一種面向移動(dòng)三支決策模型的有效性度量方法研究

郭豆豆，姜春茂，楊 翎

(哈爾濱師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，哈爾濱 150025) E-mail：hsdrose@126.com

1 引 言

決策是人類生產(chǎn)和生活中的普遍行為.當(dāng)人們在進(jìn)行接受、拒絕、暫不做決定三者間利弊權(quán)衡時(shí)，會(huì)自發(fā)地運(yùn)用一種三支策略.基于粗糙集理論中一個(gè)概念的正域、負(fù)域和邊界域的語義解釋，特別在決策粗糙集中，姚一豫教授提出三支決策理論[1].三支決策的基本思想是將一個(gè)整體劃分成3個(gè)兩兩互不相交的部分，然后根據(jù)每個(gè)部分的特點(diǎn)來做出相應(yīng)的策略，從而實(shí)現(xiàn)特定的目標(biāo).三分而治是一種符合人類認(rèn)知的問題處理策略，是一種有效的決策和信息處理模式，其廣泛應(yīng)用吸引了大批專家學(xué)者對此進(jìn)行研究，產(chǎn)生了眾多的研究成果，并成功應(yīng)用于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域[2-6].進(jìn)一步地，姚一豫教授分析了三支決策的基本成分以及和其它理論的關(guān)系，提出三支決策理論基本框架[7，8].對于三支決策，決策可以進(jìn)一步解釋為處理、分析、求解、計(jì)算等，近些年來，基于三支決策理論出現(xiàn)了大量的”三支+”成果.胡寶清教授[9]提出三支決策空間問題，李小南教授[10]提出了三支擬陣，祁建軍、李金海和魏玲等人[11，12]提出三支概念分析，姚景濤教授[13，14]提出了三支博弈論，折延宏等人[15]提出了多值邏輯的三支近似，劉盾、梁德翠等人[16，17]提出了三支決策的時(shí)空性以及三支決策的直覺模糊集理論，于洪教授[18-20]提出了三支聚類，方宇和閔帆等人[21]提出一種基于代價(jià)敏感的三支屬性約簡，孫秉珍等人[22]提出了基于多粒度模糊決策理論的三支決策粗糙集，李華雄等人[23，24]提出了序貫三支決策.這些研究成果極大的拓展了三支決策的研究視野，促進(jìn)了該領(lǐng)域的發(fā)展.

三分而治是三支決策的基本思想，分、治、效是三支決策的3個(gè)基本要素.三支決策模型的有效性依賴于合理的三分以及對三分區(qū)施加的策略，一個(gè)基本的研究熱點(diǎn)在如何去度量分和治的有效性.當(dāng)前在對于三支決策的研究主要集中于分和治，關(guān)于效的研究少之又少.在關(guān)于”效”的研究方面，2017年高聰和姚一豫[25]提出一種基于對象移動(dòng)策略的三支決策，2018年，姜春茂和姚一豫[26]首次提出”效”的度量，開辟了三支決策TAO模型中的”效”的研究，通過權(quán)衡治略對象在移動(dòng)前后產(chǎn)生的收益和代價(jià)來進(jìn)行治略效果的評價(jià)，然而在文末僅僅給出一個(gè)效用度量的框架，并未涉及如何進(jìn)行效用度量的研究.本文關(guān)注于治和效這兩步，在文獻(xiàn)[26]效用度量框架基礎(chǔ)上，提出一個(gè)基于移動(dòng)的三支決策模型的比例效用度量方法.

本文組織如下：第2節(jié)對三支決策及其相關(guān)工作進(jìn)行了回顧，介紹了兩類最新三支決策模型；第3節(jié)給出了基于比例效用函數(shù)的三支決策模型治略的有效性度量方法；第4節(jié)建立了移動(dòng)三支決策模型的效用度量方法，詳細(xì)討論了在基于對象獨(dú)立治略、等價(jià)類獨(dú)立治略以及區(qū)域獨(dú)立治略的效用度量方法，并在第5節(jié)分別給出相應(yīng)的實(shí)例分析；最后給出了全文總結(jié)以及下一步要開展的研究工作.

