經(jīng)濟(jì)型月球探測(cè)器精確定點(diǎn)軟著陸制導(dǎo)算法

高 峰，荊武興，高長(zhǎng)生，李志剛，鐘 偉

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天工程系，哈爾濱150001；2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海201109)

0 引 言

作為21世紀(jì)航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，深空探測(cè)吸引著越來(lái)越多的國(guó)家和科學(xué)技術(shù)人員進(jìn)行深入的研究。而月球是人類(lèi)開(kāi)展外太空探測(cè)活動(dòng)的第一顆地外天體，因此月球探測(cè)可以說(shuō)是深空探測(cè)的開(kāi)端。世界各航天大國(guó)對(duì)于月球探測(cè)的基本路線大體是“探”、“登”、“駐”[1]，所以建立月球基地、開(kāi)發(fā)月球資源是實(shí)施月球探測(cè)計(jì)劃的最終目標(biāo)。針對(duì)這一目標(biāo)，未來(lái)月球探測(cè)器的研發(fā)需要考慮兩個(gè)方面的因素：一方面，需要運(yùn)送大量的小型載荷到月球表面來(lái)建立月球通信網(wǎng)絡(luò)，以提高未來(lái)月球探測(cè)器的自主能力[2]；另一方面，對(duì)月球資源的開(kāi)采和運(yùn)輸需要探測(cè)器多次往返于地月之間?？紤]到以上因素，若仍然采用傳統(tǒng)月球探測(cè)器，探月成本必然十分高昂，因此經(jīng)濟(jì)型月球探測(cè)器將成為未來(lái)月球探測(cè)任務(wù)的不二之選，目前已知的相關(guān)項(xiàng)目包括NASA的“通用月球探測(cè)器”計(jì)劃(Common lunar lander,CLL)[3]和“月球網(wǎng)絡(luò)”計(jì)劃(International lunar network,ILN)等[4]。與傳統(tǒng)月球探測(cè)器不同，經(jīng)濟(jì)型月球探測(cè)器采用固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)作為制動(dòng)減速的主發(fā)動(dòng)機(jī)，相較于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、加工和材料成本低廉，造價(jià)僅約為液體發(fā)動(dòng)機(jī)的1/10～1/20，另外在主減速段結(jié)束之后，可以將其拋離，這樣也很大程度上減少了隨后過(guò)程的燃料消耗。但是采用固體發(fā)動(dòng)機(jī)給制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)帶來(lái)較大的困難，液體發(fā)動(dòng)機(jī)可以通過(guò)開(kāi)關(guān)機(jī)和變推力技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)探測(cè)器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的精確控制，而固體發(fā)動(dòng)機(jī)不能做到隨時(shí)開(kāi)關(guān)機(jī)，只能燃料耗盡關(guān)機(jī)，同時(shí)也很難實(shí)現(xiàn)推力大小的精確改變。綜上，需要對(duì)主發(fā)動(dòng)機(jī)采用固體發(fā)動(dòng)機(jī)的經(jīng)濟(jì)型月球探測(cè)器的制導(dǎo)律進(jìn)行深入研究和設(shè)計(jì)。

