基于快速張量分解的波束空間MIMO雷達(dá)二維DOA估計(jì)算法

徐 峰 楊小鵬，2 趙 毅，2

（1.北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院雷達(dá)技術(shù)研究所，北京 100081；2.北京理工大學(xué)重慶創(chuàng)新中心，重慶 401120）

1 引言

Multi-input Multi-output（MIMO）雷達(dá)作為一種新體制雷達(dá)，因其在參數(shù)估計(jì)，目標(biāo)檢測和抗干擾等方面的優(yōu)異性能廣受關(guān)注［1-5］。集中式MIMO 雷達(dá)的發(fā)射和接收陣列分布相對較近［2］，可認(rèn)為目標(biāo)的離開角（Direction of Departure，DOD）和到達(dá)角（Direction of Arrival，DOA）近似相等，本文主要研究集中式MIMO雷達(dá)的二維DOA估計(jì)問題。

集中式MIMO雷達(dá)的性能改善來源于通過正交發(fā)射波形實(shí)現(xiàn)的波形分集，其接收數(shù)據(jù)經(jīng)過匹配濾波后可以等價(jià)為一個(gè)口徑更大陣元數(shù)目更多的虛擬陣列（Virtual Array，VA）的接收數(shù)據(jù)。然而，MIMO 雷達(dá)由于只能形成全向方向圖，其發(fā)射增益損失嚴(yán)重，這使得在低信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）情況下MIMO 雷達(dá)DOA 估計(jì)的性能一般。要利用MIMO 雷達(dá)的優(yōu)勢，就必須設(shè)計(jì)完全正交的波形。隨著發(fā)射天線數(shù)量的增加，正交波形設(shè)計(jì)的難度顯著提高，這些缺點(diǎn)制約著MIMO雷達(dá)的應(yīng)用。

為此，有學(xué)者提出一種基于發(fā)射波束成形的波束空間MIMO 雷達(dá)技術(shù)［6-8］。通過預(yù)先設(shè)計(jì)的波束成形矩陣，將發(fā)射能量集中到指定空域，避免能量逸散到無關(guān)空域，提高目標(biāo)的增益，進(jìn)而改善DOA估計(jì)的性能。采用額外的波束成形矩陣能夠減少M(fèi)IMO 雷達(dá)所需要的正交發(fā)射波形數(shù)量，降低系統(tǒng)設(shè)計(jì)的難度。目前的研究主要集中在發(fā)射波束矩陣的設(shè)計(jì)上，相關(guān)的DOA 估計(jì)算法較少?？紤]到MIMO 雷達(dá)的接收數(shù)據(jù)通常包含成百上千個(gè)脈沖的回波，常用DOA 估計(jì)算法比如Multiple Signal Classification（MUSIC）［9］和Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance Technique（ESPRIT）［10］都屬于基于信號協(xié)方差矩陣類算法，其DOA 估計(jì)結(jié)果需要在脈沖間迭代更新，無法有效利用MIMO 雷達(dá)多脈沖接收數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)。使用張量模型存儲MIMO 雷達(dá)多脈沖接收數(shù)據(jù)有以下幾點(diǎn)優(yōu)勢［11-14］。其一，能夠?qū)⒔邮諗?shù)據(jù)所包含的參數(shù)信息按照物理意義存儲在不同維度上。接收數(shù)據(jù)中屬于不同維度的信息得到明顯區(qū)分，而不是像傳統(tǒng)矩陣模型那樣完全混疊在一起。其二，張量模型能夠更加精準(zhǔn)的區(qū)別信號張量子空間和噪聲張量子空間，有效改善DOA 估計(jì)性能。其三，使用張量模型能夠提高M(jìn)IMO 雷達(dá)多脈沖接收數(shù)據(jù)的利用效率，避免重復(fù)使用信號協(xié)方差矩陣模型導(dǎo)致的計(jì)算復(fù)雜度冗余。其四，由于充分利用了MIMO 雷達(dá)多脈沖接收數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)，基于張量模型的DOA 估計(jì)算法在低信噪比條件下具有良好的魯棒性。

