雙合成波長數(shù)字全息低噪聲分級解包裹方法*

劉磊 徐志博 錢文碩 李文杰 謝芳 鐘志2) 單明廣2)?

1) (哈爾濱工程大學(xué)，信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學(xué)，先進船舶通信與信息技術(shù)工信部重點實驗室，哈爾濱 150001)

雙波長數(shù)字全息中差分合成波長可拓展無相位包裹測量縱深范圍,但顯著放大相位噪聲;加性合成波長可抑制相位噪聲,但大幅縮小無相位包裹測量范圍.因此,本文利用差分合成波長無包裹測量范圍大與加性合成波長噪聲低的特性,提出一種雙合成波長數(shù)字全息低噪聲分級解包裹方法.該方法利用由差分合成波長獲得的“相位差”引導(dǎo)單波長包裹相位進行解包裹,然后再利用單波長的解包裹后的光程差引導(dǎo)加性合成波長獲得的包裹“相位和”進行解包裹,通過分級實現(xiàn)雙波長低噪聲解包裹.實驗結(jié)果表明,該方法可以簡單、快速地實現(xiàn)雙波長數(shù)字全息低噪聲解包裹.

1 引言

數(shù)字全息技術(shù)[1?16]基于光的干涉原理,利用相機記錄由干涉形成的全息圖,并利用計算機實現(xiàn)相位恢復(fù)及待測物體形貌等成像測量,具有非接觸、高分辨力、全場定量等優(yōu)點,并廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、微細加工和材料工程等測試領(lǐng)域.但目前的研究多集中于單波長照明[3?11],當待測物體引起的光程差大于照明波長時,由于相位恢復(fù)過程的反正切函數(shù)的周期作用,恢復(fù)出的物體相位存在著包裹問題,使測量縱深受限,必須利用單波長解包裹算法進行相位解包裹才能獲得待測物體的真實相位.但是,目前單波長解包裹算法普遍計算量很大、恢復(fù)速度慢,而且當待測物體存在臺階、溝槽等邊緣銳利結(jié)構(gòu)時,單波長解包裹算法會失效.

為了克服單波長解包裹算法存在的缺陷,有研究提出了一種有效解決方案是采用雙波長數(shù)字全息技術(shù)[12?16],其利用兩個不同波長的光源進行照明,獲取每個波長的包裹相位圖,再利用簡單的相減計算恢復(fù)出差分合成波長對應(yīng)的“相位差”,實現(xiàn)雙波長解包裹.雙波長數(shù)字全息形成的差分合成波長遠大于任一單波長,極大地拓展無相位包裹的測量縱深,且只要待測物體引起的最大光程差不大于該差分合成波長,就不需任何復(fù)雜的解包裹算法.但與此同時,差分合成波長顯著放大相位噪聲,且噪聲隨著差分合成波長增大而增大,從而限制測量精度和測量范圍的提升.為了解決雙波長數(shù)字全息解包裹噪聲放大問題,Gass 等[13]提出了免疫算法,利用“相位差”解算出的光程差,引導(dǎo)單波長的包裹相位進行解包裹;隨后,Khmaladze 等[17]和Asundi等[18]相繼提出了線性規(guī)劃法,利用線性規(guī)劃搜索使兩個單波長光程差值最小的整數(shù)對,并利用該整數(shù)對單波長包裹相位進行相位解包裹,但這些方法噪聲水平仍受限于單波長照明時的噪聲水平.因此,趙建林等[19]將兩個單波長的包裹相位相加,獲得加性合成波長對應(yīng)的“相位和”,從而獲得比單波長照明時更低的噪聲水平,但因為加性合成波長比任何單波長均小,縮減了無包裹測量縱深.受其啟發(fā),呂曉旭等[20]利用“相位差”、“相位和”以及免疫算法改進了雙波長解包裹過程,在獲得差分合成波長無包裹測量縱深的同時,獲得了加性合成波長的低噪聲水平,但其需要通過復(fù)雜計算獲得多個中間變量,造成解包裹速度慢的問題.隨后,單明廣等[21]以及劉乾等[22]基于直接線性規(guī)劃導(dǎo)引法,利用“相位差”和“相位和”直接實現(xiàn)雙波長低噪聲解包裹,雖然思路簡單,但是需要最小二乘法在二維空間搜索約束邊界條件,計算過程耗時.

因此,本文結(jié)合利用差分合成波長與加性合成波長的優(yōu)勢,提出雙合成波長數(shù)字全息低噪聲分級解包裹方法,在實現(xiàn)雙波長低噪聲解包裹的同時,避免復(fù)雜中間量計算,以提升雙波長解包裹速度.

