，需要對碰撞后動量矢量分解，而且動量的表達式不是質(zhì)量與速度的乘積.

2.6 原子物理情境

例6.中子的發(fā)現(xiàn)是物理史上的一件大事.1930年科學家在真空條件下用α射線轟擊鈹核94Be時，發(fā)現(xiàn)一種看不見、貫穿能力極強的不知名射線和另一種粒子產(chǎn)生.這種不知名射線具有如下特點：（1）在任意方向的磁場中均不發(fā)生偏轉(zhuǎn)；（2）這種射線的速度遠小于光速；（3）用它轟擊含有氫核的物質(zhì)，可以把氫核打出來；用它轟擊含有氮核的物質(zhì)，可以把氮核打出來.實驗中測得，被打出氫核的最大速度為3.3×107m/s，氮核的最大速度為4.7×106m/s，假定該射線中的粒子均具有相同的能量，氫核和氮核碰前可認為是靜止的，碰撞過程中沒有動能的損失.已知氫核質(zhì)量MH與氮核質(zhì)量MN之比為1∶14.根據(jù)以上信息，不考慮相對論效應，完成下列問題.求：請通過計算判斷該射線中的粒子是否為盧瑟福所預言的中子，并通過分析說明依據(jù).

解析：設組成該射線的粒子質(zhì)量為m，轟擊含有氫核或氮核的物質(zhì)時速度為v.由于碰撞過程中沒有動能損失，當被打出的氫核和氮核的速度為最大值時，表明其碰撞為彈性碰撞.設與氫核發(fā)生彈性正碰后粒子速度為v1，氫核速度為vH；與氮核發(fā)生彈性正碰后粒子速度為v2，氮核速度為vN.根據(jù)動量守恒和機械能守恒，轟擊氫核

解得

轟擊氮核

解得

由（3）、（6）式解得m=1.16MH≈MH.計算得該射線粒子的質(zhì)量與質(zhì)子（氫核）的質(zhì)量近似相等，磁場中不偏轉(zhuǎn)說明不帶電荷，表明這種射線粒子就是盧瑟福所預言的中子.

點評：動量守恒定律既適用于宏觀，也適用于微觀，原子物理問題中的碰撞，與傳統(tǒng)力學的碰撞非常相似，只要找清楚碰撞對象和數(shù)量關(guān)系，就容易解決問題.宏觀情境下的問題和微觀情境下的問題有很多相似之處，只是觀察的尺寸不同，在微觀粒子的相互作用過程中，運用經(jīng)典力學的觀點，類比彈性碰撞或非彈性碰撞模型分析研究，是一種常用的處理方法，這種方法在高中階段用得更多.

3 結(jié)論

碰撞模型是高中物理中一個重要的理想化過程模型，在應用模型解決問題的過程中，從研究對象看，碰撞模型中都會牽扯到兩個及以上物體；從物理觀念看，碰撞模型涉及相互作用觀、運動觀、能量觀；從解決問題的思維過程來看，需要學生進行模型建構(gòu)、科學推理、分析判斷、數(shù)學運算等；從科學探究來看，每一次解決不同的情境下的碰撞問題，都會有新知探索和舊知的聯(lián)系.在面對一個新的問題時，除需要進行常規(guī)分析，畫出合理的情境圖，分析系統(tǒng)的受力情況，判斷是否滿足動量守恒外，判定題目涉及的相互作用過程是否符合碰撞模型特征，并結(jié)合題目的限制條件區(qū)分屬于哪一種碰撞，借助碰撞模型分析系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的方向，進而列出相應的方程，運用一定的數(shù)學計算技巧，才能解決類似的問題.通過解決不同情境下的“等效碰撞”問題，鍛煉學生的模型拓展和模型應用能力.