基于SVDD去除異常值的水下目標(biāo)定位方法

龐菲菲，溫祥西，王曉華

(1.西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，西安 710048；2.空軍工程大學(xué) 空管領(lǐng)航學(xué)院，西安 710051)

對水下目標(biāo)的精確定位可以為水下目標(biāo)的安全航行、打撈救生以及海洋資源開發(fā)提供基礎(chǔ)，成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)[1-5]。基于方位角的定位方法根據(jù)多個(gè)節(jié)點(diǎn)估計(jì)的方位角對目標(biāo)進(jìn)行定位，是一種經(jīng)典的被動(dòng)無源定位技術(shù)，廣泛應(yīng)用于水聲傳感網(wǎng)絡(luò)中。受復(fù)雜多變的水聲環(huán)境、多徑效應(yīng)、硬件失效、沖擊噪聲等的影響，節(jié)點(diǎn)測量的方位角可能會(huì)嚴(yán)重偏離真實(shí)的方位角，即出現(xiàn)異常值的情況，對目標(biāo)定位精度造成嚴(yán)重影響[6]。

針對異常值出現(xiàn)的目標(biāo)定位問題，現(xiàn)有的解決方法主要有兩種：一種是采用基于魯棒的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法以減小定位過程中異常值引起的負(fù)面影響；另一種是篩選出異常值并在定位時(shí)將其剔除，避免其對定位的影響。文獻(xiàn)[7]使用魯棒的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，將lp范數(shù)最小化作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，然后采用迭代加權(quán)輔助變量估計(jì)方法進(jìn)行求解。該方法需要迭代運(yùn)算，不能得到解析解，運(yùn)算量較大。文獻(xiàn)[8]使用魯棒最小二乘準(zhǔn)則構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過求解廣義信賴域子問題得到準(zhǔn)確解，以減輕異常值對定位偏差的影響。文獻(xiàn)[9]通過k-means聚類算法排除誤差較大的測距信息，最后利用剩余距離信息進(jìn)行目標(biāo)定位。該方法可在不增加通信開銷的前提下，得到更精確、容錯(cuò)性更高的定位方法。文獻(xiàn)[10]認(rèn)為異常值嚴(yán)重偏離了其余節(jié)點(diǎn)的觀測信息，結(jié)合幾何學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法提出了到達(dá)時(shí)間差的異常信息檢測方法。文獻(xiàn)[11]利用長基線/超短基線組合系統(tǒng)，并采用k-means聚類算法和決策融合對多種定位參量中的異常值進(jìn)行檢測，通過識別并去除異常值保證了定位系統(tǒng)的可靠性。這種剔除異常值的方法可以從根源上避免異常信息對定位結(jié)果的影響。

文獻(xiàn)[12]指出:測向線所給信息是目標(biāo)定位和分選的全部依據(jù)；一條測向線說明目標(biāo)可能在離線很近的地方，而很少可能在離線很遠(yuǎn)的地方。因此，當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)測量的方位信息都較為準(zhǔn)確時(shí)，方位交線產(chǎn)生的目標(biāo)初始估計(jì)位置會(huì)緊密分布在目標(biāo)真實(shí)位置附近；而當(dāng)節(jié)點(diǎn)觀測的方位信息出現(xiàn)異常時(shí)，異常值對應(yīng)的目標(biāo)初始估計(jì)位置會(huì)遠(yuǎn)離于其余初始位置。利用這一分布特征，本文針對異常值出現(xiàn)的情況，提出了基于支持向量數(shù)據(jù)描述(support vector data description，SVDD)的目標(biāo)定位方法。該方法將目標(biāo)定位與異常值識別有機(jī)結(jié)合，首先使用SVDD對方位交線方法所產(chǎn)生的目標(biāo)初始估計(jì)位置進(jìn)行一分類處理，然后利用位于超球面外的外點(diǎn)識別出異常值并將其剔除，最后利用剩余的方位信息對目標(biāo)進(jìn)行定位。本文方法可以有效篩選出異常值，避免異常值對定位精度的影響。

