基于Taguchi 方法的三相混合式步進(jìn)電機(jī)電磁結(jié)構(gòu)優(yōu)化

方玲利，肖龍飛，畢 超

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,上海 200093)

混合式步進(jìn)電機(jī)(Hybrid Stepping Motor，HSM)誕生于20世紀(jì)70年代，其具有高分辨率和高轉(zhuǎn)矩密度，可實(shí)現(xiàn)開(kāi)環(huán)控制，且無(wú)累計(jì)步距誤差，被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，例如各種辦公自動(dòng)化設(shè)備及數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)等[1]。市場(chǎng)上現(xiàn)有的混合式步進(jìn)電機(jī)按其定子繞組數(shù)目可分為兩相、三相和五相。其中兩相混合式步進(jìn)電機(jī)(2P-HSM)占據(jù)了大部分的市場(chǎng)份額[2-3]。究其原因，主要有兩點(diǎn)：(1)歷史因素。自第一臺(tái)2P-HSM問(wèn)世以來(lái)，為搶占市場(chǎng)份額，研究人員把精力集中在2P-HSM的設(shè)計(jì)和控制上。相較于其它HSM，2P-HSM的電機(jī)本體優(yōu)化及驅(qū)動(dòng)控制技術(shù)最為成熟；(2)相對(duì)2P-HSM，其他混合式步進(jìn)電機(jī)的電磁結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，涉及的電磁分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)難度更高，耗時(shí)也更長(zhǎng)。

理論上，相對(duì)于2P-HSM，三相混合式步進(jìn)電機(jī)(3P-HSM)整體性能更為優(yōu)越，主要表現(xiàn)在：(1)定位精度更高；(2)振動(dòng)和噪音更?。?3)控制成本更低等[4]。因此，從長(zhǎng)期應(yīng)用及效益來(lái)看，3P-HSM有更好的發(fā)展空間，對(duì)3P-HSM的電磁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

3P-HSM最重要的組成部分是齒層結(jié)構(gòu)，HSM產(chǎn)生和機(jī)電能量轉(zhuǎn)換均基于定轉(zhuǎn)子的齒槽效應(yīng)[1,5]。因此，選擇最佳的齒層幾何形狀是設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程中的首要任務(wù)。在過(guò)去的幾十年中，眾多學(xué)者對(duì)于HSM的齒部形狀提出了各種不同的觀點(diǎn)，例如矩形、三角、梯形和圓形等[6-8]。本文基于3P-HSM內(nèi)部電磁現(xiàn)象，對(duì)齒形進(jìn)行重新分析，發(fā)現(xiàn)梯形齒對(duì)氣隙磁密的影響程度更大，且包含更多的形狀參數(shù)，更適用于電機(jī)電磁結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

對(duì)齒形形狀優(yōu)化的困難之處在于，HSM為雙凸極磁層結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子表面多齒，初始模型的小齒數(shù)達(dá)50個(gè)，且需考慮到轉(zhuǎn)子雙向(軸向和徑向)勵(lì)磁原理，因此電磁結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜。針對(duì)3P-HSM復(fù)雜的工作原理，簡(jiǎn)化的線(xiàn)性模型及等效磁路法等都無(wú)法做到精確計(jì)算[4-11]，必須采用3D磁場(chǎng)的數(shù)值分析手段對(duì)其進(jìn)行磁場(chǎng)分析。該方法借助麥克斯威爾方程組和變分原理，將復(fù)雜的電磁場(chǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能量泛函求極值問(wèn)題，即多維代數(shù)方程組的求解[10]。本文采用3D有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)對(duì)3P-HSM進(jìn)行實(shí)體建模及仿真。利用試驗(yàn)有限元方法得到電機(jī)的磁場(chǎng)信息后，在計(jì)算過(guò)程的后處理部分對(duì)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩進(jìn)行計(jì)算。