基于上述分析，本文設(shè)計(jì)了波束空間MIMO 雷達(dá)高階張量模型［11-12］并提出了一種基于張量分解的二維DOA 估計(jì)算法。通過高階張量模型利用MIMO 雷達(dá)接收數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)，改善DOA 估計(jì)在低SNR 場景的性能。通過基于矩陣因子范德蒙（Vandermonde）結(jié)構(gòu)的張量分解［8］，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)俯仰和方位角的快速估計(jì)。較之傳統(tǒng)的張量分解方法，所提出的張量分解方法僅涉及矩陣計(jì)算，無需優(yōu)化迭代，顯著降低計(jì)算復(fù)雜度。同基于信號協(xié)方差矩陣的DOA 估計(jì)算法相比，所提張量分解算法具備更高的估計(jì)精度和更好的分辨能力。仿真驗(yàn)證了所提DOA估計(jì)算法的有效性。

2 波束空間MIMO雷達(dá)信號模型

考慮集中式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)。假設(shè)發(fā)射陣列由M=McMr個(gè)天線均勻分布在矩形陣面上，其中Mc和Mr分別表示矩形陣面每行每列的元素?cái)?shù)目，接收陣列包含N個(gè)從發(fā)射陣列中任意選取的天線。不失一般性，假設(shè)各相鄰天線之間的間距為半波長，則對應(yīng)的發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量可以分別表示為

其中，θ表示方位角，φ表示俯仰角，u?sinφsinθ，v?sinφcosθ，矩陣Ξ ∈RN×2包含全部接收天線的橫縱坐標(biāo)，λ為雷達(dá)工作波長，(·)T表示矩陣轉(zhuǎn)置，vec(·)表示矩陣列向量化?？紤]K(K≤M)個(gè)發(fā)射信號S(t)=[s1(t)，s2(t)，...，sK(t)]T包含Ts個(gè)快拍，并滿足正交特性

其中，Tp表示脈寬，IK表示K維單位矩陣，(·)H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。滿足窄帶遠(yuǎn)場條件下，L個(gè)分布在(θl，φl)，l=1，2，…，L的目標(biāo)回波為

其中，表示目標(biāo)雷達(dá)反射系數(shù)（radar cross section，RCS），N為滿足高斯白噪聲特性的噪聲矩陣，W?[w1，w2，…，wK]∈CM×K是波束空間矩陣（transmit beamspace matrix）［6-7］，其作用是將傳統(tǒng)MIMO 雷達(dá)的全向發(fā)射方向圖轉(zhuǎn)化成具有一定指向的發(fā)射方向圖。波束空間MIMO雷達(dá)所需要的正交發(fā)射波形數(shù)目（K個(gè)）要小于發(fā)射天線數(shù)目（M個(gè)）。求解波束空間矩陣W的過程可以建模為

其中，Pi(θ)是期望的發(fā)射方向圖形狀，可以設(shè)置為具有一定寬度的矩形脈沖。再考慮到對陣列發(fā)射方向圖副瓣的約束，該問題進(jìn)一步化作

其中，γ表示期望副瓣電平，Θ 表示期望的主瓣范圍。式（6）可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題［6-7］，進(jìn)而利用半定規(guī)劃解決，本文中假設(shè)波束空間矩陣W先驗(yàn)已知。

對目標(biāo)回波數(shù)據(jù)X進(jìn)行匹配濾波，即(1)XSH。根據(jù)發(fā)射波形的正交性可知，經(jīng)過匹配濾波后陣列的接收數(shù)據(jù)變換為

其中，R=(1/Ts)NSH，Σ=diag(σ)是方陣T，diag(·)表示將一個(gè)列向量轉(zhuǎn)化為一個(gè)方陣。常規(guī)的波束空間MIMO 雷達(dá)二維DOA 估計(jì)問題即為從式（7）的回波中估計(jì)出L組目標(biāo)俯仰和方位角。