1 觀測模型

圖1 方位觀測模型

(1)

當(dāng)有異常情況出現(xiàn)時(shí)，第i個(gè)節(jié)點(diǎn)觀測的方位信息利用高斯混合模型表示

(2)

式中：τi∈{0,1}為獨(dú)立同分布的Bernoulli隨機(jī)變量，代表是否有異常值出現(xiàn)，若有異常值則τi=1，反之τi=0，假設(shè)異常值出現(xiàn)的概率為pi=Pr{τi=1}；mi為在[-π,π]均勻分布的沖擊噪聲。

2 基于SVDD在異常值出現(xiàn)時(shí)的目標(biāo)定位方法

2.1 目標(biāo)位置的初始估計(jì)

i,j=1,2,…,M且i≠j

(3)

(4)

式中，[xi,yi]，[xj,yj]分別為第i，j個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。

2.2 目標(biāo)位置初始估計(jì)值的分布特征

圖2 目標(biāo)位置的初始估計(jì)分布

因此，可以根據(jù)目標(biāo)位置初始估計(jì)值的分布特征篩選出異常值，將其剔除后再利用其余正常觀測方位信息對目標(biāo)位置進(jìn)行估計(jì)，這種方法可以從根本上避免異常信息對目標(biāo)定位精度的影響。從所有初始估計(jì)值中篩選離散點(diǎn)(異常值引起的初始估計(jì)值)的過程可由單分類算法來實(shí)現(xiàn)。SVDD方法作為一種單分類器，可在給定的一個(gè)數(shù)據(jù)集周圍確定一個(gè)閉合的超球體，使該超球體能夠幾乎包含所有數(shù)據(jù)樣本的最小超球體，因此本文利用SVDD方法劃定類別邊界進(jìn)行離散點(diǎn)檢測。

2.3 基于SVDD的目標(biāo)定位方法

支持向量機(jī)由Vapnik[14]于20世紀(jì)90年代提出，最初用于解決二分類問題。隨后，Tax等[15]將統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論通過支持向量機(jī)的形式擴(kuò)展到無指導(dǎo)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，提出了一種新的數(shù)據(jù)描述方法——SVDD方法。SVDD方法是一種單分類方法，其基本思想是：通過非線性變換將目標(biāo)樣本映射到一個(gè)高維的特征空間，在高維空間建立一個(gè)封閉而緊湊的最小超球體，權(quán)衡超球體半徑和它所包含的樣本映像的數(shù)目，使其包含的樣本映像數(shù)量最多[16]。

由于異常值的影響，數(shù)據(jù)集的樣本特征不是集中分布的，而是存在離散的數(shù)據(jù)分布。這些樣本的分布存在以下三種可能：

(1)對應(yīng)樣本Xi到超球體球心的距離小于R，即該樣本在球體內(nèi)，稱為內(nèi)點(diǎn)；

(2)對應(yīng)的樣本Xi位于超球面上，稱為支持向量；

(3)若Xi落在超球體外，稱為外點(diǎn)(即離散點(diǎn))。

外點(diǎn)是由異常值引起的，由于每個(gè)樣本都對應(yīng)了兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的測量值(參見式(3))，因此可由外點(diǎn)反推出異常值。將異常值剔除后，使用剩余的方位信息求解得到最終的目標(biāo)位置。

基于SVDD去除異常值的目標(biāo)定位方法具體步驟為：

步驟1每個(gè)節(jié)點(diǎn)分別對目標(biāo)進(jìn)行方位估計(jì)，利用方位交線方法，得到N個(gè)交點(diǎn)X1，X2，…，XN，將其作為樣本集；

步驟2利用SVDD方法對樣本集進(jìn)行分類，檢測出外點(diǎn)；

步驟3找出每個(gè)外點(diǎn)所對應(yīng)的兩個(gè)方位信息序號，并統(tǒng)計(jì)序號的出現(xiàn)次數(shù)；篩選出現(xiàn)次數(shù)大于等于t的所有序號，將這些序號對應(yīng)的觀測值視為異常值，假設(shè)篩選出的異常值個(gè)數(shù)為n；