軟著陸任務(wù)對(duì)于制導(dǎo)算法有以下要求：燃耗最優(yōu)或次優(yōu)性、自主性、實(shí)時(shí)性、魯棒性以及避障性能[5]。目前，月球軟著陸制導(dǎo)方法主要有：月球垂線法、重力轉(zhuǎn)彎法、標(biāo)稱(chēng)軌跡法和顯式制導(dǎo)法，而目前的研究重點(diǎn)主要集中在標(biāo)稱(chēng)軌跡法和顯式制導(dǎo)法。標(biāo)稱(chēng)軌跡法包括標(biāo)稱(chēng)軌跡優(yōu)化和軌跡跟蹤兩部分，孫軍偉等[6]通過(guò)將常推力月球軟著陸軌道離散化，將原軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題，并基于SQP(Squential quadratic programmin)方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了求解。彭祺擘等[7]將控制變量和終端時(shí)間作為優(yōu)化變量，同時(shí)離散控制變量與狀態(tài)變量，采用Gauss偽譜法對(duì)月球定點(diǎn)著陸最優(yōu)軌跡進(jìn)行快速優(yōu)化設(shè)計(jì)。林曉輝等[8]在考慮敏感器視場(chǎng)約束及發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小約束的情況下，基于凸優(yōu)化理論設(shè)計(jì)了月球軟著陸的最優(yōu)標(biāo)稱(chēng)軌跡。對(duì)于軌跡跟蹤算法的研究，Liu等[9]基于H∞理論設(shè)計(jì)了可以魯棒追蹤標(biāo)稱(chēng)軌跡的最優(yōu)反饋控制器。Wang等[10]提出了一種基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性最優(yōu)控制策略。相較于標(biāo)稱(chēng)軌跡法，顯式制導(dǎo)法表現(xiàn)出良好的自主性和實(shí)時(shí)性，同時(shí)具備抗干擾能力，能夠保證末端制導(dǎo)精度，具有一定的魯棒性，但由于在求解過(guò)程中使用了必要的假設(shè)，所以顯式制導(dǎo)算法的燃耗具有次優(yōu)性。顯式制導(dǎo)法是根據(jù)探測(cè)器的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和終端狀態(tài)，按控制泛函的顯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行實(shí)時(shí)解算的制導(dǎo)算法，該算法最早應(yīng)用在日本SELENE-1探測(cè)器的設(shè)計(jì)方案中，隨后眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了充分的研究。王大軼等[11]提出了一種燃料次優(yōu)閉環(huán)制導(dǎo)方法，該方法以燃耗為最優(yōu)性能指標(biāo)，將制導(dǎo)指令表示為剩余時(shí)間的函數(shù)。王鵬基等[12]在顯式制導(dǎo)方法中引入前饋控制，使得制導(dǎo)律能夠消除初始偏差對(duì)末端狀態(tài)的影響。孫軍偉等[13]、Guo等[14]基于Pontryagin極大值原理設(shè)計(jì)了閉環(huán)多項(xiàng)式制導(dǎo)律。前期的顯式制導(dǎo)律均沒(méi)有考慮軟著陸終端水平位置的約束，李茂登[15]通過(guò)忽略動(dòng)力學(xué)方程中的高階小量，采用變推力發(fā)動(dòng)機(jī)，得到了能夠滿(mǎn)足末端全部位置約束的閉環(huán)顯式制導(dǎo)律。另外在再入飛行器領(lǐng)域，Lu[16]提出了一種單基線預(yù)測(cè)校正再入制導(dǎo)算法，月球軟著陸過(guò)程可借鑒該算法進(jìn)行顯式制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。盡管目前的顯式制導(dǎo)律具有自主性、實(shí)時(shí)性和易于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)于采用固體發(fā)動(dòng)機(jī)作為主發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行減速制動(dòng)的精確定點(diǎn)軟著陸任務(wù)，由于傳統(tǒng)顯式制導(dǎo)算法在假設(shè)條件及制導(dǎo)指令解算方法上的局限性，并不能夠滿(mǎn)足全部的終端狀態(tài)約束，因此有必要對(duì)其進(jìn)行深入的研究。

基于上述分析，本文將對(duì)主發(fā)動(dòng)機(jī)采用固體發(fā)動(dòng)機(jī)的經(jīng)濟(jì)型月球探測(cè)器的在線閉環(huán)制導(dǎo)算法進(jìn)行研究。首先在北東地坐標(biāo)系下建立軟著陸主減速段的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)模型，然后依據(jù)動(dòng)力學(xué)模型將探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)分為縱向平面運(yùn)動(dòng)和橫向運(yùn)動(dòng)，分別設(shè)計(jì)在線閉環(huán)制導(dǎo)律，最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)算法的性能優(yōu)劣。

