小學(xué)數(shù)學(xué)“變中有不變”思想的實(shí)踐與思考

王錫芳

【摘 要】世間百態(tài)，瞬息萬(wàn)變，倘若洞悉了個(gè)中奧妙，掌握其中玄機(jī)，便能化動(dòng)為靜，更好地認(rèn)知世界。其實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)莫不如是，在變化萬(wàn)千的題組變式中，若能抽絲剝繭，把尋到“不變”之匙，定能發(fā)現(xiàn)知識(shí)本真，撬開(kāi)與之關(guān)聯(lián)的諸多問(wèn)題之鎖，解決相類(lèi)同的數(shù)學(xué)問(wèn)題。“變中有不變”思想，就是讓學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，把握聯(lián)系找規(guī)律，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知能、思想、體驗(yàn)等多方面的成長(zhǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)。在這一過(guò)程中當(dāng)努力做到：從膚淺到深入，讓學(xué)生在“變”與“不變”中感知知識(shí)的形成過(guò)程;從片面到全面，在“變”與“不變”中經(jīng)歷知識(shí)的探索過(guò)程;從割裂到統(tǒng)整，在“變”與“不變”中感悟知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】“變中有不變”思想 知識(shí)形成 知識(shí)探索 知識(shí)應(yīng)用

“動(dòng)與靜”是哲學(xué)觀中的一組關(guān)鍵詞，用以辯證性地認(rèn)知世界。動(dòng)靜相宜，互為補(bǔ)充，此乃融善之道。意為在變幻莫測(cè)的現(xiàn)象中，找到不變的規(guī)律，以便更好地認(rèn)識(shí)它，為自身服務(wù)，可視為不變。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程中，也會(huì)面對(duì)千變?nèi)f化的對(duì)象，在這些變化中找到不變的性質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這就是“變中有不變”思想，正所謂“萬(wàn)變不離其宗”。數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，面對(duì)變化萬(wàn)千的題組變式，若能引導(dǎo)學(xué)生抽絲剝繭，把尋到“不變”之匙，定能發(fā)現(xiàn)知識(shí)本真，撬開(kāi)與之關(guān)聯(lián)的諸多問(wèn)題之鎖，解決相類(lèi)同的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、從膚淺到深入，在“變”與“不變”中感知知識(shí)的形成過(guò)程

知識(shí)的獲取和認(rèn)識(shí)不是一蹴而就的，而是有其內(nèi)在聯(lián)系的，需要循序漸進(jìn)，在多變的外形下引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷逐步內(nèi)化的認(rèn)知過(guò)程，促使其真正觸及概念的本質(zhì)，掌握知識(shí)的原理。

如教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”一課，新授環(huán)節(jié)通過(guò)設(shè)計(jì)三個(gè)層次的教學(xué)，讓學(xué)生在“變”與“不變”中逐步深化對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)。第一個(gè)層次，教師利用課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，在第一行畫(huà)2個(gè)圓，告訴學(xué)生可以把它看作一份圈起來(lái)，并稱(chēng)它為“1個(gè)2”，再出示第二行的圓，讓學(xué)生一起來(lái)數(shù)一數(shù)共有幾個(gè)2。在此基礎(chǔ)上告訴學(xué)生：第一行有1個(gè)2，第二行有3個(gè)2，像這樣就可以說(shuō)，第二行的個(gè)數(shù)是第一行的3倍。接著，通過(guò)逐步增加第二行圓的個(gè)數(shù)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)4倍、5倍、6倍直至幾倍。第二個(gè)層次，保持第二行圓的個(gè)數(shù)（12個(gè)）不變，變化第一行圓的個(gè)數(shù)（從2個(gè)變成4個(gè)），追問(wèn)學(xué)生：“第二行圓的個(gè)數(shù)是否還是第一行的6倍？”讓學(xué)生試著圈一圈。學(xué)生在圈的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)第一行有1個(gè)4，第二行有3個(gè)4，第二行的個(gè)數(shù)是第一行的3倍。接著去掉第一行的一個(gè)圓，變成3個(gè)，再次讓學(xué)生圈一圈，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一行有1個(gè)3，第二行有4個(gè)3，第二行的個(gè)數(shù)是第一行的4倍。最后，比較三次變圓的過(guò)程，提問(wèn)：“第二行都是12個(gè)圓，可為什么有的第二行是第一行的6倍，有的第二行是第一行的4倍，還有的第二行是第一行的3倍呢？”通過(guò)探究學(xué)生明白：要知道第二行的個(gè)數(shù)是第一行的幾倍，關(guān)鍵是要看清第一行是幾個(gè)為一份的，第二行有這樣的幾份，第二行的個(gè)數(shù)就是第一行的幾倍。第三個(gè)層次，屏幕隱去上面圖框中的圓，只留下圖框，引導(dǎo)學(xué)生思考：第一行除了可以畫(huà)2個(gè)圓、3個(gè)圓、4個(gè)圓，你覺(jué)得還可以畫(huà)什么？逐步引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出：還可以畫(huà)三角形、正方形、紅花、藍(lán)花等。最后小結(jié)：不管第一行是什么物體，也不管有幾個(gè)，只要把第一行的數(shù)量看作一份，第二行有這樣的幾份，就可以說(shuō)，第二行的個(gè)數(shù)是第一行的幾倍。

