關(guān)于廣義積分的若干問題探討

牛薈玲 劉佳音

摘? 要：廣義積分是積分學(xué)中的一個(gè)重要概念，它是定積分概念的推廣，也是定積分無窮多項(xiàng)累加思想的推廣。本文首先通過定積分的定義，深入分析了無窮區(qū)間上的廣義積分以及無界函數(shù)的廣義積分與定積分之間的區(qū)別和聯(lián)系。其次，討論了當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)容易求出時(shí)，利用廣義積分的定義計(jì)算廣義積分時(shí)需要注意的幾個(gè)問題，并舉例加以說明。

關(guān)鍵詞：廣義積分? 被積函數(shù)? 積分區(qū)間? 定積分? 原函數(shù)

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2021）07（b）-0163-04

Discussion on Some Problems about Generalized Integral

NIU Huiling*? LIU Jiayin

（North Minzu University， Yinchuan， Ningxia Hui Autonomous Region， 750021 China）

Abstract： Generalized integral is an important concept in integral science. It is not only the extension of the concept of definite integral， but also the extension of the idea of infinite multinomial accumulation of definite integral. Firstly， through the definition of definite integral， this paper deeply analyzes the differences and relations between generalized integral on infinite interval and generalized integral and definite integral of unbounded function. Secondly， when the original function of the integrand function is easy to be obtained， several problems needing attention in calculating the generalized integral by using the definition of the generalized integral are discussed and illustrated with examples.

Key Words： Generalized integral; Integrand; Integral interval; Definite integral; Primitive functions

眾所周知，微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它不僅是學(xué)習(xí)和研究其他科學(xué)領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)，而且是培養(yǎng)理性思維和科學(xué)思維的重要載體。微分學(xué)是讓人們從微觀（局部）去認(rèn)識(shí)和研究物體在運(yùn)動(dòng)中的數(shù)量變化規(guī)律，而積分學(xué)是讓人們從宏觀（整體）去認(rèn)識(shí)和研究物體在運(yùn)動(dòng)中的數(shù)量變化規(guī)律，因此微積分學(xué)在人們認(rèn)識(shí)和研究客觀世界的過程中有著非常重要的作用。在一元函數(shù)的積分學(xué)中最常見的就是定積分，而在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常還會(huì)遇到需要運(yùn)用積分思想去解決的非定積分問題。例如，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，若隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為，求時(shí)的概率。這個(gè)問題的本質(zhì)其實(shí)就是計(jì)算介于軸、曲線以及直線之間右側(cè)部分的無界區(qū)域的面積。顯然，正常意義下的定積分所能求的只是有界區(qū)域的面積。因此，可以運(yùn)用積分思想將定積分的概念做一推廣，將上述問題轉(zhuǎn)化為求廣義積分的問題。

廣義積分相對(duì)于定積分而言，其研究和學(xué)習(xí)更加復(fù)雜和困難，但其應(yīng)用也更加廣泛，因此對(duì)于廣義積分的研究和學(xué)習(xí)也就更加具有挑戰(zhàn)性且更加有意義。在求解或判別廣義積分的斂散性時(shí)，也呈現(xiàn)出了多種方法[1-5]，其中包括對(duì)含參變量的廣義積分的收斂性的研究和應(yīng)用[6，7]。但對(duì)大多數(shù)廣義積分，雖然可以通過某些方法判別其收斂性，但對(duì)于它的具體數(shù)值卻很難求出。

本文從定積分的定義出發(fā)，深入分析了兩類廣義積分和定積分之間的關(guān)系。當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)容易求出時(shí)，可以利用定義通過對(duì)變上（下）限的定積分取極限的方法求解兩類廣義積分，并通過舉例重點(diǎn)說明了在求解廣義積分的過程中需要注意的幾個(gè)問題。

1? 廣義積分的概念及其與定積分之間的關(guān)系

定積分相對(duì)于廣義積分也可稱為常義積分，首先從定積分的定義談起。由定積分的定義[2]可知，“有限積分區(qū)間”和“有界被積函數(shù)”是定義定積分的兩個(gè)首要條件，其中任何一個(gè)不滿足，談定積分就沒有意義了。廣義積分“打破”了上述2個(gè)條件，將定積分作了兩方面的推廣：一是將積分區(qū)間推廣到了無窮區(qū)間，二是將被積函數(shù)推廣到了無界函數(shù)。因此，廣義積分主要包含了“無窮區(qū)間上的廣義積分”和“無界函數(shù)的廣義積分”這兩類，它們的定義都是建立在常義積分的基礎(chǔ)上的。

定義1[8，9] （無窮區(qū)間上的廣義積分）設(shè)函數(shù)在上有定義，任取，作定積分，稱這個(gè)對(duì)變上限的定積分求極限的算式為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記為，，即：

當(dāng)極限存在時(shí)，我們說此廣義積分是收斂的，并稱該極限值為廣義積分的值，否則就稱此廣義積分是發(fā)散的。

注1 類似地，可以定義函數(shù)在上的廣義積分。

注2 定義上的廣義積分時(shí)，可以將其分為兩個(gè)廣義積分的和，即對(duì)任意實(shí)數(shù)c：

當(dāng)廣義積分和都收斂時(shí)，稱廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散的。

定義2[8，9]無界函數(shù)的廣義積分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且在點(diǎn)的任何右領(lǐng)域內(nèi)無界。任取，函數(shù)在閉區(qū)間上作定積分，稱這個(gè)對(duì)變下限的定積分求極限的算式為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，仍然記為，即：