1 月面著陸點(diǎn)全覆蓋的環(huán)月調(diào)相策略

在月球探測(cè)任務(wù)中，探測(cè)器經(jīng)雙曲制動(dòng)進(jìn)入100×100 km環(huán)月軌道，然后經(jīng)環(huán)月調(diào)相后最終機(jī)動(dòng)到15×100 km環(huán)月軌道。在進(jìn)行月面軟著陸制動(dòng)減速之前，探測(cè)器進(jìn)行環(huán)月調(diào)相的主要目的是使探測(cè)器到達(dá)近月點(diǎn)時(shí)，預(yù)定的著陸點(diǎn)隨月球自轉(zhuǎn)剛好進(jìn)入環(huán)月軌道面內(nèi)，若此時(shí)開(kāi)啟主發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行主減速段制動(dòng)，由于目標(biāo)點(diǎn)已處于軌道面內(nèi)，那么在探測(cè)器主減速段運(yùn)動(dòng)接近目標(biāo)點(diǎn)的過(guò)程中，橫向偏差(軌道面法向)將會(huì)很小，這樣縱向平面(軌道面內(nèi))的運(yùn)動(dòng)通過(guò)固體主發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的推力來(lái)控制，而橫向運(yùn)動(dòng)由于偏差很小，只需采用橫向小推力姿控發(fā)動(dòng)機(jī)控制即可，從而為后續(xù)設(shè)計(jì)滿(mǎn)足全部終端狀態(tài)約束的在線閉環(huán)制導(dǎo)算法提供了基礎(chǔ)。另外，為了滿(mǎn)足未來(lái)建立月球通信網(wǎng)絡(luò)和月球資源的開(kāi)采、運(yùn)輸任務(wù)，需要探測(cè)器的著陸點(diǎn)能夠覆蓋月面包括極區(qū)在內(nèi)的所有可著陸區(qū)域，因此選擇月球極軌道作為環(huán)月軌道是一個(gè)很好的選擇。通過(guò)環(huán)月調(diào)相等待，處于極軌道的探測(cè)器理論上可以軟著陸到月面任意一點(diǎn)?；谏鲜隹紤]，下面進(jìn)行精確環(huán)月調(diào)相策略的設(shè)計(jì)。

如圖1所示，雙曲制動(dòng)結(jié)束后探測(cè)器進(jìn)入環(huán)月軌道A點(diǎn)，設(shè)此時(shí)探測(cè)器位于A點(diǎn)的角距為ω1, 15×100 km環(huán)月軌道近月點(diǎn)C點(diǎn)的角距為ω2(由預(yù)定著陸點(diǎn)和軟著陸過(guò)程的總航程決定)，根據(jù)幾何約束關(guān)系：

當(dāng)ω2≥ω1時(shí)：

(1)

當(dāng)ω2<ω1時(shí)：

(2)

則探測(cè)器由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到15×100 km環(huán)月軌道遠(yuǎn)月點(diǎn)B點(diǎn)所用的時(shí)間為：

(3)

同理，探測(cè)器在15×100 km環(huán)月軌道由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間為：

(4)

式中：a2為15×100 km環(huán)月軌道半長(zhǎng)軸。

設(shè)預(yù)定著陸點(diǎn)D點(diǎn)的月心經(jīng)度為λ1，探測(cè)器位于A點(diǎn)時(shí)環(huán)月軌道升交點(diǎn)(或降交點(diǎn))經(jīng)度為λ2，定義：

Δλ=λ2-λ1

(5)

則預(yù)定著陸點(diǎn)隨月球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道面內(nèi)的總時(shí)間：

(6)

式中：ωm為月球自轉(zhuǎn)角速度。

故可用于調(diào)相的時(shí)間為：

Δt=t-t1-t2

(7)

因此環(huán)月調(diào)相策略為：

Δt=ΣTi(i=1,2,3,…,)

(8)

式中：Ti(i=1,2,3,…,)為環(huán)月調(diào)相軌道周期。

圖1 環(huán)月調(diào)相策略示意圖Fig.1 Strategy of phasing

按照上述環(huán)月調(diào)相策略，只需設(shè)計(jì)合適的環(huán)月調(diào)相軌道，即可使探測(cè)器在到達(dá)15 km近月點(diǎn)時(shí)，剛好預(yù)定著陸點(diǎn)隨月球自轉(zhuǎn)進(jìn)入軌道面內(nèi)，此時(shí)開(kāi)啟主發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行減速制動(dòng)，同時(shí)啟動(dòng)橫向小推力姿控發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行橫向控制。

2 經(jīng)濟(jì)型月球探測(cè)器精確定點(diǎn)軟著陸問(wèn)題建模

通過(guò)第1節(jié)的分析，探測(cè)器位于15×100 km環(huán)月極軌道近月點(diǎn)時(shí)開(kāi)始主減速段制動(dòng)。為了方便對(duì)月球探測(cè)器軟著陸制導(dǎo)方法進(jìn)行研究，需要對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化?？紤]到月球的自轉(zhuǎn)角速度很小，而主減速段過(guò)程又很短，所以進(jìn)行如下假設(shè)：1)忽略月球自轉(zhuǎn)；2)忽略月球非球形引力攝動(dòng)；3)忽略其他天體的引力攝動(dòng)。根據(jù)牛頓第二定律，在圖2所示的北東地坐標(biāo)系下，探測(cè)器的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)模型為：