2 三支決策及其相關(guān)工作

三支決策作為一種樸素的同時(shí)包含 “分”、“治”和“效”的三層次決策理論[28]，其相關(guān)研究可以分別關(guān)注于分、治、效3個(gè)不同階段，每個(gè)階段都有其各自的研究熱點(diǎn)，而三者又是缺一不可，密不可分，完整統(tǒng)一的.

首先回顧兩類最新的三支決策模型，即三支決策TAO模型以及基于移動(dòng)的三支決策模型.

2.1 三支決策TAO模型

三支決策的TAO模型在原有的分治模型基礎(chǔ)上，增加了第3個(gè)要素—效，形成分治效結(jié)合的三支決策TAO模型，三支決策也由原來的兩步：第1步合理劃分三分區(qū)域，第2步根據(jù)劃分后的三分區(qū)域制定最優(yōu)的策略，進(jìn)行三分區(qū)的治略，增加了第3步，對治略后的三支決策模型進(jìn)行有效性度量.

圖1表示由分、治、效三步結(jié)合的三支決策TAO模型，展現(xiàn)了分、治、效這三者之間的關(guān)系.它包含自上而下和自下而上的兩種模式，其中自上而下模式，也就是一種通過三分來設(shè)計(jì)策略的三支決策模型，目前絕大多數(shù)的三支決策理論的研究都是基于這種自上而下的模式，通過一個(gè)合理的三分區(qū)域的劃分來設(shè)計(jì)具有針對性的策略；另一種是自下而上的模式，是通過對三分區(qū)的對象施加策略來調(diào)整三分區(qū)域.目前在自上而下的三分設(shè)計(jì)治略的模型的研究中，可以看到一種三支決策分治模型.對于自下而上的治略調(diào)整三分的研究中，可以看到一種基于移動(dòng)的三支決策模型.在基于移動(dòng)的三支決策模型中，通過對三分區(qū)域的對象施加治略，對象的位置發(fā)生變化，使得對象在三分區(qū)域間發(fā)生移動(dòng)，從而形成一個(gè)新的三分區(qū)域.本文在這種基于對象移動(dòng)的三支決策基礎(chǔ)上，進(jìn)行治略的有效性度量研究.

圖1 三支決策TAO模型Fig.1 Trisecting-acting-outcome model of three-way decisions

2.2 基于移動(dòng)的三支決策模型

從廣義三支決策的視角出發(fā)，定義一個(gè)將整體分成3個(gè)獨(dú)立部分，并對每一個(gè)部分進(jìn)行分別治略的三支決策模型.

定義1.假設(shè)OB是一個(gè)有限非空集合，C是一個(gè)有限的標(biāo)準(zhǔn)集.基于標(biāo)準(zhǔn)集C，OB被劃分成3個(gè)兩兩不相交的部分P1，P2，P3，記為π={P1，P2，P3}，即f：OB→π其中，P1∪P2∪P3=OB，且P1∩P2=?，P1∩P3=?，P2∩P3=?.

文獻(xiàn)[25]提出一個(gè)基于移動(dòng)的三支決策模型的基本框架，文獻(xiàn)[26,27]進(jìn)一步研究了基于對象移動(dòng)的三支決策模型，三分區(qū)域在治略的作用下，區(qū)域中的對象會(huì)發(fā)生移動(dòng)，對于治略促使下的對象移動(dòng)有如下定義：

定義2[26].給定三分區(qū)域π={P1，P2，P3}，分別用P1，P2，P3表示對象在區(qū)域P1，P2，和P3中的位置.對于?x∈OB，讓pπ(x)表示一個(gè)對象x在三分區(qū)域π中的位置，即：pπ(x)=pi，i=1，2，3.

在基于移動(dòng)的三支決策模型中，區(qū)域中的每個(gè)對象可能會(huì)有3種移動(dòng)結(jié)果，對于三分區(qū)而言，會(huì)發(fā)生9種不同的移動(dòng)：

P1～→P1，P1～→P2，P1～→P3，
P2～→P1，P2～→P2，P2～→P3，
P3～→P1，P3～→P2，P3～→P3.

其中對于pi～→pj，pi表示對象移動(dòng)之前在三分區(qū)的位置，pj表示對象移動(dòng)之后在三分區(qū)的位置.