2 理論方法

假設(shè)雙波長數(shù)字全息中照明激光的波長分別為λ1和λ2(λ1<λ2),且均小于待測物體引起的光程差,但其差分合成波長λds大于該物體引起的光程差;同時,從雙波長全息圖中恢復(fù)獲得單波長包裹相位圖分別為φ1和φ2,則由此獲得“相位差”φds與“相位和”φas分別為

其中,φds為解包裹的相位但噪聲高,對應(yīng)差分合成波長λds,λds=λ1λ2/(λ1–λ2);φas為包裹的相位但噪聲低,對應(yīng)加性合成波長λas,λas=λ1λ2/(λ1+λ2).

利用光程差與相位之間的物理關(guān)系,可獲取解包裹相位φds對應(yīng)的光程差hds,即:

雖然由于λds的噪聲放大作用,hds蘊含大量噪聲,但hds能夠反映待測物體的真實形貌分布.

而兩個照明波長對應(yīng)的光程差可以表示如下:

若不考慮折射率的影響,單波長對應(yīng)的光程差與差分合成波長對應(yīng)的光程差理論上應(yīng)相等,即hi=hds.因此,可以利用hds引導(dǎo)對φi進行解包裹,這里僅以波長λ1為例,并由(4)式可得:

其中,round 表示取最近整數(shù)操作.

利用上式計算的k1,便可直接計算出單波長λ1對應(yīng)的無包裹光程差h1,即

相對于hds,h1在反映待測物體真實形貌分布的同時,降低了噪聲,但其仍局限于單波長水平.因此,繼續(xù)以h1為基準引導(dǎo)低噪聲的“相位和”φas解包裹,即:

在確定kas之后,便可利用該值計算出加性合成波長對應(yīng)的無包裹光程差,即:

在反射式雙波長數(shù)字全息中,由于光波照射待測物體并被反射回來,has等于待測物體物理高度h 的兩倍,即h=has/2;而在透射式雙波長數(shù)字全息中,has等于h 與待測物體折射率(n–1)的乘積,即h=has/(n–1).因為has由低相位噪聲的φas計算,所以待測物體的h 測量精度大大提升.

上述的解包裹過程可定義為分級解包裹法,其流程如圖1 所示,按照差分合成波長-單波長-加性合成波長的順序逐級實現(xiàn)解包裹,整個過程未采用循環(huán)計算,也無需像直接線性規(guī)劃導(dǎo)引法采用最小二乘法在二維空間搜索約束邊界條件,因此,整個解包裹過程計算量小,速度快.

圖1 分級解包裹流程圖Fig.1.Flowchart of Hierarchical phase unwrapping.

3 模擬驗證與分析

為了驗證所提方法的有效性,利用計算機進行一系列的仿真實驗,其中采用的計算機CPU 為Intel i5-4590,主頻3.30 GHz,內(nèi)存容量16 GB,計算過程僅使用CPU 單核處理.實驗使用的照明波長分別為λ1=632.8 nm 和λ2=532 nm,為了便于仿真過程描述,仿真實驗中不考慮折射率影響,由此可得加性合成波長λas=289.0 nm 和差分合成波長λds=3339.8 nm.首先,利用PEAK函數(shù)生成待測物體,其分布如圖2(a)所示,尺寸為500 pixel×500 pixel,高度峰谷值為2198.6 nm;由此生成一個雙波長復(fù)合全息圖,并在歸一化后的全息圖中添加均值為0,方差為0.001 的高斯白噪聲,如圖2(b)所示;利用除法相位恢復(fù)算法[23]恢復(fù)出兩個波長λ1和λ2對應(yīng)的相位,分別如圖2(c)和圖2(d)所示,從圖中可以看出,兩幅相位圖均產(chǎn)生了明顯的包裹.

圖2 (a)待測物體高度圖;(b)離軸全息圖;(c) λ1 和(d) λ2 對應(yīng)的包裹相位Fig.2.(a) Original height map of the simulated sample;(b) simulated multiplexed off-axis hologram;and corresponding wrapped phase maps at (c) λ1 and (d) λ2.