(9)

式中：r=[0, 0, -r]T、v=[vx,vy,vz]T分別為探測(cè)器的位置和速度在北東地坐標(biāo)系下的分量;φ為探測(cè)器所處的月心緯度;λ為探測(cè)器所處的月心經(jīng)度;F=[Fx,Fy,Fz]T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力在北東地坐標(biāo)系下的分量。

圖2 軟著陸主減速段坐標(biāo)系Fig.2 Frames of main descent phase

考慮探測(cè)器質(zhì)量的變化，其質(zhì)量方程為：

(10)

為了方便后續(xù)制導(dǎo)算法的設(shè)計(jì)，這里定義等效引力加速度：

(11)

由于r相對(duì)于vx、vy、vz要大得多，所以探測(cè)器在主減速段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，g′x、g′y、g′z近似為常值。

3 精確定點(diǎn)軟著陸實(shí)時(shí)在線制導(dǎo)算法

對(duì)于配備固體發(fā)動(dòng)機(jī)的經(jīng)濟(jì)型月球著陸器來(lái)說(shuō)，在燃耗最優(yōu)著陸的情況下，只控制推力方向而不改變推力大小，傳統(tǒng)顯式制導(dǎo)算法不能同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)終端位置約束[11]。因此，根據(jù)式(9)以及第1節(jié)的分析，我們將探測(cè)器主減速段的運(yùn)動(dòng)分為縱向平面運(yùn)動(dòng)(x-z平面)和橫向運(yùn)動(dòng)(y方向)兩部分，然后分別設(shè)計(jì)在線閉環(huán)制導(dǎo)律。

如圖3所示，在北東地坐標(biāo)系下，縱向平面的運(yùn)動(dòng)通過(guò)固體主發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的推力來(lái)控制，控制量為俯仰角αbn，同時(shí)在探測(cè)器運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持偏航角βbn=90°或270°。對(duì)于橫向運(yùn)動(dòng)控制，由第1節(jié)的分析可知，通過(guò)環(huán)月調(diào)相后，探測(cè)器在主減速段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中橫向偏差很小，若采用大推力固體發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行控制，很容易造成控制過(guò)量和偏航角在零值附近“振蕩”的情況，所以橫向采用小推力姿控發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行控制，控制量為發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)關(guān)機(jī)指令u，u的值域?yàn)閧-1, 0, +1}。在此控制策略下，推力在北東地坐標(biāo)系下的分量為：

(12)

式中：F為固體發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小，Tr為姿控發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小。

圖3 固體發(fā)動(dòng)機(jī)推力在北東地坐標(biāo)系下的分量Fig.3 Thrust of solid rocket motor in the NED frame

3.1 縱向平面制導(dǎo)算法

3.1.1改進(jìn)顯式制導(dǎo)律

根據(jù)Pontryagin極大值原理，在固體發(fā)動(dòng)機(jī)常值推力下，燃耗最優(yōu)問(wèn)題就等同于時(shí)間最優(yōu)問(wèn)題。令最優(yōu)指標(biāo)為：

(13)

引入Hamilton函數(shù)：

(14)

式中：λ=[λx,λvx,λz,λvz]T為縱向平面運(yùn)動(dòng)協(xié)態(tài)變量。

伴隨方程為：

(15)

在不考慮位置約束的情況下：

λx=λz=0

(16)

λvx=λvx0,λvz=λvz0

(17)

由極值條件：

(18)

對(duì)式(9)進(jìn)行對(duì)時(shí)間積分，可以得到：

(19)

由上式可以得到不考慮位置約束下的俯仰角指令：

(20)

進(jìn)一步，在考慮位置約束時(shí)，參考文獻(xiàn)[11]的線性近似方法，設(shè)計(jì)縱向平面的顯式制導(dǎo)律如下：

(21)