3 基于比例效用函數(shù)的三支決策模型有效性度量

在本節(jié)介紹了基于比例效用理論的有效性度量方法，通過比例效用函數(shù)進(jìn)行治略的有效性度量，并提出一種基于比例效用函數(shù)的三支決策模型的有效性度量方法.

3.1 比例效用理論

在現(xiàn)實(shí)的決策過程中，由于客觀事物發(fā)展的不確定性和人類認(rèn)知能力的有限性，一個(gè)決策的做出，通常需要根據(jù)決策者的心理行為，需要在客觀因素基礎(chǔ)上，充分考慮到?jīng)Q策者的經(jīng)驗(yàn)、才智、膽識(shí)以及決策力等多種主觀因素.如果僅僅根據(jù)期望值大小作為決策的依據(jù)，往往不能很好的達(dá)到?jīng)Q策者的心理預(yù)期.效用是帶有決策者主觀意識(shí)的體現(xiàn)，而效用值可以直接體現(xiàn)出決策者對決策的滿足程度，可以用來度量決策者對決策方案的滿意度.

在傳統(tǒng)的期望效用理論中，效用函數(shù)通常是根據(jù)實(shí)際的收益值或損失值來確定，通過概率形式表現(xiàn).然而在現(xiàn)實(shí)決策中這往往不能很好的達(dá)到?jīng)Q策者的心理預(yù)期.例如一個(gè)經(jīng)典的實(shí) 驗(yàn)案例，對于包含兩種狀態(tài)變量的兩種決策方案I1={4000，0.8}和I2={3000，1}，分別表示方案I1以80%的概率獲得4000收益，方案I2以100%的概率獲得3000收益.在傳統(tǒng)的期望效用理論中，可以得到0.8×U(4000+X)>U(3000+X)，其中U(X)為期望效用函數(shù)，但其具體形式目前尚未明確.顯然通過期望效用理論可以得出結(jié)論，方案1的期望效用值高于方案2的期望效用值，然而在實(shí)際中，人們卻更多的傾向于方案2，盡管也存在一部分人選擇了方案1.再例如對于獲取1000元的收益，對于擁有巨額財(cái)富的富人而言很難動(dòng)心，但是對于一無所有的窮人而言是很難抗拒的.而比例效用理論[29-31]的提出可以很好的解釋諸如上類問題.

比例效用理論提出根據(jù)決策前后的決策對象質(zhì)量變化量ΔQ和最終狀態(tài)量Q0+ΔQ的比例值作為效用值，即：

(1)

其中，Q0表示決策對象質(zhì)量初始量.

相比于傳統(tǒng)的效用理論，它最大的優(yōu)點(diǎn)是同時(shí)考慮絕對量和變化量作為效用的度量，并且效用函數(shù)形式明確，基于此，本文將以比例效用函數(shù)作為治略的效用度量依據(jù)，進(jìn)行治略效果的有效性度量.

3.2 比例效用的度量框架

在眾多的三支決策模型中，對模型優(yōu)劣的評價(jià)，往往依賴于對三分和治略效果進(jìn)行定量和定性的衡量，需要分別對三分和治略進(jìn)行有效性的度量.目前，在三支決策模型的有效性度量上，有一個(gè)統(tǒng)一的框架[32]：

Q(π′|π)=Q(π′)-Q(π)

(2)

在這Q(π′|π)表示通過對三分區(qū)π施加策略后促使新的三分區(qū)形成后的質(zhì)量變化，即治略的效果，Q(π)和Q(π′)分別表示三分區(qū)和新的三分區(qū)的質(zhì)量.在這質(zhì)量可以解釋為收益、損失、風(fēng)險(xiǎn)、效用等.目前的研究中，文獻(xiàn)[26]是通過衡量收益和損失，給出一種移動(dòng)治略的有效性度量方法，并提出了一個(gè)基于效用函數(shù)的三分區(qū)度量框架：

(3)

基于上述效用度量，本文介紹一種三支決策模型的效用度量方法—比例效用度量，給出如下假設(shè)：

假設(shè)1.比例效用函數(shù)中，對象質(zhì)量在治略后，增加量無上限，損失量最多為其本身的質(zhì)量.

