關于最值問題與經(jīng)濟類專業(yè)結合的教學設計

賴新興

(江西理工大學 理學院，江西 贛州 341000)

高等數(shù)學是高等院校的公共數(shù)學基礎課程之一，也是后續(xù)專業(yè)課程的一門必備工具課程。在高等數(shù)學的教學過程中如何有效地與專業(yè)課程結合起來，明確學生學習的目的，激發(fā)學生學習的興趣，調動學生學習的主動性，是高等數(shù)學教學改革的方向之一。

1 最值問題與經(jīng)濟類專業(yè)結合的教學設計

最值問題是高等數(shù)學中重要的教學內容，以經(jīng)濟類專業(yè)為例，提供教學設計思路，融入經(jīng)濟類專業(yè)特色，給出教學設計的具體過程，對高等數(shù)學教學與專業(yè)結合方面起到拋磚引玉的作用。

1.1 創(chuàng)設情境，提出問題

在經(jīng)濟類專業(yè)中，常常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多”“用料最省”“成本最低”“利潤最大”等問題，這類問題在數(shù)學上有時歸納為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最值問題，最值問題包括最大值問題和最小值問題[1]。結合經(jīng)濟類專業(yè)創(chuàng)設情境，引入問題，引例取自學生所在專業(yè)中涉及的問題，讓學生體會到學習高等數(shù)學是有用的，培養(yǎng)學生用數(shù)學方法解決專業(yè)問題的能力。引導學生思考下面的引例，

已知條件：[1]假設某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是 C（x）＝x3－6x2＋15x，售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是 r（x）＝9x。

老師提問1：是否存在一個能取得最大利潤的生產(chǎn)水平？

老師提問2：如果存在的話，如何找出這個生產(chǎn)水平？

【設計思想】引例問題緊扣專業(yè)特色，經(jīng)濟類專業(yè)學生對經(jīng)濟類問題存在濃厚的求知欲，引導學生發(fā)現(xiàn)問題，激發(fā)學生主動探索解決實際問題的方法。

1.2 師生互動，探究問題

以上問題是經(jīng)濟類專業(yè)中比較常見的“利潤最大”問題，引導學生從專業(yè)問題中挖掘出數(shù)學模型，其實就是最值問題，為了解決這類問題，我們需要討論

問題：函數(shù)在一定條件下如何求解最大值和最小值？

【設計思想】引導學生在專業(yè)實際問題中尋找數(shù)學模型，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力，訓練學生用數(shù)學方法解決專業(yè)中碰到的問題。

假定滿足條件：函數(shù) f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內除有限個點外可導，且至多有有限個駐點。積極鼓勵學生思考為什么要假設滿足這些條件。

引導學生思考以下兩個問題：

問題1：最大值和最小值是否存在？

引導學生回顧閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質可知，f（x）在閉區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值一定存在。

問題2：如果存在，在哪里取到最大值和最小值？

引導學生分兩種情況思考最大值和最小值取得之處，

（1）第一種情況在區(qū)間端點處取得；

（2）第二種情況在開區(qū)間[a,b]內的點x0處取得，那么，按 f（x）在開區(qū)間(a,b)內除有限個點外可導且至多有有限個駐點的假定，可知f（x0）一定也是 f（x）的極大值（或極小值），從而 x0一定是 f（x）的駐點或不可導點。

【設計思想】引導學生掌握解決實際問題的方法，首先從實際問題中抽象出數(shù)學問題，利用數(shù)學知識解決實際問題，讓學生體會到數(shù)學的價值性，從中感受學習數(shù)學的愉悅感。

根據(jù)以上討論的情況，我們可用如下方法求f（x）在[a,b]上的最大值和最小值。

（1）求出 f（x）在(a,b)內的駐點或不可導點；

（2）計算 f（x）在上述駐點、不可導點處的函數(shù)值及 f（a），f（b）；

（3）比較（2）中諸值得大小，其中最大的便是f（x）在[a,b]上的最大值，最小的便是 f（x）在[a,b]上的最小值。

【設計思想】經(jīng)過苦思冥想之后，通過自己的艱辛努力，問題終于得以解決，讓學生感受到成功的喜悅，學習數(shù)學的信心倍增，進而激發(fā)學習數(shù)學的興趣。

1.3 類比聯(lián)想，解決問題

利用以上一般情況求解最大值和最小值的方法，引導學生類比聯(lián)想，解決引例問題。[1]售出千件產(chǎn)品的利潤是

如果 p（x）取得最大值，那么它一定在使得 p＇（x）=0的生產(chǎn)水平處獲得。因此，令

故在 x2＝3.414處達到最大利潤， 而在 x1＝0.586處發(fā)生局部最大虧損。

【設計思想】把前面提出的問題一一解決，解除學生心中的疑問，讓學生理清思路，引導學生進一步深入思考。

在經(jīng)濟學中，稱 C＇（x）為邊際成本，r＇（x）為邊際收入，p＇（x）為邊際利潤。上述結果表明：在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上，r＇（x）＝C＇（x），即邊際收入等于邊際成本。上面的結果也可以從圖1的成本曲線和收入曲線中看出。

圖1

【設計思想】在學習過程中介紹經(jīng)濟類專業(yè)中涉及到的概念，讓學生在學習過程中潛移默化地接受新知識。

1.4 討論交流，舉一反三

和學生一起討論以上解決問題的方法，鼓勵學生之間互相交流，并且通過設計專業(yè)的實際例子和學生舉一反三。

舉一反三[1]一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租。當月租金定位4000元時，公寓會全部租出去。當月租金每增加200元時，就會多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花費400元的維修費。試問房租定為多少可獲得最大收入？