文獻(xiàn)[11]將(l1+l2t)視為小量并對(duì)控制角的正弦和余弦進(jìn)行一階Taylor展開(kāi)，然而在實(shí)際的仿真分析中發(fā)現(xiàn)(圖4、圖5)，在可達(dá)域內(nèi)，除特定著陸點(diǎn)外，其余著陸點(diǎn)對(duì)應(yīng)于位置約束的控制角常數(shù)項(xiàng)部分并不是小量，而只有一次項(xiàng)滿(mǎn)足小量假設(shè)，同時(shí)上述處理方式會(huì)在主減速段末段局部時(shí)間內(nèi)造成姿態(tài)角突變，從而增大姿控系統(tǒng)的工作難度。通過(guò)上述分析，下面對(duì)傳統(tǒng)顯式制導(dǎo)律作式(22)的改進(jìn)，僅把一次項(xiàng)l2t作為小量，而常數(shù)項(xiàng)l1不作為小量，然后進(jìn)行Taylor展開(kāi)，可以看到改進(jìn)的顯式制導(dǎo)律滿(mǎn)足上述假設(shè)，同時(shí)解決了末段姿態(tài)角突變的問(wèn)題。

(22)

圖4 l1變化曲線Fig.4 l1 curve

圖5 l2變化曲線Fig.5 l2 curve

根據(jù)探測(cè)器徑向zn的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和終端狀態(tài)約束，將式(22)代入式(9)并進(jìn)行對(duì)時(shí)間一次積分和二次積分，可求得l1和l2的顯式表達(dá)式。

3.1.2最優(yōu)點(diǎn)火角搜索

在改進(jìn)的顯式制導(dǎo)算法中，控制角αbn的顯式解與當(dāng)前時(shí)刻探測(cè)器的徑向位置坐標(biāo)z0、終端徑向位置坐標(biāo)zf、縱向平面內(nèi)探測(cè)器當(dāng)前時(shí)刻的速度v0和終端速度vf以及剩余時(shí)間tgo有關(guān)，而與航向位置x0、xf無(wú)關(guān)，因此所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律缺乏對(duì)航向位置的控制能力，為了實(shí)現(xiàn)精確定點(diǎn)軟著陸，需要進(jìn)一步設(shè)計(jì)探測(cè)器航向運(yùn)動(dòng)控制方法。

如圖6所示，當(dāng)探測(cè)器在15×100 km環(huán)月極軌道近月點(diǎn)開(kāi)啟點(diǎn)火制動(dòng)時(shí)，若采用改進(jìn)顯式制導(dǎo)律飛行，除特定著陸點(diǎn)外，終端實(shí)際著陸點(diǎn)將超前(或滯后)理想預(yù)定著陸點(diǎn)。為解決這一問(wèn)題，參考有限推力制導(dǎo)思想[17]，對(duì)點(diǎn)火點(diǎn)位置進(jìn)行修正，以達(dá)到控制主減速段航程的目的。

圖6 主減速段點(diǎn)火點(diǎn)修正示意圖Fig.6 Fire point correction of main descent phase

設(shè)點(diǎn)火點(diǎn)修正角為Δθ，通過(guò)仿真分析發(fā)現(xiàn)，在預(yù)定終端狀態(tài)一定時(shí)，隨著點(diǎn)火點(diǎn)位置的改變，主減速段采用改進(jìn)顯式制導(dǎo)律飛行的探測(cè)器航程變化不大。

圖7 主減速段航程角隨點(diǎn)火點(diǎn)位置變化Fig.7 Flight angle with fire point in main descent phase

另外主減速段末端狀態(tài)誤差變化如圖8～圖11所示，可以看到存在最優(yōu)點(diǎn)火角Δθopt，使得探測(cè)器終端位置誤差和速度誤差達(dá)到最小。