3 波束空間MIMO雷達(dá)張量模型

3.1 基于多脈沖接收數(shù)據(jù)的三階張量模型

前文所描述的信號模型僅能表示一個(gè)脈沖內(nèi)的接收數(shù)據(jù)，而MIMO雷達(dá)系統(tǒng)通常包括大量脈沖。為有效利用多個(gè)脈沖的接收數(shù)據(jù)，有必要設(shè)計(jì)相應(yīng)的張量模型?？紤]由目標(biāo)速度導(dǎo)致的多普勒效應(yīng)并列向量化式（7）

其中，zq表示第q，q=1，2，…，Q，個(gè)脈沖的接收數(shù)據(jù)列向量化，eq是對應(yīng)的噪聲分量，ηq=σ*ξq，是第l個(gè)目標(biāo)的多普勒頻移，*表示Hadamard 積，⊙表示Khatri-Rao（KR）積。假設(shè)在相參處理時(shí)間內(nèi)有Q個(gè)脈沖，對應(yīng)的接收數(shù)據(jù)表示為一個(gè)KN×Q的矩陣，即Z?[z1，z2，…，zQ]，其等價(jià)表達(dá)為

其 中，C?[η1，η2，…，ηQ]T，E?[e1，e2，…，eQ]。根據(jù)張量的PARAFAC 定義［12］，矩陣Z是三階張量Z∈CK×N×Q的模式-3 矩陣展開。波束空間MIMO雷達(dá)的多脈沖接收數(shù)據(jù)表示為一個(gè)三階張量，每個(gè)維度分別反應(yīng)目標(biāo)在發(fā)射陣列的角度信息，在接收陣列的角度信息和在多普勒域的速度信息。具體地，該模型可以寫作

其中，K=WHA是張量的第一矩陣因子，矩陣B和C分別是張量的第二和第三矩陣因子，向量kl，bl，cl是對應(yīng)矩陣因子的第l列，°表示向量外積，而E 反應(yīng)目標(biāo)回波中的噪聲張量。

3.2 基于發(fā)射子陣劃分和多脈沖接收數(shù)據(jù)的高階張量模型

如圖1 所示，考慮對前述發(fā)射陣面進(jìn)行子陣劃分，形成S=IJ個(gè)較小的矩形發(fā)射子陣，每個(gè)小子陣具有M0=(Mc+1-J)(Mr+1-I)個(gè)陣元。不失一般性，假設(shè)各發(fā)射子陣相互重疊。對第(i，j)個(gè)子陣而言，其發(fā)射導(dǎo)向矩陣可以表示為

特別地，將第一個(gè)發(fā)射子陣選作參考子陣，則有

其中，u0包含列向量u的前Mc+1-J個(gè)元素，而v0包含列向量v的前Mr+1-I個(gè)元素。由于各子陣之間均勻排布，其發(fā)射導(dǎo)向矩陣滿足以下關(guān)系

其中，mj=1，2，…，J，mi=1，2，…，I。推廣式（9），第(i，j)個(gè)發(fā)射子陣和接收陣列之間的第q個(gè)脈沖回波數(shù)據(jù)可以表示為

聯(lián)立S個(gè)發(fā)射子陣，第q個(gè)脈沖的回波數(shù)據(jù)可以寫作

分別表示各發(fā)射子陣沿y軸和x軸兩個(gè)方向的發(fā)射導(dǎo)向矩陣。收集Q個(gè)脈沖的數(shù)據(jù)，得到

令K=，式（16）可以看作一個(gè)五階張量Z∈CJ×I×K×N×Q的模式-5矩陣展開，該高階張量為

可以發(fā)現(xiàn)，L個(gè)目標(biāo)的角度信息(ul，vl)包含于張量Z的第一、第二和第三矩陣因子H，Δ，K中。

4 基于張量分解的波束空間MIMO 雷達(dá)DOA估計(jì)