假設(shè)2.敏感度的設(shè)立，決策者對治略效果的效用值的敏感度不是無限的，存在上限和下限.當(dāng)效用值高于某個(gè)數(shù)值或者低于某個(gè)數(shù)值時(shí)，決策者不再敏感.

鑒于比例值的范圍是0-1.做如下幾點(diǎn)考慮：

iii)敏感度的上限通常小于1，一個(gè)很好的解釋，投票選舉中，當(dāng)票數(shù)超過一半的時(shí)，效用值的增加，不會(huì)使得決策者敏感.

基于上述i)-iv)的描述，在這給出一個(gè)基于對象移動(dòng)的三支決策模型的效用度量定義如下：

定義4.對于?x∈OB，對于三分區(qū)域的比例效用度量u：OB×∏→R，定義如下：

(4)

根據(jù)公式(4)，討論兩個(gè)邊界條件.當(dāng)治略后，對象U治略后質(zhì)量的增加量趨近于無窮大時(shí)和質(zhì)量減少量趨于于對象本身的初始量時(shí)，效用值分別如下：

(5)

根據(jù)邊界條件，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)治略對象的質(zhì)量初始值固定時(shí)，治略產(chǎn)生質(zhì)量增加量接近于正無窮時(shí)，此時(shí)效用值為1；當(dāng)治略產(chǎn)生質(zhì)量減少量接近于治略對象的初始值，此時(shí)效用值為負(fù)無窮.基于此，可以得出如下結(jié)論：

結(jié)論1.在三支決策模型的比例效用度量中，給定三分區(qū)的治略，治略產(chǎn)生的比例效用值存在上限，但不存在下限.

上述結(jié)論1滿足決策者在度量收益和損失時(shí)具有損失厭惡的性質(zhì)，即損失給決策者帶來的效用大于同等收益帶來的效用，并且當(dāng)損失到對象本身質(zhì)量時(shí)，決策者的效用達(dá)到極低值.

3.3 基于收益和代價(jià)的治略度量框架

在三分區(qū)域上施加一個(gè)動(dòng)作a，會(huì)導(dǎo)致對象發(fā)生正移動(dòng)或者負(fù)移動(dòng)，在移動(dòng)前后對象的質(zhì)量對比上，正移動(dòng)的治略變化量記為Q+，Q+，根據(jù)不同實(shí)際中質(zhì)量的解釋，可以是如下兩個(gè)不同的定義：

Q+=Q(π′)-Q(π)

(6)

或者：

Q+=Q(π)-Q(π′)

(7)

通常，在基于風(fēng)險(xiǎn)，信息熵，基尼系數(shù)等情況下的評價(jià)函數(shù)，使用公式(7)，在基于收益，方差等情況下的評價(jià)函數(shù)使用公式(6).不失一般性，討論基于公式(6)的度量框架，令Q(π′)>Q(π)表示正移動(dòng)，即正移動(dòng)使得質(zhì)量增加，記正移動(dòng)為～→+；令Q(π′)

通過對發(fā)生移動(dòng)的對象進(jìn)行正、負(fù)移動(dòng)的討論，給出了如下的一個(gè)矩陣定義：

定義5.對于?x∈OB，對象x發(fā)生正負(fù)方向移動(dòng)被如下3×3二元組的移動(dòng)矩陣給出：

(8)

在本文討論的移動(dòng)三支決策模型中，即便同一區(qū)域中對象發(fā)生相同的移動(dòng)也會(huì)有不同的移動(dòng)效果.移動(dòng)矩陣通過二元組的形式考慮了一個(gè)對象所有可能發(fā)生的移動(dòng)，但是實(shí)際上一個(gè)對象在移動(dòng)前后的三分區(qū)位置是固定的，也就是說在移動(dòng)矩陣中僅僅存在一個(gè)元素會(huì)被用到.