3D-FEM精度高，但計(jì)算量非常大，這使得許多全局優(yōu)化方法，例如傳遺傳算法，粒子群算法等，獲取目標(biāo)樣本的時(shí)間變長(zhǎng)，無(wú)法估計(jì)所需投入的時(shí)間成本[12-14]。Taguchi算法通過(guò)局部?jī)?yōu)化，能在最少的試驗(yàn)次數(shù)內(nèi)(即構(gòu)建最少的有限元模型)利用離散數(shù)據(jù)找到最佳組合，大幅度削減了時(shí)間成本。

本文將Taguchi優(yōu)化算法與3D有限元模型相結(jié)合，對(duì)市場(chǎng)上某款3P-HSM進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)優(yōu)化該款3P-HSM齒形結(jié)構(gòu)提高電機(jī)產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩的能力，從而改善電機(jī)的性能。最后，對(duì)比樣機(jī)測(cè)試結(jié)果證明了該優(yōu)化方法的高效和正確性。原始樣機(jī)(Initial 3P-HSM)的初始結(jié)構(gòu)如圖1所示，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 3P-HSM的部分參數(shù)Table 1. Parameters of 3P-HSM

1 3P-HSM的有限元模型

3P-HSM作為典型的三維高度飽和非線(xiàn)性系統(tǒng)，必須采用3D磁場(chǎng)的分析手段，即有限元法(Finite Element Method,FEM)。FEM是目前場(chǎng)量計(jì)算方法中精確最高，適用性最強(qiáng)的一種數(shù)值方法，被廣泛應(yīng)用于電機(jī)電磁場(chǎng)的計(jì)算分析[1]。為了獲取更為精準(zhǔn)的矩角特性，本文借助FEM，建立3P-HSM的3D有限元模型，如圖2所示。通過(guò)合理配置仿真環(huán)境，仿真計(jì)算3P-HSM的轉(zhuǎn)矩。核心計(jì)算式為

(1)

(a)

(a)

式中，W(θ,i)是磁共能；i為電樞繞組電流。

對(duì)于混合式步進(jìn)電機(jī)，設(shè)計(jì)中最為關(guān)鍵的步驟為設(shè)計(jì)齒層區(qū)域 ，即定子和轉(zhuǎn)子的齒形及電機(jī)的氣隙，其影響著電機(jī)性能。在過(guò)去的幾十年中，研究人員對(duì)步進(jìn)電機(jī)的齒形提出了不同的設(shè)計(jì)[7]。其中，圖3所示的矩形齒獲得了最高的市場(chǎng)認(rèn)可度。然而，實(shí)際經(jīng)驗(yàn)及研究結(jié)果表明，圖4所示的梯形齒相比于矩形齒更好，這是因?yàn)閳D4所示的形狀系數(shù)更大，對(duì)氣隙滲透性的影響大，更適于后期優(yōu)化。本文為獲取更佳的優(yōu)化成果，以梯形齒的形狀系數(shù)作為核心優(yōu)化對(duì)象。此外，為了規(guī)避3D-FEM計(jì)算量大且時(shí)間成本高的缺點(diǎn)，本文引進(jìn)了Taguchi優(yōu)化算法，通過(guò)高效利用離散數(shù)據(jù)來(lái)提高優(yōu)化效率。

圖3 HSM的矩形齒形結(jié)構(gòu)Figure 3.Rectangular tooth structure of HSM

圖4 HSM的梯形齒形結(jié)構(gòu)Figure 4.Trapezoidal tooth structure of HSM

2 3P-HSM的齒形優(yōu)化

為了提高3P-HSM的轉(zhuǎn)矩性能，本文在現(xiàn)有3D-FEM的基礎(chǔ)上，結(jié)合Taguchi優(yōu)化算法，優(yōu)化電機(jī)齒形結(jié)構(gòu)，以改善步進(jìn)電機(jī)的矩角特性。

