雙合成波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲分級(jí)解包裹方法*

劉磊 徐志博 錢文碩 李文杰 謝芳 鐘志2) 單明廣2)?

1) (哈爾濱工程大學(xué)，信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學(xué)，先進(jìn)船舶通信與信息技術(shù)工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001)

雙波長(zhǎng)數(shù)字全息中差分合成波長(zhǎng)可拓展無(wú)相位包裹測(cè)量縱深范圍,但顯著放大相位噪聲;加性合成波長(zhǎng)可抑制相位噪聲,但大幅縮小無(wú)相位包裹測(cè)量范圍.因此,本文利用差分合成波長(zhǎng)無(wú)包裹測(cè)量范圍大與加性合成波長(zhǎng)噪聲低的特性,提出一種雙合成波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲分級(jí)解包裹方法.該方法利用由差分合成波長(zhǎng)獲得的“相位差”引導(dǎo)單波長(zhǎng)包裹相位進(jìn)行解包裹,然后再利用單波長(zhǎng)的解包裹后的光程差引導(dǎo)加性合成波長(zhǎng)獲得的包裹“相位和”進(jìn)行解包裹,通過(guò)分級(jí)實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)低噪聲解包裹.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法可以簡(jiǎn)單、快速地實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲解包裹.

1 引言

數(shù)字全息技術(shù)[1?16]基于光的干涉原理,利用相機(jī)記錄由干涉形成的全息圖,并利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)相位恢復(fù)及待測(cè)物體形貌等成像測(cè)量,具有非接觸、高分辨力、全場(chǎng)定量等優(yōu)點(diǎn),并廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、微細(xì)加工和材料工程等測(cè)試領(lǐng)域.但目前的研究多集中于單波長(zhǎng)照明[3?11],當(dāng)待測(cè)物體引起的光程差大于照明波長(zhǎng)時(shí),由于相位恢復(fù)過(guò)程的反正切函數(shù)的周期作用,恢復(fù)出的物體相位存在著包裹問題,使測(cè)量縱深受限,必須利用單波長(zhǎng)解包裹算法進(jìn)行相位解包裹才能獲得待測(cè)物體的真實(shí)相位.但是,目前單波長(zhǎng)解包裹算法普遍計(jì)算量很大、恢復(fù)速度慢,而且當(dāng)待測(cè)物體存在臺(tái)階、溝槽等邊緣銳利結(jié)構(gòu)時(shí),單波長(zhǎng)解包裹算法會(huì)失效.

為了克服單波長(zhǎng)解包裹算法存在的缺陷,有研究提出了一種有效解決方案是采用雙波長(zhǎng)數(shù)字全息技術(shù)[12?16],其利用兩個(gè)不同波長(zhǎng)的光源進(jìn)行照明,獲取每個(gè)波長(zhǎng)的包裹相位圖,再利用簡(jiǎn)單的相減計(jì)算恢復(fù)出差分合成波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的“相位差”,實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)解包裹.雙波長(zhǎng)數(shù)字全息形成的差分合成波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于任一單波長(zhǎng),極大地拓展無(wú)相位包裹的測(cè)量縱深,且只要待測(cè)物體引起的最大光程差不大于該差分合成波長(zhǎng),就不需任何復(fù)雜的解包裹算法.但與此同時(shí),差分合成波長(zhǎng)顯著放大相位噪聲,且噪聲隨著差分合成波長(zhǎng)增大而增大,從而限制測(cè)量精度和測(cè)量范圍的提升.為了解決雙波長(zhǎng)數(shù)字全息解包裹噪聲放大問題,Gass 等[13]提出了免疫算法,利用“相位差”解算出的光程差,引導(dǎo)單波長(zhǎng)的包裹相位進(jìn)行解包裹;隨后,Khmaladze 等[17]和Asundi等[18]相繼提出了線性規(guī)劃法,利用線性規(guī)劃搜索使兩個(gè)單波長(zhǎng)光程差值最小的整數(shù)對(duì),并利用該整數(shù)對(duì)單波長(zhǎng)包裹相位進(jìn)行相位解包裹,但這些方法噪聲水平仍受限于單波長(zhǎng)照明時(shí)的噪聲水平.因此,趙建林等[19]將兩個(gè)單波長(zhǎng)的包裹相位相加,獲得加性合成波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的“相位和”,從而獲得比單波長(zhǎng)照明時(shí)更低的噪聲水平,但因?yàn)榧有院铣刹ㄩL(zhǎng)比任何單波長(zhǎng)均小,縮減了無(wú)包裹測(cè)量縱深.受其啟發(fā),呂曉旭等[20]利用“相位差”、“相位和”以及免疫算法改進(jìn)了雙波長(zhǎng)解包裹過(guò)程,在獲得差分合成波長(zhǎng)無(wú)包裹測(cè)量縱深的同時(shí),獲得了加性合成波長(zhǎng)的低噪聲水平,但其需要通過(guò)復(fù)雜計(jì)算獲得多個(gè)中間變量,造成解包裹速度慢的問題.隨后,單明廣等[21]以及劉乾等[22]基于直接線性規(guī)劃導(dǎo)引法,利用“相位差”和“相位和”直接實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)低噪聲解包裹,雖然思路簡(jiǎn)單,但是需要最小二乘法在二維空間搜索約束邊界條件,計(jì)算過(guò)程耗時(shí).