為了研究移動(dòng)產(chǎn)生的收益和成本，文中假設(shè)在正移動(dòng)中，相同的移動(dòng)有著相同的收益，在負(fù)移動(dòng)中，相同的移動(dòng)有相同的代價(jià).使用b表示收益，c表示損失，其中q0(pi(x))表示位于區(qū)域pi的對象x的質(zhì)量初始值.下面給出一個(gè)收益矩陣和代價(jià)矩陣的定義：

定義6.在基于移動(dòng)的三支決策模型中，對象移動(dòng)產(chǎn)生的收益通過一個(gè)3×3的移動(dòng)收益矩陣表示：

(9)

其中，b(pi，pj)>0.

對象移動(dòng)產(chǎn)生的代價(jià)通過一個(gè)3×3的移動(dòng)代價(jià)矩陣表示：

(10)

其中，c(pi，pj)≤0.

4 基于移動(dòng)的三支決策模型的有效性度量方法

基于移動(dòng)的角度研究三支決策的治略變化，首先需要考慮到移動(dòng)度量的主體，既可以從單個(gè)對象的角度，也可以從多個(gè)對象的角度，包括但不局限于劃分類、三分區(qū)等等.從度量的視角，這也自然可以看作是一個(gè)從粒度由細(xì)變粗的思考過程.

本節(jié)在移動(dòng)三支決策模型的基礎(chǔ)上研究治略的有效性度量方法，不失一般性，分別討論基于對象獨(dú)立治略、基于等價(jià)類獨(dú)立治略和基于區(qū)域獨(dú)立治略的三支決策模型的效用度量方法.其中，在基于對象獨(dú)立治略的三支決策中，每個(gè)對象作為獨(dú)立個(gè)體進(jìn)行治略，討論其受到策略施加的影響，并且個(gè)體間變化情況是相互獨(dú)立、互不影響的；同樣的，在基于等價(jià)類獨(dú)立治略的三支決策中，每個(gè)等價(jià)類作為獨(dú)立個(gè)體進(jìn)行治略，討論其受到策略施加的影響，但是等價(jià)類中的單個(gè)對象受到治略影響不盡相同，因此存在同一等價(jià)類采取相同策略，然而類內(nèi)對象變化情況不同的情況；此外，在基于區(qū)域獨(dú)立治略的三支決策中，僅僅考慮區(qū)域整體受到策略施加的影響，考慮了一種特殊情況：同一區(qū)域中的對象發(fā)生相同移動(dòng)會(huì)帶來相同的收益和代價(jià)，區(qū)域中所有對象都服從同一移動(dòng)矩陣.因此，可以說三者相互區(qū)別又相互聯(lián)系.

4.1 基于對象獨(dú)立治略的移動(dòng)效果度量

在基于對象獨(dú)立治略的三支決策模型中，考慮區(qū)域中單個(gè)對象的收益損失值，例如在軍事傷員救治中，每一個(gè)傷員都是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，需要對每一個(gè)對象分別進(jìn)行救治.

定義7.根據(jù)移動(dòng)前后對象的移動(dòng)效果，定義發(fā)生正向移動(dòng)的對象，產(chǎn)生正效用：

(11)

發(fā)生負(fù)向移動(dòng)的對象，產(chǎn)生負(fù)效用：

(12)

定義8.在基于移動(dòng)的三支決策模型中，正移動(dòng)產(chǎn)生的正效用通過一個(gè)3×3的移動(dòng)正效用矩陣表示：

(13)

其中，u+(pi，pj)>0.

負(fù)移動(dòng)產(chǎn)生的負(fù)效用通過一個(gè)3×3的移動(dòng)負(fù)效用矩陣表示：

(14)

其中，u-(pi，pj)≤0.

如果對象x從區(qū)域pi移動(dòng)到區(qū)域pj是發(fā)生了正移動(dòng)，則t(pi，pj)(x)=1；如果對象x從區(qū)域pi移動(dòng)到區(qū)域pj是發(fā)生了負(fù)移動(dòng)，則t(pi，pj)(x)=0.根據(jù)正負(fù)移動(dòng)的劃分，正移動(dòng)產(chǎn)生正效用值，負(fù)移動(dòng)產(chǎn)生負(fù)效用值，對象x產(chǎn)生的移動(dòng)效用值為：

u(p(x)～→p′(x))=
[t(pi，pj)(x)]u+(pi，pj)+
[1-t(pi，pj)(x)]u-(pi，pj)]

