化隱為顯巧構基本模型 融通轉化妙生解題方法

【摘?要】以中考復習專題課《探究與圓相關的最值問題》教學為例，通過精心選題、創(chuàng)設情境、感悟模型、建立模型、活用模型、總結提煉來組織教學，實現(xiàn)化隱為顯巧構基本模型，融通轉化妙生解題方法，問題解決提升解題能力.

【關鍵詞】基本模型，化隱為顯，融通轉化，總結提煉

最值問題是初中數學的重要內容，是一類綜合性較強的問題，它貫穿初中數學的始終，無論是代數題還是幾何題都有最值問題，是中考的熱點問題，常常設置為中考壓軸問題，學會解這類問題對于中考取得優(yōu)秀成績非常重要.

在初三數學中考復習過程中，以探究與圓相關的最值問題的教學為例，明確建立與圓相關的最值問題的基本模型解決相關最值問題為教學目標，把挖掘條件、化隱為顯、形成解決與圓相關的最值問題的能力作為教學重點.通過精心選題、創(chuàng)設情境、感悟模型、建立模型、活用模型、總結提煉等有效活動來組織教學，實現(xiàn)化隱為顯巧構基本模型，融通轉化妙生解題方法.

教學的主要過程如下.1?自主探究，合作交流，感悟求與圓相關的最值問題的基本模型

首先，我們選擇4個基礎問題，讓學生【自主探究，感悟模型】.

問題1?如圖1，在平面直角坐標系中，已知M（-1，0），N（3，3），點P在以N為圓心，半徑為2的圓上運動，則線段MP的最大值為，最小值為.

問題2?如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是CD上的一個動點，連結AP，則線段AP的最小值是.

問題3?如圖3，⊙O的半徑為3，點O到直線l的距離是4，點P是直線上的一個

動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為.

問題4?如圖4，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是線段BC

上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O，則⊙O面積的最小值為.

教學片段過程分析：

問題呈現(xiàn)，認真審題后，學生陸續(xù)發(fā)言.

對于問題1，當MP經過圓心N時，圓上與點M的最遠點P為線段MP取最大值的位置，最大值為MN+2=5+2=7，圓上與點M的最近點P為線段MP取最小值的位置，最小值為MN-2=5-2=3.

對于問題2，當PA所在直線經過點BC中點（圓心）時，線段AP最小為：5-1.

一個小組代表還進一步抽象出基本圖形，如圖5，點P為⊙O外一點，點Q為⊙O上一點，線段PQ經過圓心O時，若Q在A處，此時PQ最小;若Q在B處，此時PQ最大.

受學生抽象基本圖形的啟發(fā)，教者靈機一動地追問：當點P在⊙O內時，會出現(xiàn)什么情形？

馬上有學生回答：仍然是PQ所在直線經過圓心O時，如圖6，若Q在A處，此時PQ最小;若Q在B處，此時PQ最大.

經過小組自主研究，很快學生發(fā)現(xiàn)，問題1、問題2是圓中“一箭穿心”（經過圓心的直線）的基本模型.

學生的建模意識在解決基礎問題的過程中自然形成.

還有學生說明，在圓中經過點P的所有弦中，直徑AB最大，垂直于直徑AB的弦最小.學生關于最值問題的聯(lián)想超出老師的預估.

對于問題3，一位學生說明：當OP⊥l時，PQ最小，是“垂線段最短”模型.教者追問：為什么此時PQ最??？另一位學生解釋：Rt△POQ中，由于半徑OQ是定值，根據勾股定理，OP確定，PQ就確定，所以只要OP最小，PQ就最小，OP最小的狀態(tài)是“垂線段”.

對于問題4，一位學生說明：當AD⊥BC時，⊙O的面積取最小值.教者追問：為什么此時⊙O的面積最?。繉W生解釋：因為△ABC是確定的，根據“垂線段最短”知道當AD⊥BC時，直徑AD最小，所以⊙O的面積最小.師生對話讓所有學生都明白了其中的道理.

4個基礎問題提供了學生探究圓中最值問題總結基本模型的平臺，學生能夠自主總結出求與圓相關的最值問題的基本模型.2?典型例析，化隱為顯，學會構建基本模型求與圓相關最值問題

其次，我們選擇兩個無圓典型問題，讓學生【典型例析，建立模型】.

例1?如圖7，在邊長為2的正方形ABCD中，點M是AD邊的中點，若線段MA圍繞點M旋轉得到線段MA′，連接A′C，A′C長度的最大值為，最小值為.

例2?（常州市2020年中考模擬優(yōu)化卷第18題）

如圖8，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（3，0），C為平面內的動點，且滿足∠ACB=90°，D為直線y=x上的動點，則線段CD長的最小值為.