因此,本文結(jié)合利用差分合成波長(zhǎng)與加性合成波長(zhǎng)的優(yōu)勢(shì),提出雙合成波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲分級(jí)解包裹方法,在實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)低噪聲解包裹的同時(shí),避免復(fù)雜中間量計(jì)算,以提升雙波長(zhǎng)解包裹速度.

2 理論方法

假設(shè)雙波長(zhǎng)數(shù)字全息中照明激光的波長(zhǎng)分別為λ1和λ2(λ1<λ2),且均小于待測(cè)物體引起的光程差,但其差分合成波長(zhǎng)λds大于該物體引起的光程差;同時(shí),從雙波長(zhǎng)全息圖中恢復(fù)獲得單波長(zhǎng)包裹相位圖分別為φ1和φ2,則由此獲得“相位差”φds與“相位和”φas分別為

其中,φds為解包裹的相位但噪聲高,對(duì)應(yīng)差分合成波長(zhǎng)λds,λds=λ1λ2/(λ1–λ2);φas為包裹的相位但噪聲低,對(duì)應(yīng)加性合成波長(zhǎng)λas,λas=λ1λ2/(λ1+λ2).

利用光程差與相位之間的物理關(guān)系,可獲取解包裹相位φds對(duì)應(yīng)的光程差hds,即:

雖然由于λds的噪聲放大作用,hds蘊(yùn)含大量噪聲,但hds能夠反映待測(cè)物體的真實(shí)形貌分布.

而兩個(gè)照明波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的光程差可以表示如下:

若不考慮折射率的影響,單波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的光程差與差分合成波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的光程差理論上應(yīng)相等,即hi=hds.因此,可以利用hds引導(dǎo)對(duì)φi進(jìn)行解包裹,這里僅以波長(zhǎng)λ1為例,并由(4)式可得:

其中,round 表示取最近整數(shù)操作.

利用上式計(jì)算的k1,便可直接計(jì)算出單波長(zhǎng)λ1對(duì)應(yīng)的無(wú)包裹光程差h1,即

相對(duì)于hds,h1在反映待測(cè)物體真實(shí)形貌分布的同時(shí),降低了噪聲,但其仍局限于單波長(zhǎng)水平.因此,繼續(xù)以h1為基準(zhǔn)引導(dǎo)低噪聲的“相位和”φas解包裹,即:

在確定kas之后,便可利用該值計(jì)算出加性合成波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的無(wú)包裹光程差,即:

在反射式雙波長(zhǎng)數(shù)字全息中,由于光波照射待測(cè)物體并被反射回來(lái),has等于待測(cè)物體物理高度h 的兩倍,即h=has/2;而在透射式雙波長(zhǎng)數(shù)字全息中,has等于h 與待測(cè)物體折射率(n–1)的乘積,即h=has/(n–1).因?yàn)閔as由低相位噪聲的φas計(jì)算,所以待測(cè)物體的h 測(cè)量精度大大提升.