(15)

在基于對象獨(dú)立治略的三支決策模型中，根據(jù)單個(gè)對象移動(dòng)的收益和損失來計(jì)算，記效用值為：

(16)

在基于對象獨(dú)立治略的三支決策模型中，一個(gè)動(dòng)作a產(chǎn)生效用度量記為：

[1-t(pi，pj)(x)]u-(pi，pj)]

(17)

4.2 基于等價(jià)類獨(dú)立治略的移動(dòng)效果度量

在基于等價(jià)類獨(dú)立治略的三支決策模型中，通過等價(jià)類的劃分進(jìn)行獨(dú)立治略.例如醫(yī)療診斷中，需要通過將相同癥狀的患者來進(jìn)行統(tǒng)一治療，即等價(jià)類劃分的方式來進(jìn)行治略.

(18)

發(fā)生負(fù)移動(dòng)的對象集合產(chǎn)生的代價(jià)計(jì)算如下：

(19)

記等價(jià)類[ot]治略前后的變化量為：

(20)

定義9.在基于等價(jià)類獨(dú)立治略的三支決策模型中，一個(gè)等價(jià)類治略后產(chǎn)生效用度量定義如下：

(21)

因此，在基于等價(jià)類獨(dú)立治略的三支決策模型中，三分區(qū)在一個(gè)動(dòng)作a作用下產(chǎn)生效用度量定義如下：

(22)

4.3 基于區(qū)域獨(dú)立治略的移動(dòng)效果度量

在基于區(qū)域獨(dú)立治略度量中，同一區(qū)域中的對象發(fā)生相同移動(dòng)會(huì)帶來相同的收益和代價(jià)，區(qū)域中所有對象都服從同一移動(dòng)矩陣，此時(shí)，考慮一個(gè)區(qū)域的整體收益損失來進(jìn)行治略的有效性度量.

Pπ′(x)?Pπ(x)?Pπ′(x)偏好于Pπ(x)

通過區(qū)域之間的偏好關(guān)系，對象移動(dòng)被如下定義：

(23)

也就是說，當(dāng)一個(gè)對象移動(dòng)到一個(gè)比移動(dòng)前更偏好的區(qū)域時(shí)，以及當(dāng)對象從最高偏好的區(qū)域移動(dòng)到本身時(shí)，記對象發(fā)生的移動(dòng)是正移動(dòng)；否則記對象發(fā)生的移動(dòng)是負(fù)移動(dòng).

文獻(xiàn)[33] 充分考慮3個(gè)區(qū)域之間的結(jié)構(gòu)，給出3種三分區(qū)域之間可能存在的結(jié)構(gòu).根據(jù)區(qū)域之間的偏好關(guān)系可以給出一個(gè)正負(fù)方向的移動(dòng)矩陣，例如在三分區(qū)域滿足全序關(guān)系P1?P2?P3時(shí)，對象的正負(fù)方向移動(dòng)矩陣如下：

(24)

則區(qū)域Pi中對象發(fā)生負(fù)移動(dòng)產(chǎn)生的代價(jià)記為：

(25)

則區(qū)域Pi治略后的質(zhì)量變化量記為：

(26)

定義10.在基于區(qū)域獨(dú)立治略三支決策模型中，一個(gè)區(qū)域治略后產(chǎn)生效用度量定義如下：

(27)

因此，在基于區(qū)域獨(dú)立治略的三支決策模型中，三分區(qū)域在動(dòng)作a作用下產(chǎn)生的效用度量定義如下：

(28)

在帶有偏好關(guān)系的3個(gè)區(qū)域中，在這討論全序關(guān)系下的治略效用度量，假定三分區(qū)域滿足全序關(guān)系P1?P2?P3.

已知?jiǎng)幼髯饔孟驴赡軙?huì)產(chǎn)生9種移動(dòng)結(jié)果.基于移動(dòng)策略，對象x發(fā)生區(qū)域位置變化，使得3個(gè)區(qū)域的對象基數(shù)發(fā)生變化.表1是區(qū)域治略后，對象發(fā)生移動(dòng)的各區(qū)域基數(shù).