(5)

其中，

(6)

在所提的方法中，t起到了一個(gè)門限的作用，即：如果外點(diǎn)對應(yīng)的方位統(tǒng)計(jì)次數(shù)大于等于t，則認(rèn)為該方位信息為異常值。如果t的值越大，則認(rèn)定某個(gè)方位信息為異常值的門限越高，即有可能識別不出異常值；反之，門限越低，意味著可能會(huì)將正常方位信息誤判為異常值，出現(xiàn)虛警的情況。在實(shí)際應(yīng)用中，t的大小與異常值出現(xiàn)的概率pi、方位估計(jì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σi有關(guān)。當(dāng)pi增大時(shí)，外點(diǎn)的個(gè)數(shù)也會(huì)增加，t的值應(yīng)該適當(dāng)增大；反之，t的值應(yīng)適當(dāng)減小。另一方面，當(dāng)正常方位估計(jì)誤差的σi比較大時(shí)，利用該方位信息得到的目標(biāo)初始估計(jì)位置會(huì)越偏離目標(biāo)真實(shí)位置，從而被SVDD方法識別為外點(diǎn)的概率也會(huì)增加，因此需要適當(dāng)增加t的值，避免造成誤判；反之，可適當(dāng)減小t的值，降低門限，提高異常值的識別概率。

3 仿 真

本文分別采用LS估計(jì)方法、基于k-means聚類算法的定位方法與本文所提基于SVDD方法去異常值后使用LS(LS after removing unreliable measurements based on SVDD，SVDD-LS)定位方法進(jìn)行定位精度比較。其中，LS估計(jì)方法是使用所有觀測值、利用LS估計(jì)方法得到目標(biāo)位置；基于k-means聚類算法的定位方法是指先采用k-means聚類算法找出異常值并將其剔除，使用剩余觀測值、利用LS估計(jì)得到目標(biāo)位置，簡稱為基于k-means聚類算法去異常值后使用LS(LS after removing unreliable measurements based on k-means，k-means-LS)定位方法。定位精度選取均方根誤差(root-mean-square error，RMSE)來衡量，計(jì)算公式為

(7)

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

假設(shè)M個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)均勻分布在5 000 m×5 000 m的區(qū)域內(nèi)；目標(biāo)位于[2 500 m,2 500 m]。每個(gè)節(jié)點(diǎn)方位估計(jì)誤差ni的標(biāo)準(zhǔn)差σi都相等；每個(gè)節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)異常的概率pi相等。SVDD方法中懲罰因子取0.2，選用高斯函數(shù)作為核函數(shù)，核帶寬選取500。k-means聚類算法中聚類的個(gè)數(shù)為2，篩選類內(nèi)元素個(gè)數(shù)最少的聚類個(gè)數(shù)為1。蒙特卡洛仿真次數(shù)為1 000。

3.2 定位精度比較

(1)pi對SVDD-LS方法定位精度的影響

當(dāng)有10個(gè)節(jié)點(diǎn)，且每個(gè)節(jié)點(diǎn)方位估計(jì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差均σi為1°時(shí)，圖3比較了SVDD-LS方法在t的值分別為3，4，5，6時(shí)的RMSE隨異常值出現(xiàn)概率pi的變化情況。當(dāng)t=3，pi≥0.03和t=4，pi=0.11時(shí)的RMSE均超過了1 000 m，所以在圖3中沒有顯示出來。

圖3 均方根誤差隨異常值出現(xiàn)概率的變化情況

3.2.2σi對定位精度的影響

本節(jié)討論方位估計(jì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σi對LS、k-means-LS和SVDD-LS這三種方法定位精度的影響。假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)異常的概率pi=0.01。當(dāng)M=10時(shí)，圖4比較了LS、k-means-LS和SVDD-LS這三種方法的RMSE隨σi的變化情況。其中，σi的值由0.5°逐漸增加到7°，步長為0.5°，SVDD-LS的兩條曲線分別是在t的取值為4和6的情況下繪制的。本節(jié)將LS方法的定位精度作為對比基準(zhǔn)，k-means-LS和SVDD-LS方法都與LS方法進(jìn)行比較。