為了展示本文算法的優(yōu)越性,將傳統(tǒng)雙波長解包裹算法(算法I)、線性規(guī)劃算法(算法Ⅱ)和直接線性規(guī)劃算法(算法Ⅲ),與本文所提算法(算法Ⅳ)進行比較.4 種算法的恢復(fù)結(jié)果如圖3(a)—3(d)所示,與原始值的殘差如圖3—3(h)所示.為了定量的比較4 種算法的恢復(fù)質(zhì)量,在殘差圖的右上角標注了殘差的標準差(SD)及峰谷值(PV).提取殘差圖中黑色虛線標注的數(shù)據(jù),所得4 組一維數(shù)據(jù)如圖4 所示.顯而易見,算法Ⅲ和所提算法Ⅳ可獲得更好的恢復(fù)質(zhì)量和更低的噪聲,能達到加性合成波長的恢復(fù)質(zhì)量,且優(yōu)于算法I 和Ⅱ的恢復(fù)質(zhì)量;但相對于算法Ⅲ的1989.5 ms 解包裹時間,所提的算法Ⅳ解包裹時間為20.5 ms,從而使解包裹速度提升了97 倍.

圖3 (a)算法I,(b)算法Ⅱ,(c)算法Ⅲ和(d)算法Ⅳ的恢復(fù)結(jié)果;(e)算法I,(f)算法Ⅱ,(g)算法Ⅲ和(h)算法Ⅳ恢復(fù)結(jié)果的殘差圖Fig.3.Reconstructed results by (a) Algorithm I,(b) Algorithm Ⅱ,(c) Algorithm Ⅲ,and (d) Algorithm Ⅳ;and the corresponding residue maps obtained by (e) Algorithm I,(f) Algorithm Ⅱ,(g) Algorithm Ⅲ,(h) Algorithm Ⅳ.

圖4 殘差圖(圖3(e)—3(h))中黑色虛線標注數(shù)據(jù)Fig.4.Data marked with the black dashed lines in residue maps shown in Fig.3(e)–3(h).

為了進一步展示所提算法的抗噪性能,針對被不同方差均值為0 的高斯噪聲污染全息圖,使用4 種算法進行恢復(fù),得到它們恢復(fù)結(jié)果的標準差和峰谷值,如圖5 所示.從圖5 可以看出,隨著方差的增大,所有算法恢復(fù)結(jié)果的SD 值和PV 值均隨之增大;由于差分合成波長的噪聲放大作用,算法Ⅰ恢復(fù)質(zhì)量最差,且隨著噪聲放大恢復(fù)質(zhì)量下降劇烈;雖然算法Ⅱ的表現(xiàn)稍好,但低于算法Ⅲ和Ⅳ;令人驚喜的是,算法Ⅲ和Ⅳ受噪聲的影響和恢復(fù)質(zhì)量基本一致,但相對于算法Ⅲ,所提算法Ⅳ具有更簡單的恢復(fù)過程和更快的恢復(fù)速度.

圖5 殘差圖(圖3(e)—3(h))中(a)標準差和(b)峰谷值Fig.5.Standard deviation and peak-valley value of residue maps shown in Fig.3(e)–3(h).

4 實驗結(jié)果及分析

為了進一步驗證所提方法的有效性,依據(jù)文獻[24]搭建如圖6 所示的視場翻轉(zhuǎn)雙波長載波正交數(shù)字全息實驗裝置,其中光源為λ1=632.8 nm的HeNe 激光器和λ2=532 nm 的固體激光器,透鏡L1 和L2 的焦距均為200 mm,CCD 的像素數(shù)為1024×1280,像素大小為4.8 μm×4.8 μm;待測物體為一個高度為2000 nm 圓柱形相位物體,因其由熔英玻璃制成,相對于兩光源的折射率分別為n1=1.457 和n2=1.460.其工作過程為:偏振正交的雙波長光束經(jīng)分光棱鏡BS1 合束和準直擴束器BE 準直擴束后,入射至由透鏡L1 和L2 構(gòu)成的共軛4f 系統(tǒng)輸入平面,其中1/4 的光照射物體被調(diào)制成為物光,另外3/4 部分通過了空白窗口形成參考光;光束經(jīng)透鏡L1 傅里葉變換后被分光棱鏡BS2 分成兩束,一束被平面反射鏡M 直接反射;另一束光經(jīng)偏振分光棱鏡PBS 后分離成雙波長波束,分別被角反射鏡RR1 和RR2 反射后,再次經(jīng)過PBS 合束,并經(jīng)過分光棱鏡BS2 與平面反射鏡反射的光匯和,最后經(jīng)透鏡L2 傅里葉變換共同到達CCD 的靶面,形成一幅雙波長正交載波復(fù)合全息圖,并被CCD 一次曝光采集.所采集的復(fù)合全息圖如圖7(a)所示,頻譜圖如圖7(b)所示,恢復(fù)出的兩個波長包裹相位分別如圖7(c)和7(d)所示.

