基于SOLO分類理論的“一題一課”教學設計與實踐*

□鮑善軍 朱曙光

數學教育家米山國藏曾說過：“學生們所學到的數學知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用……然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用?！苯虒W中，這些相關的數學精神和思想方法是否真正得到落實，本質上是學生對數學學習的深度理解及數學思維水平進階的具體反映。

依據SOLO分類理論，根據可觀察的學習結果，可以將學生數學學習的思維層次劃分如下（如圖1）。

圖1

實踐表明，“一題一課”的教學有助于促進學生的思維由低向高逐步進階。所謂“一題一課”，是指通過對一個主題或一組習題的深入研究，科學、合理、有序地組織學生展開相關的數學探究活動。借助這“一題”，促進學生對知識之間關聯性的理解，實現學一題、透一點、通一類、達一片的教學目標?！耙活}一課”系統(tǒng)性地通過多維構建、思維轉換，促使學生的思維由“單點結構”走向“多點結構”水平；通過一題多解、化隱為顯，促使學生的思維從“多點結構”邁向“關聯結構”水平；通過橫向拓寬、縱向深入，促使學生的思維由“關聯結構”躍至“抽象擴展”水平。教學中，引領學生一次次感悟提升，逐步發(fā)展高階思維水平，促進數學核心素養(yǎng)的自然生長。

一、路徑整合：思維水平由“單點結構”走向“多點結構”

在問題解決過程中，停留在前結構、單點結構思維水平的學生想要“跳一跳”達到多點結構思維水平，需要找到多個解決問題的思路。引導學生從不同的角度思考問題，借助直觀認識事物之間的共同屬性和聯系，可以讓學生的理解由單點結構水平提升至多點結構水平。

（一）多維構建，探尋路徑

教學中，教師應調動學生的主觀能動性，放手讓學生自主進行互動式的探究，探尋多種解決問題的途徑，并適時引導學生將這些解題思路進行整合，促其達成自主構建的方式，有助于學生的思維由“單點結構”水平提升為“多點結構”水平。

【案例1】奇妙的三角形：如圖2，兩條虛線互相平行。你能找出面積相等的三角形嗎？你還能畫出和它們面積相等的三角形嗎？

圖2

（1）任務一：以BC為底，畫出與△ABC面積相等的三角形，建構多樣三角形。

建構：畫出與△ABC面積相等的三角形。

討論：畫出的三角形是否面積都相等？怎么畫面積相等的三角形比較方便？

小結：同底等高的三角形面積相等，且有無數個。

（2）任務二：畫出與這兩個三角形面積之和相等的一個大三角形，深化方法應用。

交流：你是怎么想的？

展示：全班交流想法（如圖3）。

圖3

比較：這三種方法有什么異同？

小結：底邊固定，左右移動頂點，頂點重合。

（3）任務三：求陰影部分的面積，強化等積變形。

遷移：將三角形的頂點重合在一起，轉化成與它們面積之和相等的一個大三角形（如圖4）。

圖4

拓展：如圖5，將三角形②的右上頂點往下拉，三角形①和②轉化成高為3cm，底為12cm的三角形。

圖5

關聯：我們是怎么解決問題的？這兩題的解決方法有什么共同之處？

本案例通過一組習題，引導學生深入理解等積變形，由此找到解決問題的多種思路，繼而完成對思路的整合，在多維建構和關聯溝通中，學生的思維從“單點結構”水平提升為“多點結構”水平。

（二）思維轉換，優(yōu)化路徑

當學生的思維遇到障礙停滯不前時，引導學生從另一個角度剖析問題，突破思維定式，探索問題本質，優(yōu)化解決問題的路徑，同樣也可以促進學生的思維從“單點結構”水平提升為“多點結構”水平。