2.1 Taguchi優(yōu)化方法

Taguchi優(yōu)化方法由日本質(zhì)量管理專(zhuān)家田口玄提出，是目前日本工業(yè)界提升品質(zhì)的最佳方法之一。作為一種局部?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)方法，Taguchi優(yōu)化算法擅長(zhǎng)使用離散結(jié)果來(lái)探索最佳點(diǎn)，即通過(guò)最少的試驗(yàn)次數(shù)得到最佳優(yōu)化組合，已被廣泛用于國(guó)防、化工和電機(jī)分析等場(chǎng)合[11]。

該方法的主要流程如圖5所示，其中Taguchi正交表與信噪比是Taguchi優(yōu)化算法的兩大核心工具。前者通過(guò)設(shè)計(jì)具有代表性的試驗(yàn)有效降低實(shí)驗(yàn)或仿真所需次數(shù)，大幅度削減時(shí)間成本，提高了效率；后者則篩選最佳參數(shù)水平組合，指引進(jìn)一步優(yōu)化方向的重要指標(biāo)[15-18]。

圖5 Taguchi優(yōu)化流程圖Figure 5.The flowchart of Taguchi optimization method

本文將3P-HSM的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為轉(zhuǎn)矩峰值最大化(Torque-max)，即

Torque-max=max(Tpeak)

(2)

式中，Tpeak為矩角特性的峰值轉(zhuǎn)矩。

在Taguchi優(yōu)化方法中，信噪比的計(jì)算涉及以下計(jì)算式

(3)

(4)

(5)

式中，n是每個(gè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)；yi是第i次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果；y和s分別代表目標(biāo)函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。

針對(duì)Torque-max這一優(yōu)化目標(biāo)，本文采用式(4)進(jìn)行信噪比的計(jì)算。此外，本文利用式(5)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)THD-min進(jìn)行計(jì)算。以上兩個(gè)目標(biāo)的信噪比值均越大越好。

2.2 Torque-max的實(shí)現(xiàn)

矩角特性的幅值，即最大靜轉(zhuǎn)矩，是評(píng)價(jià)混合式步進(jìn)電機(jī)性能的重要指標(biāo)之一[1]。為了實(shí)現(xiàn)峰值轉(zhuǎn)矩最大化目標(biāo)，基于Taguchi優(yōu)化過(guò)程及梯形齒形結(jié)構(gòu)參數(shù)，本次優(yōu)化方案構(gòu)建了4因子3水平正交實(shí)驗(yàn)表。具體的齒形優(yōu)化參量如表2所示，正交實(shí)驗(yàn)表如表3所示。

表2 轉(zhuǎn)矩峰值最大化齒形優(yōu)化參量Table 2.Torque peak maximization tooth profile optimization parameters

表3 正交實(shí)驗(yàn)表Table 3. The orthogonal experiment table

圖6為齒形結(jié)構(gòu)因子的主效應(yīng)圖。由圖可知，A因子對(duì)于轉(zhuǎn)矩峰值的影響最大，B和D因子居中，C因子于轉(zhuǎn)矩的作用十分微弱。根據(jù)信噪比均值可判斷最佳因子水平組合為A1B1C1D1。鑒于目前電機(jī)制造工藝的限制，本文不進(jìn)行下一階段優(yōu)化，即確定該水平組合為樣機(jī)的最終優(yōu)化結(jié)果，其具體齒形見(jiàn)章節(jié)3中圖9(c)和圖9(d)。

圖6 齒層結(jié)構(gòu)因子的主效應(yīng)圖Figure 6.The main effect diagram of tooth structure factor

圖7所示為初始3P-HSM(Initial 3P-HSM )和Torque-max 3P-HSM的矩角特性對(duì)比圖(仿真結(jié)果)?？梢?jiàn)，相比于初始3P-HSM，Torque-max 3P-HSM的轉(zhuǎn)矩幅值有明顯提高。