圖6 視場翻轉(zhuǎn)雙波長載波正交數(shù)字全息原理圖Fig.6.Flipping dual-wavelength common-path digital holography with orthogonal carrier.

圖7 (a)復(fù)合全息圖;(b)頻譜圖;(c) λ1 和(d) λ2 對應(yīng)的包裹相位Fig.7.(a) Multiplexed hologram and its (b) power spectrum;and corresponding wrapped phase maps at (c) λ1 and (d) λ2.

如同仿真一樣,利用4 種解包裹算法實現(xiàn)雙波長解包裹,恢復(fù)獲得待測物體高度分布結(jié)果如圖8 所示,而由圖8 中白色虛線處獲得一維數(shù)據(jù)如圖9 所示.為了定量分析4 種算法,計算4 個恢復(fù)高度圖中白色虛線方框包圍區(qū)域的SD 值和PV值,其中SD 值分別為113.34 nm,14.29 nm,8.24 nm和8.24 nm,PV 值分別為253.81 nm,81.81 nm,54.18 nm 和54.18 nm.從圖中和計算結(jié)果可以看出,如同仿真結(jié)果,算法Ⅰ恢復(fù)結(jié)果波動最嚴重的,表明其噪聲大,而算法Ⅲ和Ⅳ的恢復(fù)結(jié)果最為平穩(wěn),表明它們恢復(fù)質(zhì)量最好.

圖8 圓柱恢復(fù)結(jié)果 (a)算法I;(b)算法Ⅱ;(c)算法Ⅲ;(d)算法ⅣFig.8.Reconstructed results of the step target by (a) Algorithm I;(b) Algorithm Ⅱ;(c) Algorithm Ⅲ;(d) Algorithm Ⅳ.

圖9 恢復(fù)結(jié)果的一維剖面圖(圖8 中白色虛線)Fig.9.Reconstructed result of 1 D height profiles(along the white dashed lines in Fig.8).

為了驗證本算法在連續(xù)形貌物體測量上的有效性,在第2 個實驗中,將一滴酒精滴在載玻片上,觀察酒精的蒸發(fā)的過程,其中某一時刻酒精形貌的恢復(fù)結(jié)果如圖10 所示,白色虛線處的一維恢復(fù)結(jié)果如圖11 所示.從恢復(fù)結(jié)果可以看出,本算法可以實現(xiàn)連續(xù)形貌高質(zhì)量恢復(fù).

圖10 液滴酒精恢復(fù)結(jié)果 (a)算法I;(b)算法Ⅱ;(c)算法Ⅲ;(d)算法Ⅳ;Fig.10.Reconstructed result of a drop of alcohol:(a) Algorithm I;(b) Algorithm Ⅱ;(c) Algorithm Ⅲ,;(d) Algorithm Ⅳ..

圖11 恢復(fù)結(jié)果的一維剖面圖(圖10 中白色虛線)Fig.11.Reconstructed result of 1 D height profiles (along the white dashed lines in Fig.10).

傳統(tǒng)的雙波長解包裹算法由于噪聲放大問題,在造成恢復(fù)質(zhì)量下降的同時,降低了雙波長共路數(shù)字全息的系統(tǒng)穩(wěn)定性.因此,在評價恢復(fù)質(zhì)量的同時,利用所提算法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在實驗中,在無樣品的情況下以30 s 為間隔采集100 幅全息圖,任意選擇其中1 點,計算出該點在每個波長下的波動范圍,并計算其方差,如圖12 所示.其中,算法Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ對應(yīng)的標準差分別是31.02 nm,9.32 nm,7.72 nm 和7.72 nm.可見,使用本方法不僅可以提升恢復(fù)質(zhì)量,也使系統(tǒng)的穩(wěn)定性顯著提升,從而證明本方法可用于動態(tài)測量的低噪聲解包裹.

圖12 穩(wěn)定性實驗Fig.12.Stability test for the proposed method.

5 結(jié)論

本文充分利用差分合成波長和加性合成波長各自的優(yōu)勢,提出一種雙合成波長數(shù)字全息低噪聲分級解包裹方法,按照差分合成波長-單波長-加性合成波長的順序,逐級分布解包裹,達到加性合成波長解包裹噪聲水平.實驗結(jié)果表明,所提方法不僅成像恢復(fù)質(zhì)量高,而且計算過程簡單、速度快,同時提高了雙波長共路數(shù)字全息系統(tǒng)穩(wěn)定性,從而為雙波長數(shù)字全息實現(xiàn)臺階、溝槽等邊緣銳利物體高精度成像測量奠定了理論基礎(chǔ)和實驗基礎(chǔ).