利用GeoGebra巧解高中物理力學動態(tài)平衡試題

馮金寶 王永成

動態(tài)平衡是指物體所受的力一部分是變力，力的大小和方向均要發(fā)生變化，但變化過程中物體的每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).一般是三個力的共點力平衡問題，其中重力肯定不變.為滿足平衡狀態(tài)，另外兩個力的關系是由一個力的變化引起另一個力的變化，這個力的變化有三種情況：方向不變大小變、大小不變方向變、大小和方向都變.常用正交分解、矢量三角形以及圖示法解決動態(tài)平衡問題，但是在教學中，動態(tài)平衡的“動”往往變成了“靜”，因為在板書過程中難以做到實時動態(tài)展示，而GeoGebra（后文簡稱GGb）軟件最大優(yōu)勢就是能動態(tài)展示.

一、GeoGebra軟件的特點

GGb軟件是一款程序思路清晰、幾何對象屬性較多、支持中文指令輸入的數(shù)學軟件.它功能強大，繪圖工具齊全，使用簡單，交互性強，同時具備很多軟件沒有的字母運算、微積分和統(tǒng)計概率等功能.GGb雖然是一款數(shù)學軟件，但是應用于物理教學研究也十分便利，與常用的物理教學軟件相比有很大優(yōu)勢.與“幾何畫板”相比易于實現(xiàn)3D顯示;與“NOBOOK虛擬仿真實驗”相比學生能夠清楚看到動畫顯示的底層邏輯;與“MATLAB”相比不需要使用者掌握編程語言，在滿足教學需求的基礎上，GGb軟件最大的特點就是免費開源.

一般的物理模型可以抽象成幾何對象，物理學中力、速度、加速度等矢量可以利用向量功能來表示;代數(shù)區(qū)可以與繪圖區(qū)和指令欄動態(tài)實時響應，所以GGb的交互性極強，可以制作相應的動畫，在解決力學中動態(tài)平衡問題更加得心應手.因此不論是物理模型的構建還是動畫的制作，GGb軟件在物理教學過程中有很強的適應性，目前致力于應用GGb軟件進行物理課件開發(fā)的人越來越多.

二、GeoGebra課件制作及解題過程

1.“方向不變大小變”型

（2016全國Ⅱ.14）如圖1，質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上.用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖1所示.用T表示繩OA段拉力的大小，在O點向左移動的過程中（? ）.圖1

A.F逐漸變大，T逐漸變大

B.F逐漸變大，T逐漸變小

C.F逐漸變小，T逐漸變大

D.F逐漸變小，T逐漸變小

本題主要考察受力分析、受力平衡，是“方向不變大小變”類型.以節(jié)點O為研究對象進行受力分析，點O處受到拉力F、OA繩拉力T和OB繩拉力，OB繩拉力大小為mg.首先畫出一固定點A，利用“圓心和半徑工具”以A點為圓心，一定長度為半徑畫圓c，在圓c上選取一點O，連接線段OA代表繩OA段.利用“圓心和半徑工具”以O點為圓心，一定長度為半徑畫圓d，利用垂線工具過O點做出x和y軸的垂線，圓d交x軸垂線于B、H點，連接線段OB.利用平行線工具，過H點做OA、y軸垂線的平行線，分別交于F和E點，連接線段OF和OE.利用向量工具連接OB、OF、OE，表示力的大小并設置顯示條件為標題和數(shù)值，隱藏輔助線和不需要顯示的對象與標簽，完成課件制作.如圖2所示，O點向左移動的過程中可以直觀看出F逐漸變大，T逐漸變大.

2.“大小不變方向變”型

（2020全國卷Ⅲ題17）如圖3，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處;繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連，甲、乙兩物體質量相等.系統(tǒng)平衡時，O點兩側繩與豎直方向的夾角分別為α和β.若α=70°，則β等于（? ）.

A.45° B.55° C.60° D.70°

本題主要考察受力分析、受力平衡、相似三角形，是“大小不變方向變”類型.以O點為研究對象進行受力分析，點O處受到分別靠近甲物體、乙物體、墻一側三股繩的拉力，因為甲乙兩物體質量相等，所以這兩段繩的拉力大小相等.任意畫出一點P，過P點做y軸平行線，以P為圓心將該線旋轉70°（α=70°）得到直線m.任選取一點O，以O點為圓心，一定長度為半徑畫圓d，過O點做x軸垂線，交圓d于B、H點.過O點做直線m平行線，交圓d于C點，連接線段OB、OC，過C點做OB平行線、B點做OC平行線，交于D點.做直線OD，在直線上任取一點A則為墻上固定點.∠β則為∠AOH，利用“角”工具可以直接度量出∠β=55°.