【案例2】怎么算積最大：用2、3、4、5這四個數字組成□□×□□，要使乘積最大，你認為是哪兩個數字組合？

（1）轉變思維，從“精算”到“簡算”。

交流：共有多少種算式的組合方式？哪些算式容易判斷積的大小，哪些不容易判斷？

比較：53×42和52×43的大小。

反饋：將它們都算出來。

追問：還有更簡單的比較方法嗎？

明理：如圖6，53×42＝52×42+42，52×43＝52×42+52，42＜52，所以53×42＜52×43。

圖6

（2）路徑優(yōu)化，由“形”通“數”。

提示：①想一想：聯想所學知識；②畫一畫：與圖形相結合；③算一算：看圖形列算式。

優(yōu)化：利用圖形明晰計算結構，再根據圖形列出算式。

此題融入了排列組合、分類、算理理解等多項內容。比較53×42和52×43積的大小時，教師引導學生從數形結合和拆分計算兩條不同路徑理解兩個算式的差異，再進行比較。這個過程中，學生能夠主動轉換角度來思考和解決問題，他們通過調動多種知識聯動解決問題，達到對算式意義的深度理解，思維在轉換中實現了進階。

二、關聯溝通：思維水平由“多點結構”邁向“關聯結構”

處于多點結構思維水平的學生，能找到解決問題的多種途徑，卻找不到方法之間的關聯。要使思維從多點結構水平逐步邁向關聯結構水平，可以進行如下嘗試：一是從多種方法中抽象出解題模型；二是對解題方法進行結構性的一一對應和深度關聯，實現方法的融通和歸一，提高解決問題的能力。

（一）一題多解，模型構建

對于綜合性的問題，可放手讓學生自主探究，探尋多種解決問題的策略。教師只需引導學生對這些方法進行關聯和概括即可，學生會發(fā)現這些方法的共同特征，構建解題的模型。

【案例3】長方體和正方體體積計算練習：計算立體圖形的體積（如圖7）。

圖7

（1）計算圖形體積。

呈現：一個“L”形平面圖形（圖7的底面）。

想象：將這個“L”形多邊形向上平移6厘米掃過的區(qū)域是一個什么圖形？

計算：這個立體圖形的體積是多少？你能用不同的方法解決嗎？

交流：相互交流，理解并判斷同伴的方法。

（2）關聯計算方法。

展示：方法匯總，厘清思路（如圖8）。

圖8

溝通：這些方法有什么相同之處？（6表示圖形的高，前面的算式都表示圖形的底面積）

完善：立體圖形體積的計算其實就是“底面積×高”。

（3）建立柱體模型。

設疑：可以把這個立體圖形的前面（長方形）當成底面,用“底面積×高”求它的體積嗎？為什么？

釋疑：底面應該相對且大小形狀相等，把這個長方形當底面，向后平移后底面不一樣了。

以上案例，教師在一道題目的不斷變化中，引導學生逐步將解題規(guī)律模型化，主動架構柱體體積算理和算法之間的橋梁，加深學生對柱體概念本質的理解，強化對于柱體體積計算方法的記憶。學生在多種算法的整合中，思維水平也從“多點結構”進階為“關聯結構”。

（二）化隱為顯，多元歸一

有些問題雖然有多種解決的方法，但方法呈現的形式卻大相徑庭，如果細究就會發(fā)現其表示的含義毫無二致。此時，教師需引導學生對這些方法進行結構性的關聯和比對，促進其對解題方法和問題意義的通透理解，達到融會貫通的效果。

【案例4】雞兔同籠：籠子里有若干只雞和兔，一共8個頭，22條腿。雞和兔各有幾只？

（1）問題梳理，發(fā)現隱含信息。

提問：我們已經知道了哪些數學信息？求怎樣的數學問題？

梳理：雞兔一共有8只，腿一共有22條。雞有2條腿，兔有4條腿（隱含）。求的是雞和兔各有幾只。

（2）方法呈現，顯化隱含算式。

要求：①想一想：獨立思考，用合適的方法解決問題；②說一說：小組間交流想法；③記一記：記錄問題研究的過程。

呈現：列表法（從頭開始枚舉、從尾開始枚舉、從中間開始枚舉）、畫圖法（先全部畫成雞、先全部畫成兔）。

抽象：用算式表示畫圖的過程。

（3）本質關聯，實現方法融通。

思考：這些方法之間有什么聯系嗎？

溝通：圖中每多兩條腿，就是列表中雞少1只，兔多1只。而算式則是畫圖的抽象表示，這三種方法表達的意思相同，只是表現的形式不同（如圖9）。

圖9

小結：所有的方法都需要先假設后調整。

借助一道雞兔同籠問題，教師逐步引導學生理解畫圖是對列表的直觀呈現，假設是對畫圖的抽象概括，畫圖是從列表走向假設的橋梁。借助三種方法的探究與溝通，促進學生對解題方法的深度思考和理解，將這些方法融會貫通，在實現思維可視化的同時，思維水平也得到了進階。