表1 區(qū)域基數(shù)Table 1 Cardinality of the region

根據(jù)對象正負(fù)方向的移動(dòng)矩陣，3個(gè)區(qū)域由于對象發(fā)生移動(dòng)產(chǎn)生的質(zhì)量變化量分別計(jì)算如下：

(29)

因此，3個(gè)區(qū)域治略后產(chǎn)生效用值如下：

(30)

在基于區(qū)域獨(dú)立治略的三支決策模型中，三分區(qū)在一個(gè)動(dòng)作a作用下產(chǎn)生效用度量定義如下：

U(π～→aπ′)=u(P1)+u(P2)+u(P3)

(31)

5 實(shí)例分析

實(shí)例1.在醫(yī)院的患者分類中，通常需要根據(jù)患者病情等級(jí)劃分到3個(gè)區(qū)域：嚴(yán)重，中度，輕度.分別用P1，P2，P3表示這3個(gè)區(qū)域，不同的區(qū)域采用不同的治療方案，同一對象如果被分到不同的區(qū)域，可能會(huì)有不同的治療成本以及治療效果.假設(shè)OB={o1，o2，o3，o4}，π={P1，P2，P3}，其中，P1={o1，o2}，P2={o3}，P3={o4}，記這4個(gè)對象的初始值分別為：3，5，5，90.假設(shè)決策者對于4個(gè)對象治略后效用值的敏感度下限分別是0.1，0.1，0.2，0.3.假設(shè)4個(gè)對象的移動(dòng)矩陣分別為：

對象移動(dòng)產(chǎn)生的收益矩陣和損失矩陣如下：

根據(jù)公式(11)、公式(12)，可以計(jì)算如果對象o1發(fā)生移動(dòng)是正移動(dòng)，則產(chǎn)生的正效用值為：

如果對象o1發(fā)生移動(dòng)是負(fù)移動(dòng)，則產(chǎn)生的負(fù)效用值為：

則根據(jù)公式(15)，可以計(jì)算對象o1發(fā)生移動(dòng)效用值為：

1×0.4+(1-1)×(-0.5)=0.4>0.1

類似地，可以計(jì)算對象o2，o3和o4移動(dòng)產(chǎn)生的效用值為：

根據(jù)給出的敏感度下限，不難發(fā)現(xiàn)，僅有對象o1治略后的效用值達(dá)到?jīng)Q策者的預(yù)期，對象o2，o3和o4不能滿足決策者的預(yù)期，盡管對象o4的治略結(jié)果是收益的.

實(shí)例2.在醫(yī)療診斷中，通過對病人的病情診斷，需要將癥狀屬性相同的病人劃分到一類，然后對每一類病人分別進(jìn)行治療，即通過劃分等價(jià)類的方式來分類治療.如實(shí)例1，假設(shè)等價(jià)類[o]={o1，o2，o3，o4}，對象發(fā)生正負(fù)移動(dòng)的移動(dòng)矩陣，收益矩陣和代價(jià)矩陣均和實(shí)例1相同，即已知：

假定決策者對于效用值的敏感度下限是0.2，根據(jù)公式(20)，等價(jià)類[o]的變化量可以計(jì)算得到：

bc([o])=2+(-1)+(-2)+30=29

動(dòng)作施加后等價(jià)類[o]的初始量可以計(jì)算得到：

q([o])=3+5+5+90=103

根據(jù)公式(21)，等價(jià)類[o]的效用可以計(jì)算得到：

通過對等價(jià)類的治略，產(chǎn)生效用值為0.220>0.2，即治略的效果達(dá)到?jīng)Q策者的預(yù)期，滿足決策者的治略效果要求.