由圖4可以看出，隨著σi的增加，三種方法的RMSE都隨之增加。當(dāng)σi≤3°時(shí)，k-means-LS方法的RMSE有所減??；但是隨著σi的進(jìn)一步增大，k-means-LS的定位精度逐漸降低，其RMSE甚至超過了LS方法，這是由于σi越大時(shí)，目標(biāo)初始估計(jì)位置會(huì)越來越偏離目標(biāo)真實(shí)位置，使樣本愈加離散，k-means聚類算法在這種情況下不能很好地準(zhǔn)確識別出異常值，導(dǎo)致k-means-LS方法的定位性能越來越差。對于SVDD-LS方法，當(dāng)t=4時(shí)，其在方位估計(jì)誤差較小時(shí)(σi≤3°)的RMSE最低；在3<σi≤5的區(qū)間內(nèi)，t=4和t=6兩條曲線幾乎重疊，此時(shí)定位精度接近；當(dāng)定位誤差增加到更大的值時(shí)(σi>5°)，目標(biāo)初始估計(jì)位置的分布會(huì)更加分散，當(dāng)門限t比較小時(shí)，容易出現(xiàn)誤判的情況，造成t=4對應(yīng)的RMSE快速增加，當(dāng)t增加到6時(shí)，SVDD-LS方法的RMSE最低，仍能表現(xiàn)出較好的定位性能。

圖4 均方根誤差隨方位估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差的變化情況

3.2.3M對定位精度的影響

當(dāng)pi=0.01時(shí)，圖5比較了LS、k-means-LS和SVDD-LS三種方法的RMSE隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)M的變化情況，其中，圖5(a)中的參數(shù)設(shè)置為σi=1°,t=4，圖5(b)中的σi=4°,t=9。

圖5 均方根誤差隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況

由圖5可看出，當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)由5逐漸增加到17時(shí)，三種方法的RMSE都隨之下降，但是LS方法的RMSE仍然是最大的，這說明異常值的出現(xiàn)使LS方法的定位性能下降，而通過剔除異常值的辦法可以避免其對定位精度的影響，提高目標(biāo)定位精度。在三種方法中，SVDD-LS方法的RMSE降幅最大，表明該方法可以有效提高定位性能。當(dāng)異常值出現(xiàn)概率pi較小且一定時(shí)，M的增加意味著樣本個(gè)數(shù)和內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加。如果σi較小，即使內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加，但是其依然會(huì)較緊密地圍繞在目標(biāo)真實(shí)位置附近，SVMM-LS方法仍然可以較好地識別出外點(diǎn)，展現(xiàn)出較好的定位性能，見圖5(a)；而當(dāng)σi較大時(shí)，內(nèi)點(diǎn)數(shù)量的增加會(huì)使樣點(diǎn)分布更加分散，可通過適量調(diào)高門限t避免誤判，使SVMM-LS方法維持較低的RMSE，見圖5(b)。

4 結(jié) 論

本文針對異常值影響目標(biāo)定位精度的問題，基于SVDD方法提出了去除異常值的目標(biāo)定位方法。該方法利用“異常值產(chǎn)生的目標(biāo)位置初始估計(jì)值遠(yuǎn)離真實(shí)位置、正常觀測值產(chǎn)生的初始估計(jì)值接近真實(shí)位置”的分布特征，首先采用SVDD方法對外點(diǎn)進(jìn)行檢測從而篩選出異常值，然后在使用LS估計(jì)方法計(jì)算目標(biāo)位置時(shí)將異常值剔除、僅使用其余正常觀測值，因此可以從根源上避免異常值對定位精度的影響。仿真結(jié)果表明，該方法可以有效識別異常值，其定位精度優(yōu)于LS和k-means-LS定位方法。