上述的解包裹過(guò)程可定義為分級(jí)解包裹法,其流程如圖1 所示,按照差分合成波長(zhǎng)-單波長(zhǎng)-加性合成波長(zhǎng)的順序逐級(jí)實(shí)現(xiàn)解包裹,整個(gè)過(guò)程未采用循環(huán)計(jì)算,也無(wú)需像直接線性規(guī)劃導(dǎo)引法采用最小二乘法在二維空間搜索約束邊界條件,因此,整個(gè)解包裹過(guò)程計(jì)算量小,速度快.

圖1 分級(jí)解包裹流程圖Fig.1.Flowchart of Hierarchical phase unwrapping.

3 模擬驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證所提方法的有效性,利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行一系列的仿真實(shí)驗(yàn),其中采用的計(jì)算機(jī)CPU 為Intel i5-4590,主頻3.30 GHz,內(nèi)存容量16 GB,計(jì)算過(guò)程僅使用CPU 單核處理.實(shí)驗(yàn)使用的照明波長(zhǎng)分別為λ1=632.8 nm 和λ2=532 nm,為了便于仿真過(guò)程描述,仿真實(shí)驗(yàn)中不考慮折射率影響,由此可得加性合成波長(zhǎng)λas=289.0 nm 和差分合成波長(zhǎng)λds=3339.8 nm.首先,利用PEAK函數(shù)生成待測(cè)物體,其分布如圖2(a)所示,尺寸為500 pixel×500 pixel,高度峰谷值為2198.6 nm;由此生成一個(gè)雙波長(zhǎng)復(fù)合全息圖,并在歸一化后的全息圖中添加均值為0,方差為0.001 的高斯白噪聲,如圖2(b)所示;利用除法相位恢復(fù)算法[23]恢復(fù)出兩個(gè)波長(zhǎng)λ1和λ2對(duì)應(yīng)的相位,分別如圖2(c)和圖2(d)所示,從圖中可以看出,兩幅相位圖均產(chǎn)生了明顯的包裹.

圖2 (a)待測(cè)物體高度圖;(b)離軸全息圖;(c) λ1 和(d) λ2 對(duì)應(yīng)的包裹相位Fig.2.(a) Original height map of the simulated sample;(b) simulated multiplexed off-axis hologram;and corresponding wrapped phase maps at (c) λ1 and (d) λ2.

為了展示本文算法的優(yōu)越性,將傳統(tǒng)雙波長(zhǎng)解包裹算法(算法I)、線性規(guī)劃算法(算法Ⅱ)和直接線性規(guī)劃算法(算法Ⅲ),與本文所提算法(算法Ⅳ)進(jìn)行比較.4 種算法的恢復(fù)結(jié)果如圖3(a)—3(d)所示,與原始值的殘差如圖3—3(h)所示.為了定量的比較4 種算法的恢復(fù)質(zhì)量,在殘差圖的右上角標(biāo)注了殘差的標(biāo)準(zhǔn)差(SD)及峰谷值(PV).提取殘差圖中黑色虛線標(biāo)注的數(shù)據(jù),所得4 組一維數(shù)據(jù)如圖4 所示.顯而易見,算法Ⅲ和所提算法Ⅳ可獲得更好的恢復(fù)質(zhì)量和更低的噪聲,能達(dá)到加性合成波長(zhǎng)的恢復(fù)質(zhì)量,且優(yōu)于算法I 和Ⅱ的恢復(fù)質(zhì)量;但相對(duì)于算法Ⅲ的1989.5 ms 解包裹時(shí)間,所提的算法Ⅳ解包裹時(shí)間為20.5 ms,從而使解包裹速度提升了97 倍.

圖3 (a)算法I,(b)算法Ⅱ,(c)算法Ⅲ和(d)算法Ⅳ的恢復(fù)結(jié)果;(e)算法I,(f)算法Ⅱ,(g)算法Ⅲ和(h)算法Ⅳ恢復(fù)結(jié)果的殘差圖Fig.3.Reconstructed results by (a) Algorithm I,(b) Algorithm Ⅱ,(c) Algorithm Ⅲ,and (d) Algorithm Ⅳ;and the corresponding residue maps obtained by (e) Algorithm I,(f) Algorithm Ⅱ,(g) Algorithm Ⅲ,(h) Algorithm Ⅳ.

圖4 殘差圖(圖3(e)—3(h))中黑色虛線標(biāo)注數(shù)據(jù)Fig.4.Data marked with the black dashed lines in residue maps shown in Fig.3(e)–3(h).