教學片段過程分析：

短暫的學生小組討論過后，學生開始講題.

對于例1，我們發(fā)現(xiàn)點A′在以點M為圓心，1為半徑的圓上（如圖9），問題就轉化成了“一箭穿心”的模型，由于點M是AD邊的中點，所以DM=1，而CD=2，由勾股定理可以求得MC=5，所以A′C長度的最大值為5+1，最小值為5-1.

對于例2，點C落在以AB為直徑的圓上，線段CD的長也就落在“一箭穿心”的模型上，但由于點D也是直線上的動點，因此，又演變成為過線段AB中點向直線OD作垂線段的情形，本題是“一箭穿心”模型與“垂線段最短”模型的疊合（如圖10），AB的中點M（2，0），

OM=2，△ODM為等腰直角三角形，DM=2，線段CD長的最小值為2-1.

例1、例2的解決，遵循學生“跳一跳可以摘到桃子”的原則，化無為有，化隱為顯，通過巧構基本模型求解了與圓相關最值問題.3?拓展延伸，融通轉化，提升解決與圓相關最值問題的解題能力

再次，我們提供兩個選擇問題，讓學生【拓展延伸，活用模型】.

例3?（常州市2020年初中學業(yè)水平考試第7題）如圖11，AB是⊙O的弦，點C是優(yōu)弧AB上的動點（點C不與A、B重合），CH⊥AB于H，M是BC的中點，若⊙O的半徑是3，則線段MH長的最大值是（?）.

A.3?B.4?C.5?D.6

例4?（連云港市2020年中考模擬優(yōu)化卷第8題）

教學片段過程分析：

對于例3，表現(xiàn)上可以看出，MH是Rt△BHC的斜邊上中線，MH為BC長的一半.求線段MH長的最大值的問題就轉化成了求BC最大值的問題，顯然BC為直徑時最大，于是問題解決.

對于例4，一位同學提出：由于點A為定點，點P在⊙C上運動，根據瓜豆原理知道點Q也在一個小圓上運動，只要探求出小圓的圓心和半徑，并可以求出線段OQ的最大值和最小值.題目是求線段OQ的最大值，學生還想到了可以求出線段OQ的最小值.

就當大家準備動手做題時，一位同學舉手說：剛才的做法復雜了，我們可以連接BP，OQ就是△ABP的中位線，要求線段OQ的最大值只要求線段BP的最大值，而我們看到B（4，0），C（0，3），由勾股定理可以求出BC=5，線段BP的最大值是5+2，所以線段OQ的最大值是3.5，本題是口算題.

好一個“口算題”，這位學生的發(fā)言讓師生們眼界大開，課堂上學生已經能夠在不同解法中通過比較選擇優(yōu)法.

接下去，教者讓學生們進一步【挑戰(zhàn)能力，大顯身手】.

提高題?（連云港市2020年初中學業(yè)水平考試壓軸選擇題第16題）

如圖13，在平面直角坐標系中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，B是⊙O上的一動點，C為弦AB的中點，直線y=34x-3與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最小值為.

教學片段過程分析：

本題為壓軸選擇提高題，教者發(fā)現(xiàn)剛開始學生幾乎沒有反映，于是先讓學生小組討論，通過討論，學生發(fā)現(xiàn)直線y=34x-3與x軸、y軸分別交于點D、E是確定的，△CDE面積變化取決于點C到直線DE的距離，而點C是動點，又看到，點A是定點，點B是⊙O上的一動點，根據瓜豆原理，點C也在一個小圓上運動，取特殊位置分析，發(fā)現(xiàn)點C在以線段OA為直徑的圓上，于是可以找到小圓的圓心P（1，0），如圖14，由△DQP與△DOE相似可以求出PQ=95，于是得到點C到直線DE的距離最小為45，所以△CDE面積的最小值為2.

給予學生足夠的思考時間，學生已經能夠在解決例3、例4的基礎上，識破⊙P的存在，而且構造出“一箭穿心”的基本圖形.

教者追問：本題我們還可以提出什么樣的問題？

馬上有學生提出：△CDE面積的最大值是多少？

接著有學生回答：直線PQ與⊙P相交的最遠點使得CQ取最大值145，所以△CDE面積的最大值為7.

學生不但能夠解決問題，而且能夠提出問題，變通思想解決新問題.4?總結提煉，升華理解，形成解決與圓相關最值問題的解題思想

數學問題的解決往往是容易的，而形成解決數學問題的思想并不容易，特別是內化為學生的理解更不容易，對解決數學問題的思想方法的總結和提煉一定要讓學生來完成.

本節(jié)課的課堂小結，教者先讓學生們小組內部交流，然后班級交流.