式（19）可以用來進(jìn)行二維DOA 估計(jì)，所使用的張量模型能夠有效利用波束空間MIMO雷達(dá)各發(fā)射接收通道回波數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)，改善目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能，提高在低信噪比條件下DOA 估計(jì)的穩(wěn)健性。據(jù)此，本文提出一種基于快速張量分解的二維DOA估計(jì)算法。

考慮無噪聲情況下的信號模型。將式（19）的高階張量通過張量重構(gòu)（tensor reshape）轉(zhuǎn)換為一個(gè)三階張量

其中，G=H⊙Δ是該三階張量的第一矩陣因子，K和(B⊙C)表示第二和第三矩陣因子。對應(yīng)的模式-3矩陣展開和奇異值分解（SVD）為

其 中，U∈CSK×L，Λ∈CL×L和V∈CNQ×L分別表示SVD 分解后的左奇異矩陣，奇異值矩陣和右奇異矩陣。由于目標(biāo)來向互不相同，第三矩陣因子(B⊙C)滿足列滿秩特性，存在一個(gè)非奇異方陣F∈CL×L使得

根據(jù)KR 積的定義和范德蒙矩陣的特性，式（23）進(jìn)一步寫作

其中，Ωy=diag(ωy)，Ωx=diag(ωx)，ωy和ωx分別是范德蒙矩陣H和Δ的生成向量，即

而矩陣U1，U2，U3和U4是左奇異矩陣U經(jīng)過行選擇的子矩陣

其中，(·)?表示矩陣偽逆。根據(jù)式（25），矩陣Ωy和Ωx是滿秩的對角陣，ωy和ωx可以由矩陣的特征分解（EVD）得到，且非奇異矩陣F即為特征分解后對應(yīng)的特征向量的集合矩陣。經(jīng)過變換，目標(biāo)角度信息的中間量由對應(yīng)特征值計(jì)算得到。

注意到矩陣F能夠?qū)崿F(xiàn)ul，vl的自動配對，目標(biāo)的俯仰和方位角二維估計(jì)為

此外，得到列向量ωy和ωx后可以重構(gòu)出三階張量T的第一矩陣因子。又有

其中，μl=γl⊙δl是第一矩陣因子的第l列，γl，δl和κl分別是矩陣H，Δ和K的第l列。第二矩陣因子的第l列估計(jì)為

其中fl是矩陣F的第l列向量。根據(jù)定義，κl=WHα0(θl，φl)，而波束成形矩陣W先驗(yàn)已知，構(gòu)造代價(jià)函數(shù)從κl中估計(jì)出目標(biāo)的二維角度信息。該代價(jià)函數(shù)表示為

其中，P=。注意到式（31）所描述歐幾里得范數(shù)（Euclidean norm）是凸函數(shù)，其局部最優(yōu)即為全局最優(yōu)，且具有唯一性。通過最小化（31），即得到目標(biāo)的俯仰和方位角信息。

5 仿真驗(yàn)證

針對波束空間MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)，所有陣元半波長均勻布置，發(fā)射陣列是一個(gè)7×7 的矩形陣，劃分為S=3×3 個(gè)相互重疊的子陣，每個(gè)子陣包括5×5 個(gè)天線，接收陣列由隨機(jī)選取的N=16 個(gè)天線組成。波束成形矩陣使用K=4 個(gè)正交波形將發(fā)射能量集中到指定空域［6-8］。所采用的發(fā)射波形為

針對L=3 個(gè)目標(biāo)，其RCS 模型采用Swerling II模型，考慮Q=64 個(gè)脈沖和P=500 次蒙特卡洛仿真，使用的噪聲模型為高斯白噪聲。目標(biāo)的角度信息為θl=[20°，30°，40°]和φl=[65°，60°，55°]，對應(yīng)的歸一化多普勒信息為fl=[-0.2，0.1，0.25]。注意到式（31）僅涉及單一發(fā)射子陣，其DOA 估計(jì)結(jié)果只用作參照，或是當(dāng)發(fā)射子陣相位中心的間距大于半波長時(shí)用作柵瓣去除。