實(shí)例3.在投票選舉中，候選者通常需要通過采取一些措施來影響選民的選舉.對于選民來說，在某一時(shí)期，可以將選民集合劃分到3個(gè)區(qū)域中：支持，不確定，反對.分別用P1，P2，P3表示這3個(gè)區(qū)域.候選者通過對不同區(qū)域分別采用不同的措施來增加自己的選票.此時(shí)，3個(gè)區(qū)域滿足嚴(yán)格的偏好關(guān)系，P1?P2?P3，根據(jù)對象的移動(dòng)矩陣、收益矩陣和代價(jià)矩陣，直接給出治略后，對象在區(qū)域間移動(dòng)產(chǎn)生的代價(jià)或收益，記對象移動(dòng)產(chǎn)生的變化量為v(Pi～→Pj).當(dāng)對象移動(dòng)是正移動(dòng)時(shí)，v(Pi～→Pj)=b(Pi～→Pj)，當(dāng)對象移動(dòng)是負(fù)移動(dòng)時(shí)，v(Pi～→Pj)=c(Pi～→Pj)，表2表示在不同區(qū)域中的對象移動(dòng)變化的質(zhì)量變化.

表2 質(zhì)量變化Table 2 Change of quality

假設(shè)共有選民1000名，在某一時(shí)期，有600名支持，250名不確定，150名反對，記3個(gè)區(qū)域的質(zhì)量初始值分別是600，250，150.經(jīng)過對3個(gè)區(qū)域分別施加策略，形成新的三分區(qū)，表3表示由于移動(dòng)引起的區(qū)域變化后的各區(qū)域基數(shù)矩陣.

表3 區(qū)域基數(shù)Table 3 Cardinality of the region

此時(shí)，選民中支持的人數(shù)增加到700，不確定的人數(shù)下降到220，反對的人數(shù)下降到80.根據(jù)公式(29)和公式(30)，對于3個(gè)區(qū)域的治略方案的度量結(jié)果可以計(jì)算如下：

區(qū)域P1在相應(yīng)策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值為：

=580·1+10·(-0.5)+20·(-1)

=555>0

區(qū)域P2在相應(yīng)策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值計(jì)算如下：

bc(P2)=|P2∩P1|·1+|P2∩P2|·(-0.5)+|P2∩P3|·(-1)

=40·1+200·(-0.5)+10·(-1)

=-70<0

區(qū)域P3在相應(yīng)策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值計(jì)算如下：

=80·1+10·(-0.5)+50·(-1)

=25>0

當(dāng)決策者對3個(gè)區(qū)域的效用值敏感度下限分別為0.5，0.1和0.1時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)對于區(qū)域和區(qū)域的策略的效用值在敏感度下限之下，也就是說，單純從這兩個(gè)區(qū)域的策略效果來看，不能滿足決策者需求.

6 總結(jié)與展望

本文給出一種三支決策模型的有效性度量方法，基于比例效用函數(shù)的移動(dòng)三支決策模型效用度量，進(jìn)一步擴(kuò)充了三支決策TAO模型中效的理論研究.通過文中討論可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)治略主體(包括單個(gè)對象、劃分類、三分區(qū)域等)不同，度量方式不同，決策者對于效用值的敏感度也不同.然而文中在對于決策者的效用值的敏感度上僅僅介紹了敏感度存在下限，并未涉及對敏感度的上限討論，以及敏感度的存在用處.在今后的研究工作中對于決策者對治略效果的敏感度問題仍需要進(jìn)一步詳細(xì)討論.

三支決策理論是一類符合人類認(rèn)知的粒計(jì)算模型，“3”是一個(gè)基本的思考出發(fā)點(diǎn).在三支決策TAO模型中，T、A、O關(guān)注從3個(gè)不同的角度、3個(gè)不同的層次、3個(gè)不同的視角描述了現(xiàn)實(shí)問題解決過程的3個(gè)基本階段.當(dāng)前在三支決策理論研究中，眾多專家學(xué)者聚焦于T&A的研究，關(guān)于O的研究少之又少.然而，2018年TAO模型的提出，引發(fā)了越來越多的專家學(xué)者對“效”的研究，O逐漸出現(xiàn)在人們的視野中.本文考察一種特定三支決策模型有效性度量，從移動(dòng)三支決策的視角出發(fā)，介紹一種面向移動(dòng)三支決策模型的有效性度量方法--比例效用度量.

在未來的研究工作中，我們將進(jìn)一步研究其它情況下的三支決策有效性的度量方法，例如通過更多的度量方法來評估三支決策.當(dāng)前三支決策正處于快速發(fā)展時(shí)期，方興未艾，有許多理論和應(yīng)用都需要并且值得我們進(jìn)行深入研究和探索.