當(dāng)極限存在時(shí)，我們說此廣義積分是收斂的，并稱該極限值為廣義積分的值，否則就稱此廣義積分是發(fā)散的。

注3 類似地，定義函數(shù)在上的廣義積分。

注4 若，在c點(diǎn)的任何領(lǐng)域內(nèi)無界，則函數(shù)在上的廣義積分定義為：

當(dāng)廣義積分和都收斂時(shí)，稱廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散的。

從上述廣義積分的定義可以看出，廣義積分是在定積分定義的基礎(chǔ)上先構(gòu)造一個(gè)變上（下）限的定積分，再通過對(duì)變上（下）限的定積分求極限來實(shí)現(xiàn)的，它反映了通過已知認(rèn)識(shí)未知的一種思想。

2? 利用定義求解廣義積分時(shí)需要注意的幾個(gè)問題

（1）在利用定義的斂散性時(shí)，c的不同取值是否會(huì)影響其斂散性和廣義積分的值？

答：不會(huì)。事實(shí)上，任取實(shí)數(shù)d≠c ，則根據(jù)定義

又根據(jù)定積分的性質(zhì)

因此，c的改變不會(huì)影響原來廣義積分的斂散性和廣義積分的值。

（2）由于無界函數(shù)的廣義積分的記號(hào)和定積分記號(hào)相同，故在積分求解的問題中，人們往往容易將無界函數(shù)的廣義積分誤認(rèn)為是定積分。特別是當(dāng)函數(shù)的奇點(diǎn)位于開區(qū)間的內(nèi)部時(shí)，更容易忽略被積函數(shù)是否有界這一條件，而盲目地尋求被積函數(shù)的原函數(shù)，從而利用求定積分的方法導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。因此在求解積分問題時(shí)，首先需要判斷該積分到底是定積分還是無界函數(shù)的廣義積分，然后再作相應(yīng)的計(jì)算。

例1 求積分的值。

解析 上述積分是一個(gè)無界函數(shù)的廣義積分，它的奇點(diǎn)是，且奇點(diǎn)位于積分區(qū)間（0，1）的內(nèi)部。如果忽略了這一點(diǎn)，往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。若令，則

顯然，上述解題過程忽略了積分區(qū)間內(nèi)部有函數(shù)的奇點(diǎn)。事實(shí)上，第一步的代換并沒有錯(cuò)，但在求解廣義積分的過程中，把它當(dāng)作一個(gè)定積分就導(dǎo)致了錯(cuò)誤結(jié)果的出現(xiàn)。如果令，則：

我們發(fā)現(xiàn)這仍然是一個(gè)無界函數(shù)廣義積分的問題，為奇點(diǎn)且積分發(fā)散。從而可知原積分是發(fā)散的。

（3）當(dāng)被積函數(shù)比較復(fù)雜，利用定義求廣義積分的值而被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出時(shí)，可以借助二元函數(shù)的積分，利用交換積分次序的方法計(jì)算廣義積分。

（4）在定積分的求解問題中，當(dāng)被積函數(shù)為有理分式且分母次數(shù)較高時(shí)，倒代換往往成為一個(gè)非常有效的方法。而收斂的廣義積分繼承了定積分的許多性質(zhì)，例如變量替換的性質(zhì)。因此，在計(jì)算收斂的廣義積分時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)是有理分式且分母的次數(shù)較高時(shí)，可以采用倒代換的方法。

3? 結(jié)語(yǔ)

廣義積分的概念是運(yùn)用積分思想將定積分的概念在積分區(qū)間和被積函數(shù)2個(gè)方面做了推廣，從而使得積分學(xué)的應(yīng)用更加廣泛。實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)在同一問題中會(huì)同時(shí)出現(xiàn)兩種類型的廣義積分，例如廣義積分既是“無窮區(qū)間上的廣義積分”又是“無界函數(shù)的廣義積分”。可以按照積分區(qū)間的可加性把積分區(qū)間分為兩部分，分別討論這2個(gè)區(qū)間上的廣義積分的收斂性，從而可判斷廣義積分在整個(gè)積分區(qū)間的收斂性。本文主要討論了通過求被積函數(shù)的原函數(shù)，然后按照定義取極限，根據(jù)極限的存在與否來判定反常積分的收斂性。在我們遇到的很多反常積分的問題中，往往會(huì)出現(xiàn)被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得或者被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如函數(shù)的原函數(shù)就不能用初等函數(shù)表示，因此要判斷廣義積分的收斂性，就不能利用廣義積分的定義進(jìn)行求解，而是要利用類似于判定無窮級(jí)數(shù)收斂性的方法。事實(shí)上，廣義積分和無窮級(jí)數(shù)在形式上非常相似，所不同的是前者用的是連續(xù)變量，而后者用的是離散變量。因此，在判斷它們的收斂性時(shí)可以利用類似的方法去解決。

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