回收錐與回收函數(shù)的若干性質

史小波，徐茂楊

（重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331）

回收錐和回收函數(shù)作為凸分析中的重要研究對象，在最優(yōu)化理論中有廣泛的應用。其中，回收錐可以用來刻畫集合的有界性，而回收函數(shù)作為一種特殊的上凸近似，可以刻畫最優(yōu)化問題解集非空性等。文獻［1-2］給出了凸集和凸函數(shù)回收錐、回收函數(shù)的概念，并給出了簡單的基本性質及其應用。1990 年，黃學祥［3］針對非凸集合和非凸函數(shù)給出了廣義回收錐和廣義回收函數(shù)，推廣了已有的性質。近年來，一些學者進一步研究回收錐和回收函數(shù)的等價刻畫及其性質，并將結果應用到最優(yōu)化問題中，刻畫了最優(yōu)解集的非空性。本文以文獻［1-2］中回收錐和回收函數(shù)的性質作為理論基礎，在文獻［4-5］回收錐和回收函數(shù)的相關性質下，針對回收錐和回收函數(shù)作了進一步的研究。

1 預備知識

設Rn為n 維歐幾里得空間，d∈Rn，C?Rn，若對于任意的x∈C，d≥0，有

則稱d 為C 的一個回收方向。所有回收方向的全體稱為C 的回收錐，記為Rc，即

設f：Rn→R∪｛+∞｝，且dom f=?，epi f=｛（x，α）∈Rn×R，f（x）≤α｝為凸集。若（y，v）∈O+（epi f），則由回收錐定義有

即

若存在一個函數(shù)g 滿足

稱g 為f 的回收函數(shù)，記作rf。

由定義，文獻［1］又給出了回收函數(shù)如下的等價定義，即

為了研究回收錐和回收函數(shù)的性質，引進如下概念。

定義1［1］設函數(shù)f：Rn→R∪｛+∞｝，如果對于任意的x，有：

（i）f（λx）=λ（fx），則稱函數(shù)f 具有正齊次性；

（ii）f（x+y）≤f（x）+f（y），則稱函數(shù)f 具有次可加性。

定義2［6］函數(shù)f：Rn→R∪｛+∞｝，如果對于任意的λ∈（0，1］，有：

（i）f（λx）≤λf（x），則f 稱為radiant 函數(shù)（一類特殊的抽象凸函數(shù)）；

（ii）f（λx）≥λf（x），則f 稱為co-radiant函數(shù)（一類特殊的抽象凹函數(shù)）。

定義3［7］一個集合E?Rn被稱為是近似凸的，如果存在一個集合C?Rn，使得

文獻［1，8］給出了回收錐的如下性質。

引理1［1］設線性變換A：Rn→Rm以及Rm中的閉凸集C，且滿足A-1C≠?，則

引理2［8］設C?Rn為一非空凸集，則

實際上，對于任意給定的x∈riC，有

2 回收錐和回收函數(shù)的性質

首先，我們考慮回收函數(shù)和廣義回收函數(shù)的正齊次性、次可加性和抽象凸性。

定理1設f：Rn→R∪｛+∞｝為線性泛函，則對于任意的λ＞0，有

即rf為正齊次函數(shù)。

證明任取λ＞0，則

由于f 為線性泛函，故f（λx+λy）-f（λy）=λf（x+y）-λf（y），則有

從而結論成立。

定理2設f：Rn→R∪｛+∞｝為線性泛函，則對于任意的y∈dom f，有

證明任取x，y∈dom f，則由等價定義可知，rf（x+y）=sup｛f（z+x+y）-f（z），z∈dom f｝，由于f 為線性泛函，故f（2z+x+y）=f（z+x）+f（z+y），則有

從而結論成立。

文獻［3］給出如下廣義回收函數(shù)的概念。

定義4［3］設函數(shù)f：Rn→R∪｛+∞｝為有限函數(shù)，f 的廣義回收函數(shù)fO+是由f 的上圖epi f 的廣義回收錐產(chǎn)生的函數(shù)，即

與定理1 和定理2 的證明類似可建立如下性質。

定理3設函數(shù)f：Rn→R∪｛+∞｝為有限函數(shù)，則

證明對于任意x∈Rn，（x，v）∈

定理1中線性條件必不可少。

例如：f 為radiant 函數(shù)，不能得出rf（λx）≤λrf（x）。即存在y∈R，使得

例1 y=x2。

證明任取λ∈（0，1］，f（λx）=（λx）2=λ2x2≤λx2=λf（x），則f（x）為radiant 函數(shù)。

例如：f 為co-radiant 函數(shù)，即存在y∈R，使得

定理4凸集C?Rn，線性變換A：Rn→Rm，有

證明對于任意y∈A（O+C），存在z∈O+C，使得y=Az，而z∈O+C，說明對于任意x∈C 和λ＞0，x+λz∈C。于是有Ax+λAz=Ax+λy∈AC，得出y∈O+（AC）。

反包含不一定成立，因為線性變換不一定可逆，所以Ax+λAz∈AC 不能得出x+λz∈C。

例3

即O+（AC）?A（O+C）。

定理5設C?Rn為一非空近似凸集，則

證明C 為近似凸集，則riC，clC 為凸集，對任意給定的x∈riC，有

則結論成立。

例如：當

即O+（riC）=O+（clC）。

3 結語

本文研究了回收錐和回收函數(shù)的一些性質，在文獻［5］回收錐和文獻［4］回收函數(shù)的相關性質下，針對回收錐和回收函數(shù)作了進一步的研究，首先，得出了在線性條件下回收函數(shù)滿足正齊次性和次可加性，并通過例子說明若函數(shù)不具備線性條件，函數(shù)的回收函數(shù)是不滿足正齊次性的；其次，得出了回收錐在線性變換中，不存在相互包含的關系，并通過例子說明了其合理性；最后，得出若將定理中的凸性條件弱化為近似凸，其相對內部的回收錐和閉包的回收錐仍然相等的性質。