上述三個(gè)層次，由淺入深，教師通過(guò)對(duì)例題的巧妙擴(kuò)容，將倍的概念先解構(gòu)再建構(gòu)，讓學(xué)生在“變”與“不變”的智慧演繹中，不斷獲得更清晰的概念表象，“倍”的模型也在學(xué)生頭腦中悄然生長(zhǎng)。在這里，“變”的是物體的個(gè)數(shù)，“不變”的是“只要把第一行的數(shù)量看作一份，第二行有這樣的幾份，第二行的個(gè)數(shù)是第一行的幾倍”這樣的模型?！白儭迸c“不變”的智慧，加深了學(xué)生對(duì)“倍”的理解，也點(diǎn)燃了學(xué)生樂(lè)學(xué)的情感。

二、從片面到全面，在“變”與“不變”中經(jīng)歷知識(shí)的探索過(guò)程

建構(gòu)主義哲學(xué)認(rèn)為：學(xué)習(xí)是一個(gè)積極主動(dòng)的探知過(guò)程，是學(xué)生自主完成知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程。因此，在數(shù)學(xué)課堂中要注重探究式學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，在“變”與“不變”中經(jīng)歷知識(shí)的探索過(guò)程，從而獲得深刻的感性體驗(yàn)和理性規(guī)律，提升自我探究解決問(wèn)題的能力。

如教學(xué)“一一間隔排列”一課，分三個(gè)層次讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的探索過(guò)程。第一個(gè)層次結(jié)合情境圖，讓學(xué)生觀察夾子與手帕、小兔與蘑菇、木樁與籬笆這三組物體的排列特點(diǎn)。在讓學(xué)生知道什么是一一間隔排列的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們數(shù)一數(shù)這些一一間隔排列的物體的個(gè)數(shù)，并通過(guò)觀察、比較形成初步的猜想：兩端物體和中間物體的個(gè)數(shù)相差1。第二個(gè)層次，舉例驗(yàn)證，用小棒和圓片擺一擺，同桌交流擺法后，全班交流并匯報(bào)展示幾種擺法，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察小棒與圓片的個(gè)數(shù)，思考：小棒和圓片有著怎樣的排列特點(diǎn)？它們的個(gè)數(shù)又有怎樣的排列規(guī)律？最后得出結(jié)論：不管是什么物體，也不管有多少個(gè)，只要是一一間隔排成一行，兩端相同，那么兩端物體就比中間物體多1，中間物體就比兩端物體少1。第三個(gè)層次，拓展延伸，教師追問(wèn)：兩端是小棒時(shí)，100根小棒之間應(yīng)擺多少個(gè)圓片？若擺了100個(gè)圓片需要擺多少根小棒？出示：10個(gè)正方形，并引導(dǎo)學(xué)生思考：正方形和三角形一一間隔排列，如果正方形有10個(gè)，三角形可能有多少個(gè)？最多有多少個(gè)？最少呢？如果圍成一圈呢？

上述三個(gè)層次，由情境引入，不斷變換探究的對(duì)象和物體的個(gè)數(shù)，從一開(kāi)始的夾子與手帕、兔子與蘑菇、木樁與籬笆，到后來(lái)的小棒與圓片，再到后來(lái)的正方形和三角形，教師通過(guò)不一樣的素材，豐富了學(xué)生的感官，讓他們經(jīng)歷了“初步猜想—舉例驗(yàn)證—得出結(jié)論—拓展延伸”的探索規(guī)律的全過(guò)程。同時(shí)也展現(xiàn)了動(dòng)態(tài)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)多媒體演示讓學(xué)生直觀感知直線與封閉圖形中間隔現(xiàn)象的異同，了解其中的變化規(guī)律。教學(xué)中，教師不時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象去抓住數(shù)學(xué)中不變的本質(zhì)。這種應(yīng)用不變的本質(zhì)去解決變與不變的哲學(xué)思想是本課的點(diǎn)睛之筆。