圖8 航向位置誤差隨點(diǎn)火點(diǎn)位置變化Fig.8 Course position error with fire point

圖9 徑向位置誤差隨點(diǎn)火點(diǎn)位置變化Fig.9 Radial position error with fire point

圖10 航向速度誤差隨點(diǎn)火點(diǎn)位置變化Fig.10 Course velocity error with fire point

圖11 徑向速度誤差隨點(diǎn)火點(diǎn)位置變化Fig.11 Radial velocity error with fire point

通過(guò)上述分析，根據(jù)主減速段改進(jìn)顯式制導(dǎo)律的誤差傳播特性，設(shè)計(jì)如圖12所示的點(diǎn)火點(diǎn)修正角搜索算法(Fire angle search algorithm, FASA)，δ為定點(diǎn)軟著陸主減速段末端容許位置誤差。在實(shí)際任務(wù)中，為了與后續(xù)階段光滑過(guò)渡，一般要求在主減速段任務(wù)結(jié)束時(shí)，預(yù)定著陸點(diǎn)應(yīng)位于探測(cè)器運(yùn)動(dòng)方向的前方，因此δ應(yīng)大于0。另外，點(diǎn)火角搜索步長(zhǎng)與環(huán)月軌道定軌精度有關(guān)，對(duì)于定軌精度位置偏差在300 m以?xún)?nèi)的月球探測(cè)器[18]，可設(shè)置點(diǎn)火角搜索步長(zhǎng)為±0.01°(終端實(shí)際著陸點(diǎn)滯后理想預(yù)定著陸點(diǎn)時(shí)取+，終端實(shí)際著陸點(diǎn)超前理想預(yù)定著陸點(diǎn)時(shí)取-)。

圖12 點(diǎn)火角搜索算法Fig.12 Fire Angle Search Algorithm

3.2 基于ZEM/ZEV方法的橫向運(yùn)動(dòng)控制

軟著陸主減速段橫向運(yùn)動(dòng)控制采用ZEM/ZEV最優(yōu)反饋制導(dǎo)律[19]，該方法具備燃耗最優(yōu)、強(qiáng)魯棒性和易于工程實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。定義橫向零控位置偏差yZEM和零控速度偏差vyZEV如下：

yZEM(t)=yf-y(tf)

(23)

vyZEV(t)=vyf-vy(tf)

(24)

式中：yf和vyf分別為預(yù)定著陸點(diǎn)的橫向位置及橫向速度，y(tf)和vy(tf)分別為在不施加控制情況下探測(cè)器在tf時(shí)刻的橫向位置和橫向速度。

對(duì)于式(9)和(12)，令ay=Tru/m，設(shè)計(jì)能量最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)：

(25)

根據(jù)性能指標(biāo)函數(shù)(25)得到Hamilton函數(shù)：

(26)

式中：λ=[λy,λvy]T為橫向運(yùn)動(dòng)協(xié)態(tài)變量。

由極值條件以及伴隨方程，可得最優(yōu)控制量ay的表達(dá)式為：

ay=-λvy=-λy(tf)tgo-λvy(tf)

(27)

將式(27)代入式(9)并對(duì)時(shí)間積分，可以得到如下關(guān)系式：

(28)

(29)

式中：y0和vy0分別為探測(cè)器初始橫向位置和橫向速度。

由式(28)和(29)可得協(xié)態(tài)變量λy(tf)和λvy(tf)的解析表達(dá)式，將其代入式(27)可得ZEM/ZEV制導(dǎo)律為：

(30)

式(30)得到的制導(dǎo)律為連續(xù)控制變量，而橫向運(yùn)動(dòng)控制采用小推力液體發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)，控制量為發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)關(guān)機(jī)指令u(u={-1, 0, +1})，因此需要將其轉(zhuǎn)換為脈沖形式，下面基于PWPF對(duì)連續(xù)制導(dǎo)律進(jìn)行調(diào)制[20]。

PWPF調(diào)制器工作原理如圖13所示，其由一階慣性環(huán)節(jié)、施密特觸發(fā)器及反饋回路組成，km和tm分別為一階慣性環(huán)節(jié)的增益和時(shí)間常數(shù)，Uon和Uoff分別為施密特觸發(fā)器的開(kāi)、關(guān)閥值，ay為橫向運(yùn)動(dòng)連續(xù)制導(dǎo)指令，uy為調(diào)制脈沖輸出。發(fā)動(dòng)機(jī)最小工作時(shí)間為：

(31)

式中：h=Uon-Uoff為調(diào)制器遲滯，Um為脈沖幅值。

圖13 PWPF調(diào)制器工作原理Fig.13 Structure of PWPF modulator

4 仿真算例

對(duì)于主發(fā)動(dòng)機(jī)配備固體發(fā)動(dòng)機(jī)的經(jīng)濟(jì)型月球探測(cè)器，由于固體發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后必須持續(xù)工作到燃料耗盡，所以實(shí)際飛行中不能以運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)條件，而必須以質(zhì)量變化量或推進(jìn)時(shí)間作為終止條件。而在實(shí)際任務(wù)中，需要提前設(shè)計(jì)固體發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料裝填量，因此仿真算例先以運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為積分終止條件，然后根據(jù)主減速段全程飛行時(shí)間給出固發(fā)燃料裝填質(zhì)量參考值，最后以該參考值作為固體發(fā)動(dòng)機(jī)終止條件來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)算法的性能優(yōu)劣。