三、拓展延伸：思維水平由“關聯結構”躍升至“抽象擴展”

鄭毓信教授指出：“數學核心素養(yǎng)的基本含義就在于：我們應當通過數學教學幫助學生學會思維，并能使他們逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”若要引導學生思維從關聯結構水平躍升至抽象拓展水平，教師需要對習題內容不斷地進行挖掘和拓展，以發(fā)展學生的思維，開拓學生的視野。

（一）橫向拓寬，本質遷移

對原型問題探究完全時，教師還需引導學生進行聯想，促其思維橫向蔓延，將研究的方法和經驗遷移到對其他同類型事物的應用中，培養(yǎng)學生觸類旁通和舉一反三的意識和能力。

【案例5】怎么圍面積大：用24米長的線段，圍成一個長方形，怎么圍才能使長方形的面積最大呢？（長、寬取整米數）

大部分學生能猜測出圍成正方形的面積最大，也能夠通過有序的枚舉計算驗證，但是學習不能到此為止，教師應拓展學生的思維，幫助學生遷移類推，讓思維水平再提升一層。

在學生發(fā)現“周長一定，長寬越接近，面積越大”“正方形的面積最大”的規(guī)律之后，教師繼續(xù)追問：“還能圍成比正方形面積更大的圖形嗎？”激發(fā)學生的活動經驗，進行猜測：正五邊形、正六邊形、正八邊形……圓等圖形的面積可能會更大。教師繼續(xù)引導：“用什么辦法證明呢？”提供工具讓學生探索驗證，并用微課深化認知。最終得到結論：周長一定，邊數越多，正多邊形的面積越大，圓的面積最大。

數學是一門研究關系的學科。教學中順著長方形的面積變化引導思維延伸到其他平面圖形中去，將研究的層次提升到另一種高度，拓寬學生的思維，建構平面圖形面積的整體結構。

（二）縱向深入，通透拓展

原型問題解決之后，教師還要有意識地順著問題背后的知識線索，引導學生不斷地向縱深挖掘，從這個問題延伸到其他的問題，并對這個問題再次進行深入探索，將涉及的知識點串聯成線。

【案例6】圓柱體積的再認識：用4個面積都是36dm2的長方形（如圖10）分別卷成圓柱，哪個圓柱的體積最??？哪個最大？你有什么發(fā)現？為什么？

圖10

教師以此問題作為知識基點，進行圓柱側面積和體積的復習。學生經歷猜想、計算、觀察、探索等過程，發(fā)現在側面積相等的情況下，圓柱體積的變化規(guī)律并理解其原理（如圖11）。

圖11

這是一個基于實踐的規(guī)律探索和經驗積累的過程，其目標指向于知識脈絡的通融而非問題解決。在此基礎之上，教師可再一次追根深問：面積不變，如果卷成的圓柱體積逐漸變大，長方形的長和寬會怎樣變化？

在想象和思辨的過程中，慢慢溝通圓柱側面積和體積之間的聯系，學生認知從特殊走向一般，知識結構從零散走向整體，問題理解從關聯走向通透。毫無疑問，由此必將促使學生的學習不斷走向深處，思維水平逐步走向高階。

基于SOLO分類理論的“一題一課”教學設計與實踐，可以促使學生在“一課”中深入探究“一題”，積累數學活動經驗和思維經驗，架構知識整體結構。學生在數學學習過程中往往“屢屢碰壁”，而又始終“樂此不?！?。實踐表明，推進“一題一課·高階導向”主題教研，通過“一題一課”發(fā)展學生高階思維水平，是促進學生核心素養(yǎng)真正提升的有效方式。