三、從割裂到統(tǒng)整，在“變”與“不變”中感悟知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程

數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)情境各不相同，然而其內(nèi)在解題思路是相通的。如果能夠抓住數(shù)學(xué)模型來(lái)認(rèn)知，那么就可以去偽存真，不為問(wèn)題表象所迷惑。培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。當(dāng)學(xué)生理解并掌握了各種基本的數(shù)學(xué)模型后，面對(duì)變化多樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就可以利用已掌握的模型進(jìn)行分析求解，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

如分?jǐn)?shù)應(yīng)用題一直以來(lái)都是學(xué)生容易出錯(cuò)、不易解答的一類(lèi)題，尤其是當(dāng)題目中分?jǐn)?shù)、比同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，部分學(xué)生會(huì)無(wú)從下手，不知所措。雖說(shuō)除法、分?jǐn)?shù)和比表面上有很大不同，除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，比表示一種關(guān)系，實(shí)際在本質(zhì)上它們有一致的一面，都可以表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。教學(xué)時(shí)，教師要充分認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，設(shè)計(jì)具備典型意義的題目，幫助學(xué)生厘清數(shù)量間的關(guān)系。首先，課件出示：“小明讀一本書(shū)，已讀和未讀的頁(yè)數(shù)比是1：5，如果再讀30頁(yè)，則已讀的頁(yè)數(shù)是未讀的3 /5，這本書(shū)共有多少頁(yè)？”讀題后先讓學(xué)生理解1：5和3 —5分別表示的含義，再引導(dǎo)學(xué)生思考：什么變了，什么沒(méi)變，以及把什么看作單位“1”。在此基礎(chǔ)上，抓住“總頁(yè)數(shù)”這個(gè)不變量，進(jìn)行合理地分析，變化題中已知條件的表述，“已讀與未讀的頁(yè)數(shù)比是1：5”變化為“已讀的頁(yè)數(shù)是總頁(yè)數(shù)的1/6”，“已讀的頁(yè)數(shù)是未讀的3/5”變化為“已讀的頁(yè)數(shù)是總頁(yè)數(shù)的3 /8”，并借助線段圖分析數(shù)量間的關(guān)系，列出算式：30÷（3/8-1 /6）。最后，帶領(lǐng)學(xué)生回顧整個(gè)思考過(guò)程并追問(wèn)：“根據(jù)條件，你還能提出哪些問(wèn)題？”學(xué)生很快就能提出“小明還剩多少頁(yè)沒(méi)有讀”的問(wèn)題。由于總量已知，要解決這一問(wèn)題非常簡(jiǎn)單，只要用單位“1”（總頁(yè)數(shù)）乘還剩的頁(yè)數(shù)的占比。接著，趁熱打鐵，設(shè)計(jì)一個(gè)讓學(xué)生找一找不變量的題組，可以是“部分量不變”，也可以是“相差量不變”，讓學(xué)生在分析比較中，學(xué)會(huì)從變化中找到不變量，并把不變量看作單位“1”來(lái)解題的方法，同時(shí)體會(huì)抓住不變量解題的重要性。最后，可以嘗試讓學(xué)生自己創(chuàng)編題目，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

如果說(shuō)新授課上學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)、比的認(rèn)識(shí)僅僅是割裂的，是孤立知識(shí)點(diǎn)的累加，那么設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題題組就能很好地將兩者融合，調(diào)動(dòng)學(xué)生的解題興趣，豐富教學(xué)過(guò)程。在一次次的比較分析中，學(xué)生充分感受到了雖然題目千變?nèi)f化，但可抓住“不變量”來(lái)解題的重要性。教師將一些深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì)生動(dòng)地呈現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟也隨之增強(qiáng)。

學(xué)生探索知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用，除了獲取知識(shí)，更重要的是經(jīng)歷探索的過(guò)程，獲得積極的體驗(yàn)，感悟探索數(shù)學(xué)知識(shí)的基本思想與方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，抓住“變中有不變”思想展開(kāi)教學(xué)，有助于學(xué)生刪繁就簡(jiǎn)，抓住本質(zhì)，形成更簡(jiǎn)練的思維品質(zhì)?！疤┥讲蛔屚寥?，故能成其大;河海不擇細(xì)流，故能就其深。”教師應(yīng)在每堂課的教學(xué)中適時(shí)、適當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生在潛移默化中日積月累，通過(guò)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的目的。