主減速段仿真參數(shù)見(jiàn)表1：

表1 主減速段仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters of main descent phase

4.1 FASA算法優(yōu)化性能

首先根據(jù)FASA算法優(yōu)化搜索點(diǎn)火角修正值。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)點(diǎn)火角搜索算法的性能，在相同仿真條件下，選取終端航向位置誤差為代價(jià)函數(shù)，分別采用粒子群優(yōu)化算法(Particle swarm optimization,PSO)[21]、樽海鞘群優(yōu)化算法(Salp swarm algorithm,SSA)[22]和本文所設(shè)計(jì)的點(diǎn)火角搜索算法(FASA)進(jìn)行50次獨(dú)立優(yōu)化搜索，表2給出了三種算法代價(jià)函數(shù)值及平均搜索時(shí)間統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)比。

表2 點(diǎn)火角搜索結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 2 Fire angle search results statistics

由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，三種算法的搜索結(jié)果都能夠滿(mǎn)足終端航向位置約束(容許位置誤差200 m)的要求，雖然FASA算法的誤差均值相比于PSO、SSA較大，但由于該算法的修正點(diǎn)火角初值是根據(jù)主減速段的誤差傳播特性得到，大大降低了初值猜測(cè)過(guò)程的隨機(jī)性和迭代搜索次數(shù)，同時(shí)搜索過(guò)程采用固定步長(zhǎng)，因此相較于其它兩種算法多次搜索結(jié)果保持穩(wěn)定。另外，F(xiàn)ASA算法的搜索時(shí)間遠(yuǎn)小于其他兩種算法，保證了在環(huán)月調(diào)相軌道周期內(nèi)能夠快速完成多次優(yōu)化搜索，即使在探測(cè)器環(huán)月飛行過(guò)程中臨時(shí)調(diào)整終端著陸點(diǎn)位置，也能夠?qū)崟r(shí)搜索到滿(mǎn)足任務(wù)需求的點(diǎn)火角修正值，滿(mǎn)足制導(dǎo)算法實(shí)時(shí)性的要求。

4.2 主減速段全程仿真

下面采用所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)算法，以運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為積分終止條件，進(jìn)行主減速段全過(guò)程仿真，仿真中制導(dǎo)參數(shù)設(shè)置如下。縱向平面運(yùn)動(dòng)制導(dǎo)參數(shù)：制導(dǎo)周期T=0.08 s；點(diǎn)火角搜索結(jié)果：Δθcor=-0.08°。橫向運(yùn)動(dòng)制導(dǎo)參數(shù)：km=6，tm=0.48，Uon=3.6×10-5，Uoff=3×10-6。仿真結(jié)果見(jiàn)圖14～圖19。

圖14 徑向位移曲線Fig.14 Radial position curve

圖15 航向速度曲線Fig.15 Course velocity curve

圖16 橫向速度曲線Fig.16 Lateral velocity curve

圖17 徑向速度曲線Fig.17 Radial velocity curve

圖18 縱向平面運(yùn)動(dòng)控制俯仰角指令Fig.18 Thrust pitch angle in longitudinal plane motion

圖19 橫向運(yùn)動(dòng)控制發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)關(guān)曲線Fig.19 Control instruction to lateral motion

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)算法的性能，采用相同的仿真條件，在縱向平面運(yùn)動(dòng)采用文獻(xiàn)[11]中的制導(dǎo)方法，橫向運(yùn)動(dòng)不控的情況下進(jìn)行仿真，與本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，終端狀態(tài)誤差對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3：

表3 終端狀態(tài)誤差Table 3 Terminal state error

由仿真結(jié)果可以看出，軟著陸過(guò)程中采用本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律飛行時(shí)，位置變化曲線和速度變化曲線平滑，三個(gè)方向上的終端著陸誤差能夠控制在很小的范圍內(nèi)。同時(shí)主減速段結(jié)束時(shí)，探測(cè)器剩余速度大小為11.8 m/s，預(yù)定著陸點(diǎn)位于探測(cè)器運(yùn)動(dòng)方向的前方171.2 m處，能夠?qū)崿F(xiàn)與后續(xù)階段的光滑銜接。另外，主減速段耗時(shí)259.04 s，固體發(fā)動(dòng)機(jī)燃耗683.60 kg，將此數(shù)值作為發(fā)射前固發(fā)燃料裝填質(zhì)量的參考值。