5.1 二維DOA估計(jì)算法有效性驗(yàn)證

根據(jù)仿真場景，利用所提的DOA 估計(jì)算法對三個(gè)目標(biāo)的俯仰和方位角進(jìn)行估計(jì)。圖2是經(jīng)過張量分解后由式（28）計(jì)算得到的目標(biāo)二維DOA 估計(jì)分布情況，三個(gè)目標(biāo)的輸入信噪比設(shè)置為5 dB。每個(gè)目標(biāo)的估計(jì)結(jié)果都準(zhǔn)確反應(yīng)真值，且精度較高。此外，為驗(yàn)證式（31）的有效性，圖3描繪該代價(jià)函數(shù)關(guān)于目標(biāo)2：θl=30°，φl=60°隨俯仰角和方位角遍歷的函數(shù)值?？梢园l(fā)現(xiàn)，該函數(shù)的最小值對應(yīng)的俯仰和方位角精確反應(yīng)目標(biāo)的來向。

5.2 最小均方誤差隨SNR變化結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提DOA 估計(jì)算法的性能，有必要研究其最小均方誤差（Root Mean Square Error，RMSE）隨輸入SNR 變化的情況。相關(guān)仿真參數(shù)保持不變，目標(biāo)的輸入信噪比由-30 dB 逐步增加到30 dB。針對二維DOA估計(jì)，其RMSE可由

計(jì)算得到?？紤]ESPRIT 算法，U-ESPRIT 算法和ALS 算法作為對比，同時(shí)給出克拉美羅下界（Cramer-Rao lower bound，CRLB）［15］。當(dāng)采用張量模型時(shí)，根據(jù)式（20）可知，其第一和第二矩陣因子都包含目標(biāo)角度信息。為加以區(qū)分，規(guī)定由第二矩陣因子得到的DOA 估計(jì)結(jié)果為ALS-sub/Proposedsub，而由第一矩陣因子得到的結(jié)果為ALS/Proposed。

圖4 給出相關(guān)算法的RMSE 隨輸入SNR 變化曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，所提算法具有最小的均方誤差，且在低SNR 區(qū)域表現(xiàn)最優(yōu)，基于ALS 算法的張量分解方法次之。盡管兩種算法都有效利用目標(biāo)回波數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)，ALS算法通常需要多次迭代，其收斂性依賴輸入條件，而所提算法僅涉及基本的矩陣運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度低，能夠快速收斂。此外，由式（31）得到的DOA 估計(jì)結(jié)果明顯劣于由式（28）的結(jié)果，這是由于前者僅涉及單一發(fā)射子陣而后者能夠有效利用全部發(fā)射天線單元?？趶降牟町愂沟闷銻MSE結(jié)果有所不同。ESPRIT和U-ESPRIT算法盡管得到正確的DOA 估計(jì)結(jié)果，輸入SNR 相同情況下其RMSE相對偏大，其性能一般。

5.3 有效分辨概率隨SNR變化結(jié)果

針對所提算法的分辨率性能，分析其對兩個(gè)空間分布非常接近的目標(biāo)的分辨概率隨輸入SNR 變化情況。僅考慮兩個(gè)目標(biāo)分布在θl=[-10°，-11°]和φl=[15°，16°]，即目標(biāo)的俯仰角和相位角相差1°。若目標(biāo)同時(shí)滿足

則認(rèn)為此次估計(jì)有效區(qū)分兩個(gè)目標(biāo)，檢測成功。反之，則檢測失敗。其他仿真參數(shù)不變。經(jīng)過P=500 次蒙特卡洛仿真后，得到各DOA 估計(jì)算法的檢測成功率隨輸入SNR變化的情況。