一位學生說：本節(jié)課我們研究了利用“一箭穿心”的模型解決與圓相關的幾何最值問題;另一位同學說：本節(jié)課我們還研究了利用“垂線段最短”的模型解決與圓相關的幾何最值問題;第三個同學說：本節(jié)課我們以“一箭穿心”的模型為基礎，其它模型與該模型整合形成題目來研究;第四個同學說：在解決與圓相關的幾何最值問題時我們要有基本模型意識，通過確認或構建基本模型來解決問題;第五個同學說：我們要學會分析題目的已知條件，聯(lián)想基本圖形，化無為有，構建基本模型來解決問題;……

課堂小結的任務交給學生，一個學生的總結可能是零散的、不完整的、不規(guī)范的，甚至是不恰當、錯誤的，但會在眾人的描述過程中逐步完善、逐步深刻.令人欣喜地是還有同學提出：我們看數學問題要有變通的思想，今天解決的問題中，問題1、例1明確提出了最大值、最小值的問題，提高題我們也想到了最大值的情形，其實問題2、例2、例4也有最大值、最小值的問題的同時存在.

學生的總結，不僅是解題思想方法層面的理解，而且能夠從題目結論延伸角度思考問題，課堂小結無疑是深刻的.

教學反思

綜觀上述教學過程，本節(jié)課通過教師引導，生生互助，將問題轉化為與圓相關的幾何最值基本模型進行求解，課堂抓住了感悟模型、建立模型、活用模型這根解題主線，層層遞進，實現(xiàn)了化隱為顯巧構基本模型，融通轉化妙生解題方法，取得了優(yōu)質的教學效果.對此，教者有四點感悟：

第一、典型選題為有效專題復習奠定了基礎.本節(jié)專題復習課的選題緊緊圍繞動點在圓上進行選擇，問題1、問題2是最直觀的形式，問題3、問題4通過間接方式呈現(xiàn)“一箭穿心”的基本模型.例1、例2提供了沒有圓的情景，需要感悟、想象圓的存在，化隱為顯，從而把問題轉化為“一箭穿心”的基本模型，例2又融進了“垂線段最短”，問題的難度有所提升，自然過渡到例3、例4，例3把圓中最值問題的基本模型與直角三角形斜邊中線結合，例4把圓中最值問題的基本模型與三角形中位線結合，選題的綜合性提高了，最后的提高題在例4的基礎上增加了求點到直線的距離.選題充分體現(xiàn)了層次性，為開展有效專題復習奠定了基礎.

第二、以生為本使得專題復習活動落地生根.本課例從學生的認知實際出發(fā)，首先提供4個基礎問題激活學生運用與圓相關的幾何最值基本模型解題的經驗，然后提供4個例題升華學生運用與圓相關的幾何最值基本模型解題的經驗，最后通過一個提高題的解決進一步提升了學生解決與圓相關的幾何最值問題的數學能力.課堂教學以學生活動為主，小組合作互相交流分析問題，班級展示學生講題明晰問題，解決問題提高認識形成能力.

第三、時空對話使得專題復習活動深刻進行.專題復習課很多時候是“趕鴨子上架”，學生沒有思考的時間和機會，本節(jié)課多次讓學生小組討論交流，在學生講題的時候教者更多的是等待，沒有因為學生講題的不完善而打斷學生，而是等待學生講完之后追問，由該生繼續(xù)說明或其它學生補充說明.這里教師不是給予式的講授，而是先給予學生足夠的空間和時間思考，然后是對話、引導、追問，學生主體式的表現(xiàn)，專題復習活動深刻進行.

在解決基礎問題的過程中，教師的追問促進了學生的建模意識自然形成.在解決提高題的過程中，師生對話促進了學生變通思想的生成.學生的悟性不斷增強，對數學問題中的理解加深，數學思考能力進一步提升.

第四、一題多解體現(xiàn)了專題復習的靈動生機.例4的解決過程體現(xiàn)了兩種不同的解決問題方式，前者先確定點Q的運動路徑顯得比較麻煩，而后者先確定PB的最值顯得簡便，用學生的話說是“口算題”.“口算題”的背后是學生思維的簡捷性，學生有了解題過程的比較，這正是我們專題復習課所需要的寶貴東西.專題復習課需要培養(yǎng)學生這樣的能力，在審題過程中能夠迅速判斷可能的解題方法，選擇簡便的方法.

究竟怎樣的專題復習課是好課？雖無定論，但也是有規(guī)律可循的.一個專題可以突出研究一個題型，培養(yǎng)學生解決這類數學問題的能力.

作者簡介?任宏章（1966—），男，江蘇興化人，中學高級教師，江蘇省特級教師，主要從事初中數學課堂教學研究和初中學生數學學習行為方式的研究.