本題利用相似三角形法得到∠α+2∠β=180°的關系，通過計算求出∠β=55°，若將題目難度加大可進行以下改動：懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處;繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連.甲、乙兩物體質量相等.為使節(jié)點O緩慢向上移動，則定滑輪應（? ）移動.

A.豎直向上? B.豎直向下

C.水平向左D.水平向右

題目改編后，由于節(jié)點O與定滑輪都將運動，使得整個平衡過程更加復雜，學生因為過程復雜找不到問題的切入點，如果教師通過GeoGebra軟件演示效果會更加直觀.如圖4所示，J點為定滑輪初始位置，使節(jié)點O緩慢向上移動，可以明顯觀察到定滑輪應豎直向上或水平向左移動.

3.“大小和方向都變”型

（2021湖南題5）質量為M的凹槽靜止在水平地面上，內(nèi)壁為半圓柱面，截面如圖5所示，A為半圓的最低點，B為半圓水平直徑的端點.凹槽恰好與豎直墻面接觸，內(nèi)有一質量為m的小滑塊.用推力F推動小滑塊由A點向B點緩慢移動，力F的方向始終沿圓弧的切線方向，在此過程中所有摩擦均可忽略，下列說法正確的是（? ）.

A.推力F先增大后減小

B.凹槽對滑塊的支持力先減小后增大

C.墻面對凹槽的壓力先增大后減小

D.水平地面對凹槽的支持力先減小后增大

本題主要考察受力分析、受力平衡、牛頓第三定律與整體法和隔離法等知識點，是“大小和方向都變”的類型.解題時需要學生有很好的三角函數(shù)基礎，掌握三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，C選項會利用到三角函數(shù)的倍角公式，學生可能無法判斷出在弧AB中點處墻面對凹槽的壓力有最大值.將小滑塊抽象為質點用點M表示，地面用直線表示，墻面用矩形表示，凹槽簡化成半圓環(huán).選取固定點O（0，0），利用“定長線段”工具畫出線段BD，利用“半圓工具”以O為圓心BD為半徑畫出半圓d，利用“交點工具”畫出d與x和y軸交點A、B;利用“垂線工具”分別過B和D點作x軸垂線，在其中一條垂線上任取一個點，過該點做x軸平行線得到“地面”所在直線.左面的墻壁可以利用“多邊形工具”制作一個合適大小的矩形，對四邊形進行顏色填充，小滑塊m則為半圓d上的一個附著點.

小滑塊受重力G、推力F和凹槽支持力FN三個力作用，緩慢運動（始終保持平衡狀態(tài)），只有重力為恒力.在過M點與x軸垂線上畫出定長線段HM表示所受重力G;凹槽支持力FN受力方向始終指向圓心O，即在直線MO方向;推力F方向為半圓d在M點處的切線，過線段MH上H點做OM平行線交于J點.最后連接線段JM、MH、HJ，顯示條件為“名稱與數(shù)值”，利用向量工具表示對應的力.墻面對凹槽的壓力為N=Fcosθ，在墻面與凹槽接觸面任意選取一點L，利用直線工具做出與F力大小相等且平行的力F'.水平地面對凹槽的支持力N地，為滑塊和凹槽重力與推力F豎直方向分力的合力，在水平直線上任意選取一點S，構造出各個線段之間代數(shù)和的動態(tài)數(shù)字g，在S點處以數(shù)字g為固定長度構造定長線段，將所得線段旋轉到豎直向上方向得到新線段表示N地，最后隱藏輔助線，調(diào)整幾何對象顯示樣式.如圖6所示，小滑塊從A點運動到B點過程各個力的變化情況，整個過程推力F一直增大;凹槽對滑塊的支持力FN一直減小;墻面對凹槽的壓力F′x先增大后減小;水平地面對凹槽的支持力N地一直增大.

通過以上三個實例可以證明，GGb軟件在處理動態(tài)平衡問題時的直觀性.當前課程改革以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為目標，高考也在強化對知識與能力的考察.課件的動態(tài)顯示與常規(guī)解題方法相結合的教學模式，可以增強學生的感性認識，降低學生理解難度，解決學生在動態(tài)分析過程中困惑，突破教學難點，培養(yǎng)學生科學思維.新時代教師也應該掌握更多元的信息化教學手段，發(fā)揮教師的主導作用，在課堂上增加信息技術手段的使用頻率，利用其形象豐富的表現(xiàn)形式，吸引學生的學習興趣，充分調(diào)動學生學習的積極性，突出學生的主體學習地位，使學生學習觀念完成從“要我學”到“我要學”的蛻變.

（收稿日期：2021-07-30）