圖7 原型機(jī)和轉(zhuǎn)矩峰值最大化樣機(jī)的矩角特性曲線(xiàn)Figure 7.Torque angle characteristic curve of prototype and torque peak maximization prototype

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

試驗(yàn)樣機(jī)如圖8所示。原型機(jī)的實(shí)際齒形結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖9(a)和圖9(b)。優(yōu)化后的Torque-max 3P-HSM樣機(jī)齒層結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖9(c)和圖9(d)。

圖8 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Figure 8.The experimental prototypes for HSMs

(a)

搭建實(shí)驗(yàn)所用轉(zhuǎn)矩測(cè)試平臺(tái)，如圖10所示。合理配置控制參數(shù)，通過(guò)細(xì)分控制結(jié)合齒輪箱變速，使得被測(cè)電機(jī)以極低速旋轉(zhuǎn)1個(gè)齒距，并配合11位的光電編碼器和高采樣頻率的轉(zhuǎn)矩傳感器，同步輸出轉(zhuǎn)矩及角度信號(hào)，據(jù)此來(lái)獲取三相混合式步進(jìn)電機(jī)的矩角特性曲線(xiàn)。

圖10 轉(zhuǎn)矩測(cè)試平臺(tái)Figure 10.The testing platform of the torque-angle characteristic

對(duì)圖8所示的兩個(gè)測(cè)試樣機(jī)進(jìn)行靜轉(zhuǎn)矩測(cè)試，實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如圖11所示。由于受諧波影響，電機(jī)矩角特性曲線(xiàn)并非正弦，且受二次諧波影響較大。表4表明兩臺(tái)樣機(jī)轉(zhuǎn)矩峰值的仿真與試驗(yàn)結(jié)果十分接近。需要注意的是，有限元仿真更為復(fù)雜的梯形齒層結(jié)構(gòu)時(shí)，因網(wǎng)格剖分精度的問(wèn)題，有限元的實(shí)際計(jì)算結(jié)果會(huì)有所偏差，導(dǎo)致有限元計(jì)算結(jié)果小于測(cè)試結(jié)果(這點(diǎn)與實(shí)現(xiàn) “THD-min”后樣機(jī)數(shù)據(jù)現(xiàn)象一致)，但趨勢(shì)和優(yōu)化方向是正確的，證明了本文建立的有限元仿真模型的準(zhǔn)確性。對(duì)比數(shù)據(jù)結(jié)果，樣機(jī)Torque-max 3P-HSM的峰值轉(zhuǎn)矩比原型機(jī)初始3P-HSM提高了近25%，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)矩峰值最大化的優(yōu)化目標(biāo)。

圖11 樣機(jī)矩角特性的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果Figure 11.The testing results of torque-angle characteristic of the prototype

表4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的對(duì)比Table 4. The comparison between simulation results and testing results

4 結(jié)束語(yǔ)

基于對(duì)三相混合式步進(jìn)電機(jī)的優(yōu)化研究，本文提出以梯形齒形狀參數(shù)作為優(yōu)化對(duì)象，通過(guò)結(jié)合3D有限元模型與Taguchi優(yōu)化算法進(jìn)行電機(jī)電磁結(jié)構(gòu)優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)更高的轉(zhuǎn)矩輸出。兩臺(tái)樣機(jī)的仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，通過(guò)電機(jī)齒形結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，混合式步進(jìn)電機(jī)的性能得到了明顯提高。與原型機(jī)Initial 3P-HSM相比，轉(zhuǎn)矩最大化樣機(jī)Torque-max 3P-HSM的轉(zhuǎn)矩峰值提高了近25%。本文結(jié)果證實(shí)，基于3D有限元模型，借助Taguchi方法獲取最佳梯形齒形是優(yōu)化混合式步進(jìn)電機(jī)的有效手段。該優(yōu)化方案也適用于其它電磁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。