引導學生根據(jù)實際問題先進行假設，設每套月房租為元，則租不出去的房子套數(shù)為

租出去的套數(shù)為

租出的每套房子獲利（x－400）元。故總利潤為

令 y＇＝0，得駐點 x＝7200。 由 y＂＜0 知 x＝7200為極大值，又駐點唯一，這極大值點就是最大值點。即當每套月房租定在元時，可獲得最大收入。

【設計思想】舉一反三能夠讓學生鞏固所學知識，講授完一個知識點，布置相同類型的問題，讓學生互相討論交流，把剛學的知識應用起來，訓練學生靈活應用知識的能力。

1.5 變式訓練，鞏固提高

在講授高等數(shù)學知識時，需要通過變換相關例子，以達到鞏固提高的效果。應當根據(jù)學生所學專業(yè)，設計高等數(shù)學的教學方案，結合學生專業(yè)，選擇適當相關例子。在講解變換例子時，以學生訓練和思考為主，讓全體學生全部參與，教師只是在恰當?shù)臅r候給予提醒引導，培養(yǎng)學生主動解決實際問題的能力。

變式訓練[1]已知制作一個背包的成本為40元。如果每一個背包的售出價為元，售出的背包數(shù)由

給出，其中a，b為正常數(shù)。問什么樣的售出價格能帶來最大利潤？

我們可以設利潤函數(shù)為p（x），則

令 p＇（x）＝0，得 x＝60（元）。 由 p＂（x）＝－2b＜0 知 x＝60為極大值點，又駐點唯一，這極大值點就是最大值點，即售出價格定在60元時能帶來最大利潤。

【設計思想】通過變換題型，鞏固所學知識，提高應用知識的能力。以問題的方式，引導學生思考問題，促使學生主動探索問題，引導學生觀察現(xiàn)象，從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，對學生的思維發(fā)展有促進作用。

1.6 總結歸納，加深理解

講解完內容后，要善于總結歸納，鼓勵學生積極總結，并且要從數(shù)學方法和專業(yè)應用兩方面總結。根據(jù)問題引導學生回憶所涉及的數(shù)學知識，默寫數(shù)學公式，演算推導過程，引導學生解決專業(yè)實際問題，提高學生應用數(shù)學的能力[2]。

1.6.1 情境設置專業(yè)化

本著高等數(shù)學與學生所學專業(yè)相結合的教學理念，注意到高等數(shù)學與學生所學專業(yè)的關系，讓學生能夠在自己所學專業(yè)中發(fā)現(xiàn)問題，并且用所學數(shù)學知識解決問題，因此老師在舉例子時要以專業(yè)為背景，傳授數(shù)學方法，在有限的課堂教學中傳承數(shù)學思想，體現(xiàn)數(shù)學的實用性[3]。

1.6.2 問題探究活動化

教學中本著以學生發(fā)展為本的思想，生活中雖然碰到的是特殊問題，但我們需要學會解決一般問題，再用解決一般問題的方法去解決特殊問題，引導學生從特殊到一般的思考方式，意在引導學生善于思考，激發(fā)學生積極探究問題。

探究活動過程中，首先給予學生充裕的獨立思考時間，并且提供學生表達的機會，讓學生分享解決問題的方法，體驗成功的喜悅。其次提供互相討論交流的平臺，師生互相討論，學生和學生之間互相討論，交流思考方式，培養(yǎng)學生的交流能力，鍛煉學生的數(shù)學應用能力。

1.6.3 思路拓廣數(shù)學化

數(shù)學教學的目標終究是為了人的發(fā)展，教師要培養(yǎng)學生用數(shù)學的方法去分析問題和解決問題，數(shù)學具有很強的應用價值。高等數(shù)學教學與專業(yè)有機地結合，注重高等數(shù)學在學生專業(yè)的應用，同時在問題的設置中巧妙滲透數(shù)學方法，加深了學生對高等數(shù)學的本質認識，從而有利于培養(yǎng)學生思維的應用性。

從整理知識提升到強化方法，從探究問題到舉一反三，由提出問題到解決問題，通過數(shù)學的學習提高學生的綜合能力。高等數(shù)學的教學中提供學生所學專業(yè)相關的實例，提供具有專業(yè)背景的問題，讓學生從專業(yè)中挖掘出數(shù)學模型，并且用數(shù)學知識解決專業(yè)問題，讓學生體會到數(shù)學的魅力。

2 結論

最值問題與經(jīng)濟類專業(yè)結合只是高等數(shù)學知識與學生專業(yè)結合的一個具體例子，拋磚引玉，在教學過程中，注重發(fā)揮學生的學習主體作用，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。適時地將高等數(shù)學知識融入學生專業(yè)，從而達到激發(fā)學習興趣，提高思維品質，培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的創(chuàng)新人才培養(yǎng)目標[4-5]。

高等數(shù)學教學與學生所學專業(yè)相互結合的模式有利于培養(yǎng)學生應用數(shù)學的能力，是一項高校教師需要長期實踐并不斷改進的教學模式，也是高校教學改革探索的一種新型教學模式。教師需要了解學生所學專業(yè)的相關知識，根據(jù)學生所學專業(yè)設計教案，改變講課方式，將學生所學專業(yè)融入高等數(shù)學的教學中，既要求學生掌握高等數(shù)學的知識內容，也要求學生掌握應用數(shù)學的能力。培養(yǎng)學生在所學專業(yè)中發(fā)現(xiàn)問題的能力，培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型的能力，培養(yǎng)學生靈活應用數(shù)學知識的能力，同時提高學生解決實際問題的能力[6]。