如圖5所示，所提算法具有最低的檢測門限，基于ALS 算法的檢測門限次之；而ESPRIT 和UESPRIT 算法僅在高SNR 情況下能夠有效區(qū)分兩個(gè)分布靠近的目標(biāo)。這充分證明基于張量模型的DOA 估計(jì)算法的分辨能力優(yōu)于基于接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的ESRPIT 或是U-ESPRIT 算法。同樣的，若僅利用單一發(fā)射子陣，DOA 估計(jì)的性能會有所惡化，但仍優(yōu)于常規(guī)的協(xié)方差矩陣類算法。

5.4 最小均方誤差隨有效快拍數(shù)變化結(jié)果

最后驗(yàn)證所提算法估計(jì)精度隨有效快拍數(shù)變化情況。三個(gè)目標(biāo)的輸入SNR 設(shè)置為-5 dB，陣列接收數(shù)據(jù)的有效快拍數(shù)由10 逐漸增加至290，步進(jìn)為20。其他仿真參數(shù)保持不變。分別考慮基于協(xié)方差矩陣模型的ESPRIT 算法和U-ESPRIT 算法，基于信號張量模型的ALS 算法和所提算法在不同快拍數(shù)條件下二維DOA估計(jì)的RMSE。

圖6給出了相關(guān)算法二維DOA估計(jì)RMSE隨陣列接收數(shù)據(jù)有效快拍數(shù)變化情況?？梢钥吹?，基于信號協(xié)方差矩陣模型的ESPRIT 算法和U-ESPRIT算法RMSE 最差，因?yàn)槠錈o法充分利用陣列多脈沖接收數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)。U-ESPRIT 算法的表現(xiàn)稍好于ESPRIT 算法，這主要是依據(jù)陣列流型的共軛對稱性擴(kuò)展了有效脈沖數(shù)，且以計(jì)算復(fù)雜度的提高為代價(jià)?；谛盘枏埩磕Ｐ偷腄OA 估計(jì)算法中，來自式（31）的估計(jì)結(jié)果劣于來自式（28）估計(jì)結(jié)果，這與圖4中的結(jié)論是一致的。僅依靠單一發(fā)射子陣的信息進(jìn)行DOA 估計(jì)忽略了各發(fā)射子陣間的相位旋轉(zhuǎn)不變性，無法達(dá)到最優(yōu)。盡管使用了同一張量模型，所提DOA 估計(jì)算法同ALS算法相比達(dá)到了最低的RMSE，這主要源自對范德蒙矩陣因子的利用。所提算法同時(shí)考慮了發(fā)射子陣間和發(fā)射子陣內(nèi)的相位旋轉(zhuǎn)不變性，因此具有最好的估計(jì)精度。

6 結(jié)論

為克服傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)發(fā)射增益的損失同時(shí)保持其在參數(shù)估計(jì)等方面的優(yōu)勢，研究了基于波束成形矩陣的波束空間MIMO 雷達(dá)，設(shè)計(jì)了一種高階張量模型利用MIMO雷達(dá)接收數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)?；诰仃囈蜃拥姆兜旅山Y(jié)構(gòu)，提出了一種快速張量分解算法，用于實(shí)現(xiàn)二維DOA 估計(jì)。同傳統(tǒng)基于信號協(xié)方差矩陣的DOA 估計(jì)算法相比，張量分解類算法有效利用了接收數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)，能夠改善DOA 估計(jì)的精度和分辨率。同常規(guī)的ALS 算法相比，所提的張量分解算法僅涉及基礎(chǔ)的矩陣運(yùn)算，無需優(yōu)化或迭代算法，降低了計(jì)算復(fù)雜度，且能夠保證收斂性。同現(xiàn)有的波束空間MIMO 雷達(dá)DOA 估計(jì)算法相比，仿真驗(yàn)證了所提算法具有更高的DOA 估計(jì)精度和更好的分辨能力。