為了進(jìn)一步展示所提算法的抗噪性能,針對(duì)被不同方差均值為0 的高斯噪聲污染全息圖,使用4 種算法進(jìn)行恢復(fù),得到它們恢復(fù)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差和峰谷值,如圖5 所示.從圖5 可以看出,隨著方差的增大,所有算法恢復(fù)結(jié)果的SD 值和PV 值均隨之增大;由于差分合成波長(zhǎng)的噪聲放大作用,算法Ⅰ恢復(fù)質(zhì)量最差,且隨著噪聲放大恢復(fù)質(zhì)量下降劇烈;雖然算法Ⅱ的表現(xiàn)稍好,但低于算法Ⅲ和Ⅳ;令人驚喜的是,算法Ⅲ和Ⅳ受噪聲的影響和恢復(fù)質(zhì)量基本一致,但相對(duì)于算法Ⅲ,所提算法Ⅳ具有更簡(jiǎn)單的恢復(fù)過(guò)程和更快的恢復(fù)速度.

圖5 殘差圖(圖3(e)—3(h))中(a)標(biāo)準(zhǔn)差和(b)峰谷值Fig.5.Standard deviation and peak-valley value of residue maps shown in Fig.3(e)–3(h).

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性,依據(jù)文獻(xiàn)[24]搭建如圖6 所示的視場(chǎng)翻轉(zhuǎn)雙波長(zhǎng)載波正交數(shù)字全息實(shí)驗(yàn)裝置,其中光源為λ1=632.8 nm的HeNe 激光器和λ2=532 nm 的固體激光器,透鏡L1 和L2 的焦距均為200 mm,CCD 的像素?cái)?shù)為1024×1280,像素大小為4.8 μm×4.8 μm;待測(cè)物體為一個(gè)高度為2000 nm 圓柱形相位物體,因其由熔英玻璃制成,相對(duì)于兩光源的折射率分別為n1=1.457 和n2=1.460.其工作過(guò)程為:偏振正交的雙波長(zhǎng)光束經(jīng)分光棱鏡BS1 合束和準(zhǔn)直擴(kuò)束器BE 準(zhǔn)直擴(kuò)束后,入射至由透鏡L1 和L2 構(gòu)成的共軛4f 系統(tǒng)輸入平面,其中1/4 的光照射物體被調(diào)制成為物光,另外3/4 部分通過(guò)了空白窗口形成參考光;光束經(jīng)透鏡L1 傅里葉變換后被分光棱鏡BS2 分成兩束,一束被平面反射鏡M 直接反射;另一束光經(jīng)偏振分光棱鏡PBS 后分離成雙波長(zhǎng)波束,分別被角反射鏡RR1 和RR2 反射后,再次經(jīng)過(guò)PBS 合束,并經(jīng)過(guò)分光棱鏡BS2 與平面反射鏡反射的光匯和,最后經(jīng)透鏡L2 傅里葉變換共同到達(dá)CCD 的靶面,形成一幅雙波長(zhǎng)正交載波復(fù)合全息圖,并被CCD 一次曝光采集.所采集的復(fù)合全息圖如圖7(a)所示,頻譜圖如圖7(b)所示,恢復(fù)出的兩個(gè)波長(zhǎng)包裹相位分別如圖7(c)和7(d)所示.

圖6 視場(chǎng)翻轉(zhuǎn)雙波長(zhǎng)載波正交數(shù)字全息原理圖Fig.6.Flipping dual-wavelength common-path digital holography with orthogonal carrier.

圖7 (a)復(fù)合全息圖;(b)頻譜圖;(c) λ1 和(d) λ2 對(duì)應(yīng)的包裹相位Fig.7.(a) Multiplexed hologram and its (b) power spectrum;and corresponding wrapped phase maps at (c) λ1 and (d) λ2.