4.3 制導(dǎo)算法性能

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)算法的魯棒性和適應(yīng)性，根據(jù)上面的仿真結(jié)果，選取固發(fā)燃料裝填質(zhì)量為683.60 kg，仿真過(guò)程終止條件設(shè)置為燃料耗盡關(guān)機(jī)，其它仿真條件不變，在目標(biāo)著陸點(diǎn)緯度36 °N～37.6 °N的覆蓋范圍內(nèi)進(jìn)行蒙特卡羅仿真試驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖20、圖21所示。

圖20 終端位置誤差隨目標(biāo)著陸點(diǎn)緯度變化曲線Fig.20 Terminal position error with latitude of target landing site

圖21 終端速度誤差隨著陸點(diǎn)緯度變化曲線Fig.21 Terminal velocity error with latitude of target landing site

從仿真結(jié)果可以看出，x方向的終端位置誤差散布在0～350 m的范圍內(nèi)，且大部分結(jié)果滿(mǎn)足容許誤差200 m的要求；而終端速度誤差在目標(biāo)著陸點(diǎn)緯度逐漸遠(yuǎn)離原始預(yù)定著陸點(diǎn)緯度(36.8173 °N)的過(guò)程中，呈現(xiàn)出增大的趨勢(shì)。z方向的終端位置誤差受目標(biāo)著陸點(diǎn)緯度變化的影響較小，能夠保持在很小的范圍內(nèi)；而終端速度誤差的變化趨勢(shì)與x方向相同。對(duì)于y方向，由于橫向運(yùn)動(dòng)單獨(dú)采用小推力姿控發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行控制，因此在橫向偏差一定的情況下，y方向的終端位置誤差和終端速度誤差始終能夠控制在允許誤差范圍內(nèi)。綜上所述，在一定的目標(biāo)著陸區(qū)域內(nèi)，終端位置誤差和終端速度誤差能夠控制在合理的范圍，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)算法表現(xiàn)出了很好的適應(yīng)能力。

5 結(jié) 論

主發(fā)動(dòng)機(jī)采用固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的月球探測(cè)器具有顯著的經(jīng)濟(jì)優(yōu)勢(shì)，本文針對(duì)這類(lèi)經(jīng)濟(jì)型月球探測(cè)器精確定點(diǎn)軟著陸主減速段的實(shí)時(shí)在線制導(dǎo)算法進(jìn)行了詳細(xì)的研究，將探測(cè)器主減速段的運(yùn)動(dòng)分為縱向平面運(yùn)動(dòng)和橫向運(yùn)動(dòng)兩部分分別設(shè)計(jì)制導(dǎo)律?？v向平面運(yùn)動(dòng)采用改進(jìn)顯式制導(dǎo)算法和點(diǎn)火角搜索技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)高程和航程的精確控制；對(duì)于橫向運(yùn)動(dòng)的控制，首先基于ZEM/ZEV最優(yōu)反饋制導(dǎo)律給出橫向制導(dǎo)指令，然后根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)特性，采用PWPF將連續(xù)形式的制導(dǎo)指令調(diào)制為脈沖形式。仿真結(jié)果表明：

1)點(diǎn)火角搜索算法能夠在很短的時(shí)間內(nèi)優(yōu)化搜索得到滿(mǎn)足終端航向位置約束的點(diǎn)火角修正值，具有很好的實(shí)時(shí)性和穩(wěn)定性；

2)飛行過(guò)程中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和制導(dǎo)指令變化曲線平滑，三個(gè)方向上的終端著陸誤差均控制在很小的范圍內(nèi)，同時(shí)所設(shè)計(jì)的改進(jìn)顯式制導(dǎo)算法解決了末段局部時(shí)間內(nèi)姿態(tài)角突變的問(wèn)題；

3)所設(shè)計(jì)制導(dǎo)算法具有自主性、實(shí)時(shí)性和一定的魯棒性，在一定的目標(biāo)著陸區(qū)域內(nèi)都具有很好的適應(yīng)能力。