如同仿真一樣,利用4 種解包裹算法實(shí)現(xiàn)雙波長(zhǎng)解包裹,恢復(fù)獲得待測(cè)物體高度分布結(jié)果如圖8 所示,而由圖8 中白色虛線處獲得一維數(shù)據(jù)如圖9 所示.為了定量分析4 種算法,計(jì)算4 個(gè)恢復(fù)高度圖中白色虛線方框包圍區(qū)域的SD 值和PV值,其中SD 值分別為113.34 nm,14.29 nm,8.24 nm和8.24 nm,PV 值分別為253.81 nm,81.81 nm,54.18 nm 和54.18 nm.從圖中和計(jì)算結(jié)果可以看出,如同仿真結(jié)果,算法Ⅰ恢復(fù)結(jié)果波動(dòng)最嚴(yán)重的,表明其噪聲大,而算法Ⅲ和Ⅳ的恢復(fù)結(jié)果最為平穩(wěn),表明它們恢復(fù)質(zhì)量最好.

圖8 圓柱恢復(fù)結(jié)果 (a)算法I;(b)算法Ⅱ;(c)算法Ⅲ;(d)算法ⅣFig.8.Reconstructed results of the step target by (a) Algorithm I;(b) Algorithm Ⅱ;(c) Algorithm Ⅲ;(d) Algorithm Ⅳ.

圖9 恢復(fù)結(jié)果的一維剖面圖(圖8 中白色虛線)Fig.9.Reconstructed result of 1 D height profiles(along the white dashed lines in Fig.8).

為了驗(yàn)證本算法在連續(xù)形貌物體測(cè)量上的有效性,在第2 個(gè)實(shí)驗(yàn)中,將一滴酒精滴在載玻片上,觀察酒精的蒸發(fā)的過(guò)程,其中某一時(shí)刻酒精形貌的恢復(fù)結(jié)果如圖10 所示,白色虛線處的一維恢復(fù)結(jié)果如圖11 所示.從恢復(fù)結(jié)果可以看出,本算法可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)形貌高質(zhì)量恢復(fù).

圖10 液滴酒精恢復(fù)結(jié)果 (a)算法I;(b)算法Ⅱ;(c)算法Ⅲ;(d)算法Ⅳ;Fig.10.Reconstructed result of a drop of alcohol:(a) Algorithm I;(b) Algorithm Ⅱ;(c) Algorithm Ⅲ,;(d) Algorithm Ⅳ..

圖11 恢復(fù)結(jié)果的一維剖面圖(圖10 中白色虛線)Fig.11.Reconstructed result of 1 D height profiles (along the white dashed lines in Fig.10).

傳統(tǒng)的雙波長(zhǎng)解包裹算法由于噪聲放大問題,在造成恢復(fù)質(zhì)量下降的同時(shí),降低了雙波長(zhǎng)共路數(shù)字全息的系統(tǒng)穩(wěn)定性.因此,在評(píng)價(jià)恢復(fù)質(zhì)量的同時(shí),利用所提算法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在實(shí)驗(yàn)中,在無(wú)樣品的情況下以30 s 為間隔采集100 幅全息圖,任意選擇其中1 點(diǎn),計(jì)算出該點(diǎn)在每個(gè)波長(zhǎng)下的波動(dòng)范圍,并計(jì)算其方差,如圖12 所示.其中,算法Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差分別是31.02 nm,9.32 nm,7.72 nm 和7.72 nm.可見,使用本方法不僅可以提升恢復(fù)質(zhì)量,也使系統(tǒng)的穩(wěn)定性顯著提升,從而證明本方法可用于動(dòng)態(tài)測(cè)量的低噪聲解包裹.

圖12 穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)Fig.12.Stability test for the proposed method.

5 結(jié)論

本文充分利用差分合成波長(zhǎng)和加性合成波長(zhǎng)各自的優(yōu)勢(shì),提出一種雙合成波長(zhǎng)數(shù)字全息低噪聲分級(jí)解包裹方法,按照差分合成波長(zhǎng)-單波長(zhǎng)-加性合成波長(zhǎng)的順序,逐級(jí)分布解包裹,達(dá)到加性合成波長(zhǎng)解包裹噪聲水平.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所提方法不僅成像恢復(fù)質(zhì)量高,而且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、速度快,同時(shí)提高了雙波長(zhǎng)共路數(shù)字全息系統(tǒng)穩(wěn)定性,從而為雙波長(zhǎng)數(shù)字全息實(shí)現(xiàn)臺(tái)階、溝槽等邊緣銳利物體高精度成像測(cè)量奠定了理論基礎(chǔ)和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ).