考慮支撐面虛擬彈性剛度的多支撐點(diǎn)反力計(jì)算

徐金帥 齊朝暉 卓英鵬 劉海波 高凌翀

1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連，116024 2.太原重工股份有限公司工程機(jī)械研究所，太原，030021 3.慕尼黑工業(yè)大學(xué)物流搬運(yùn)與起重研究所，慕尼黑，85748

0 引言

針對(duì)各類形式支撐結(jié)構(gòu)的多支撐點(diǎn)反力計(jì)算問(wèn)題，研究人員進(jìn)行了大量系統(tǒng)深入的研究。文獻(xiàn)[1-4]以力矩分配法為核心，在四支腿支撐反力計(jì)算與工程應(yīng)用方面進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[5-7]通過(guò)對(duì)邊界條件的假設(shè)，增加支撐點(diǎn)反力協(xié)調(diào)方程，解決汽車起重機(jī)支腿的超靜定求解問(wèn)題。劉振國(guó)等[8]、劉永等[9]對(duì)一種八支腿高次超靜定結(jié)構(gòu)的鐵路救援起重機(jī)進(jìn)行支撐點(diǎn)反力計(jì)算。崔書文等[10]、ZHAO等[11]利用ANSYS有限元計(jì)算軟件對(duì)不同機(jī)械設(shè)備以綁定支撐點(diǎn)的方式進(jìn)行計(jì)算。KWONHEE等[12]基于剛體模型，利用ADAMS動(dòng)力學(xué)計(jì)算軟件建立支腿與支撐面之間法向接觸力模型，進(jìn)行支腿支撐反力計(jì)算。姜旭等[13]采用ANSYS有限元計(jì)算軟件建立含地基模擬的非線性單元的履帶起重機(jī)底盤有限元模型，計(jì)算支重輪的支撐反力。

工程中很多機(jī)械設(shè)備并不對(duì)支撐點(diǎn)施加脫離支撐面的約束，即支撐面只對(duì)支撐點(diǎn)產(chǎn)生豎直向上的力，當(dāng)支撐點(diǎn)脫離支撐面時(shí)，支撐力消失，具有單面約束效應(yīng)。計(jì)算4個(gè)以上支撐點(diǎn)時(shí)，需要引入一定的假設(shè)與經(jīng)驗(yàn)判斷。采用有限元軟件進(jìn)行計(jì)算時(shí)，由于其約束無(wú)法考慮單面約束效應(yīng)[14]，需要通過(guò)反復(fù)計(jì)算的方式確定所需要解除約束的支撐點(diǎn)。采用單向受壓非線性單元模擬地基時(shí)引入的“開關(guān)效應(yīng)”也造成了收斂困難，因此還需進(jìn)一步完善。

實(shí)踐表明，受支撐面剛度的影響，作業(yè)過(guò)程中支撐點(diǎn)將產(chǎn)生微幅的剛體運(yùn)動(dòng)。本文引入與宏觀約束無(wú)關(guān)的微變量自由度來(lái)描述支撐點(diǎn)與支撐面間的接觸關(guān)系，同時(shí)引入虛擬彈性剛度來(lái)描述支撐面的抵抗能力，提出一種光滑化方法克服其“開關(guān)效應(yīng)”。依據(jù)宏觀載荷建立了由微變量自由度表示的平衡方程，通過(guò)求解非線性平衡方程可快速求解支撐點(diǎn)反力。最后用數(shù)值仿真與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的對(duì)比驗(yàn)證所提理論的正確性。

1 多支撐點(diǎn)反力計(jì)算的難點(diǎn)

機(jī)械設(shè)備中多支撐點(diǎn)的形式如圖1a所示。一旦這些支撐結(jié)構(gòu)不能提供有效的支撐反力，或者超限的壓力造成支撐面的沉降，就會(huì)使設(shè)備面臨傾覆的危險(xiǎn)，嚴(yán)重時(shí)將導(dǎo)致重大事故發(fā)生[15]，如圖1b所示。

(a)機(jī)械設(shè)備支撐形式

對(duì)于帶有支腿作業(yè)的機(jī)械設(shè)備尤其是起重輸送設(shè)備，底盤部分剛度大，在計(jì)算支撐點(diǎn)反力時(shí)，可以將其作為剛體考慮[3]，本文將所研究的支撐底盤作為剛體考慮。

建立計(jì)算模型的難點(diǎn)之一是如何增加未知變量數(shù)量超過(guò)平衡方程數(shù)量的協(xié)調(diào)方程。作業(yè)中的機(jī)械設(shè)備不會(huì)在支撐面上產(chǎn)生橫向滑移，也不會(huì)繞支撐地面法線方向轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)于支撐底盤，僅有豎直方向的位移以及水平面內(nèi)的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)共3個(gè)自由度，可以建立3個(gè)平衡方程。而對(duì)于一般不少于4個(gè)支撐點(diǎn)的機(jī)械設(shè)備，每個(gè)支撐點(diǎn)豎直方向的反力都是一個(gè)未知變量，如何增加滿足未知變量的協(xié)調(diào)方程是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題；另一個(gè)難點(diǎn)是非光滑化支撐點(diǎn)反力模型的建立。支撐面對(duì)于支撐點(diǎn)的約束并不限制支撐點(diǎn)與支撐面之間出現(xiàn)間隙，兩者之間的間隙大于或等于零，這種單面約束只能提供單向約束反力[16]，當(dāng)支撐點(diǎn)與支撐面接觸時(shí)，存在支撐反力；當(dāng)支撐點(diǎn)與支撐面之間出現(xiàn)間隙時(shí)，支撐反力為零。這種彈性剛度不連續(xù)的“開關(guān)效應(yīng)”會(huì)給方程數(shù)值求解帶來(lái)困難，因此，建立合理的支撐面虛擬彈性剛度與支撐點(diǎn)“縫隙”變量之間的合理關(guān)系，是另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

該方法不受支撐點(diǎn)數(shù)量與布置方式的限制，為復(fù)雜支撐形式的支撐點(diǎn)反力計(jì)算提供了一種便捷統(tǒng)一的求解策略。

2 支撐點(diǎn)的支撐形式與約束關(guān)系

很多機(jī)械設(shè)備支撐點(diǎn)與支撐面之間的剛體計(jì)算模型可以簡(jiǎn)化為圖2所示的形式。

(a)支腿支撐形式

支撐點(diǎn)與支撐面之間的約束具有單面約束的特點(diǎn)，支撐面不會(huì)限制支撐點(diǎn)離開支撐面。對(duì)于本文計(jì)算模型，又允許支撐點(diǎn)使得支撐面局部產(chǎn)生彈性變形[17]，從而產(chǎn)生支撐反力，如圖3所示。

(a)支腿支撐形式

在支撐面上選取參考點(diǎn)o，選取n為平面的外法線矢量，如果(rp-ro)·n>0，則表示該支撐點(diǎn)在支撐面之上，支撐點(diǎn)與支撐面之間不存在支撐反力。

對(duì)于這種具有單面約束特點(diǎn)的模型，本文也考慮建立支撐反力與支撐點(diǎn)縫隙的互補(bǔ)方程來(lái)解決未知變量數(shù)量多于平衡方程數(shù)量的問(wèn)題。假設(shè)有n個(gè)支撐點(diǎn)，將帶來(lái)n個(gè)縫隙未知量，通過(guò)引入的3個(gè)微變量對(duì)所有支撐點(diǎn)縫隙未知量進(jìn)行表達(dá)，那么未知量的數(shù)量為n+3，通過(guò)建立n個(gè)支撐反力與縫隙互補(bǔ)方程，結(jié)合第1節(jié)中提到的3個(gè)平衡方程，可以建立滿足支撐點(diǎn)未知數(shù)數(shù)量的方程。這種增加方程方式的計(jì)算結(jié)果雖然能夠得到很高精度的滿足平衡方程，但存在很多計(jì)算結(jié)果明顯不符合工程實(shí)際的情況。這種情況發(fā)生的本質(zhì)原因是忽略了支撐點(diǎn)反力與其支撐面變形量的比例關(guān)系，也從另外一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了如果僅從滿足支撐點(diǎn)平衡方程的原則考慮問(wèn)題，可以得到多組解，這顯然是不合理的。

考慮更接近實(shí)際情況的支撐反力計(jì)算應(yīng)該滿足3個(gè)原則：①支撐點(diǎn)滿足剛體運(yùn)動(dòng)；②支撐面變形越大，支撐反力越大；③支撐反力滿足力與力矩的平衡方程。因此，本文引入支撐面的虛擬彈性剛度，使支撐點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)符合剛體運(yùn)動(dòng)事實(shí)。

3 模型載荷等效與支撐點(diǎn)接觸縫隙

3.1 模型等效載荷

對(duì)于絕大多數(shù)常規(guī)機(jī)械設(shè)備的支撐點(diǎn)結(jié)構(gòu)布局，都采用對(duì)稱或近似對(duì)稱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，故對(duì)于簡(jiǎn)化的計(jì)算模型，可以根據(jù)支撐點(diǎn)位置參數(shù)確定其平面形心點(diǎn)，圖2中坐標(biāo)系原點(diǎn)的所在位置為所有支撐點(diǎn)的平面形心。外部載荷均可轉(zhuǎn)換為垂直載荷與傾翻力矩兩種載荷形式，通過(guò)回轉(zhuǎn)支承將載荷傳遞到支撐點(diǎn)，然而并不是所有的回轉(zhuǎn)支承所在的位置都是支撐點(diǎn)平面形心位置，因此，需要將載荷作用位置等效平移至平面形心處，稱之為力系等效。力系等效反映了作用在剛體上載荷的一個(gè)非常重要的性質(zhì)[18]。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，力系等效本質(zhì)上是力的虛功率等效的一種體現(xiàn)。

如圖4所示，rp、ro為剛體在總體坐標(biāo)系中的矢徑，rpo為p點(diǎn)到o點(diǎn)的矢徑。對(duì)于剛體上任意一點(diǎn)，其相對(duì)于總體坐標(biāo)系的角速度ω是相同的。剛體上p點(diǎn)所承受的合力與力矩分別為Fp、Mp，將p點(diǎn)載荷等效到任意點(diǎn)o處的力系為Fo、Mo，o點(diǎn)在總體坐標(biāo)系中的矢徑和速度分別為

圖4 剛體的力系等效圖Fig.4 Force system equivalence on rigid body

ro=rp+rpo

(1)

(2)

p點(diǎn)的虛速度

(3)

(4)

根據(jù)虛功率原理，若剛體上兩點(diǎn)的力系作用效果相同，則它們對(duì)應(yīng)的虛功率是等價(jià)的，即

(5)

將式(3)代入式(5)，可以得到

(6)

由式(6)可以得到

(7)

對(duì)于一個(gè)剛體來(lái)說(shuō)，力的作用效果反映在力系虛功率上，如果兩個(gè)力系虛功率一致，那么這兩個(gè)力系作用效果相同。

3.2 微變量與接觸縫隙的關(guān)系

對(duì)于工作狀態(tài)中的機(jī)械設(shè)備，引入的3個(gè)微變量分別為豎直方向的微小位移、支撐面內(nèi)繞兩個(gè)軸矢量方向的微小轉(zhuǎn)角。引入的微變量?jī)H在計(jì)算接觸點(diǎn)的支撐反力過(guò)程中出現(xiàn)，它不會(huì)改變整體模型的宏觀約束。

本文中所描述的縫隙包含兩個(gè)方面的意義，當(dāng)計(jì)算的縫隙數(shù)值為正值時(shí)，支撐點(diǎn)與支撐面之間出現(xiàn)間隙；當(dāng)計(jì)算的縫隙數(shù)值為負(fù)值時(shí)，支撐點(diǎn)使得支撐面產(chǎn)生變形量。所有支撐點(diǎn)的接觸間隙都可以通過(guò)這3個(gè)微變量進(jìn)行表達(dá)。每個(gè)支撐點(diǎn)的縫隙gi為支撐點(diǎn)軸向位移以及由小轉(zhuǎn)角產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)疊加得到：

(8)

式中，gi(i=1,2,…,n)為任意支撐點(diǎn)縫隙；[uαβ]T為支撐點(diǎn)的3個(gè)微變量自由度；[rixriy0]T為任意支撐點(diǎn)矢徑。

4 支撐面虛擬彈性剛度與支撐點(diǎn)載荷

4.1 虛擬彈性剛度曲線光滑化與支撐點(diǎn)載荷

工程中的機(jī)械設(shè)備作業(yè)環(huán)境相對(duì)復(fù)雜多變，支撐面具有一定彈性，要準(zhǔn)確得到其作業(yè)的支撐面彈性剛度是比較困難的[5]，對(duì)于本文的計(jì)算方法沒(méi)有具體實(shí)際意義。本文計(jì)算模型所采用的支撐面剛度為一虛擬彈性剛度數(shù)值，并不是將其作為實(shí)際彈性剛度，其數(shù)據(jù)僅在計(jì)算中作為過(guò)程變量使用。支撐點(diǎn)作用在支撐面上，支撐面所產(chǎn)生的變形越大，支撐載荷越大。假設(shè)支撐面虛擬彈性剛度為K，其單位量綱與計(jì)算中所采用的載荷以及位置單位量綱保持一致。其中，任意支撐點(diǎn)反力Fi與縫隙gi的關(guān)系滿足以下方程：

(9)

通過(guò)式(9)可以將縫隙gi與彈性剛度K之間的關(guān)系用圖5a來(lái)形象地表示。這種分段函數(shù)關(guān)系使非線性數(shù)值計(jì)算產(chǎn)生困難，而借鑒研究人員對(duì)非光滑化庫(kù)侖摩擦模型的處理方式[19-20]，采用非線性函數(shù)對(duì)縫隙-虛擬彈性剛度模型進(jìn)行修正，使其成為光滑化函數(shù)，能夠很好地解決數(shù)值求解的困難，如圖5b所示。

(a)分段函數(shù) (b)光滑化函數(shù)圖5 縫隙-虛擬彈性剛度函數(shù)關(guān)系Fig.5 Relationship between gap-virtual elastic stiffness

在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)構(gòu)造的插值多項(xiàng)式的要求不僅僅局限于插值點(diǎn)的函數(shù)值相同，還需要滿足若干階導(dǎo)數(shù)值相同。在縫隙gi負(fù)值段取縫隙參數(shù)的微段h作為過(guò)渡段。采用五次赫米特插值，使彈性剛度值能夠均勻過(guò)渡，同時(shí)保證了整個(gè)過(guò)渡曲線的二階連續(xù)性。K(x)為所取微段內(nèi)任意點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的虛擬剛度值：

K(x)=N1K(x1)+N2K(x2)+N3K′(x1)+
N4K′(x2)+N5K″(x1)+N6K″(x2)

(10)

其中，x1=0，x2=-h，型函數(shù)Ni(i=1,2,…,n)為

Ni=aix5+bix4+cix3+dix2+eix+fi

(11)

根據(jù)虛擬彈性剛度與支撐點(diǎn)縫隙的關(guān)系，過(guò)渡函數(shù)初值以及一二階導(dǎo)數(shù)值確定如下：

(12)

結(jié)合式(10)～式(12)，得到虛擬彈性剛度過(guò)渡函數(shù)：

K(d)=d3(10-15d+6d2)K

(13)

d=-gi/h

結(jié)合式(9)、式(13)，式(9)改寫為

(14)

4.2 支撐反力的非線性平衡方程與初值

根據(jù)計(jì)算模型的外部載荷對(duì)，對(duì)所有支撐點(diǎn)可以建立以下3個(gè)平衡方程：

(15)

式中，F(xiàn)z、Mx、My為計(jì)算支撐反力計(jì)算工況下，機(jī)械設(shè)備對(duì)應(yīng)的外部垂直載荷與傾翻力矩；Fi為第i個(gè)支撐點(diǎn)的支撐反力。

對(duì)于非線性方程的求解，合理的初值能夠更好地提高計(jì)算效率以及計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。多支撐點(diǎn)機(jī)械設(shè)備的初始狀態(tài)是無(wú)外部載荷，僅考慮整機(jī)自重。整機(jī)自重使得機(jī)械設(shè)備的支撐點(diǎn)在彈性支撐面上有豎直向下的位移，而整機(jī)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)在初始狀態(tài)下可以忽略，因此，對(duì)于具有n個(gè)支撐點(diǎn)的計(jì)算模型，本文所引入的3個(gè)微變量的初值可以按照以下方式表達(dá)：

(16)

4.3 虛擬彈性剛度與微長(zhǎng)度段縫隙段參數(shù)

作為計(jì)算中的過(guò)程變量，支撐面的虛擬彈性剛度K雖然不代表支撐面的實(shí)際剛度，但其剛度值與微長(zhǎng)度段縫隙參數(shù)h的匹配對(duì)最終的計(jì)算結(jié)果是有影響的。一個(gè)重要原則是非線性方程組的最終數(shù)值解對(duì)應(yīng)的虛擬彈性剛度值，取值必須在光滑過(guò)渡曲線段之外，使所有支撐點(diǎn)反力大小與支撐面的彈性變形遵守統(tǒng)一的比例原則。顯然對(duì)于微長(zhǎng)度段h的取值在虛擬彈性剛度值確定的情況下越小，越容易使虛擬彈性剛度值在過(guò)渡曲線段之外。但如果取值過(guò)小，會(huì)使過(guò)渡段光滑化曲線變化率隨之增加。在符合微變量概念前提下，虛擬彈性剛度可以取較大值，在微長(zhǎng)度段h取值與虛擬彈性剛度的乘積不大于0.1的條件下，會(huì)得到穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果。

5 數(shù)值計(jì)算

5.1 數(shù)值算例對(duì)比

對(duì)于常規(guī)四支腿形式的汽車起重機(jī)支腿反力計(jì)算，有多種計(jì)算方法，但到底哪一種更為合理準(zhǔn)確，至今未有定論[21]。國(guó)內(nèi)外很多起重機(jī)廠家也給出了工程中計(jì)算算法，結(jié)合文獻(xiàn)[22]給出的4種不同算法在QY16型汽車起重機(jī)參數(shù)下的計(jì)算結(jié)果對(duì)比。QY16型汽車起重機(jī)的支腿與載荷參數(shù)見(jiàn)表1，兩種不同臂架回轉(zhuǎn)角度θ下的計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表2、表3，其中，RA、RB、RC、RD分別對(duì)應(yīng)圖6中4個(gè)支撐點(diǎn)的反力。

表1 QY16汽車起重機(jī)參數(shù)Tab.1 Parameters of QY16 truck crane

表2 90°臂架角度計(jì)算數(shù)據(jù)Tab.2 Calculation data with 90° boom angle

表3 135°臂架角度計(jì)算數(shù)據(jù)Tab.3 Calculation data with 135° boom angle

圖6 四支腿汽車起重機(jī)計(jì)算模型簡(jiǎn)圖Fig.6 Calculation model of truck crane with four outriggers

由表3數(shù)據(jù)對(duì)比可知：采用不同的假設(shè)條件得到的計(jì)算數(shù)據(jù)有一定差異，但基本趨勢(shì)保持一致，最大支腿力差比為5%。本文滿足以下兩個(gè)基本事實(shí)：①支撐點(diǎn)滿足剛體運(yùn)動(dòng)；②支撐反力大小與支撐面彈性變形成線性比例。伊藤?gòu)V法與工程法同樣基于剛體假設(shè)計(jì)算，在簡(jiǎn)單四點(diǎn)對(duì)稱形式下計(jì)算數(shù)據(jù)一致性較高。文獻(xiàn)[21]和有限元法考慮底盤的柔性，前者支撐點(diǎn)與支撐面綁定，忽略支撐點(diǎn)剛體運(yùn)動(dòng)事實(shí)；后者則直接將支撐部件進(jìn)行簡(jiǎn)化，用梁?jiǎn)卧獊?lái)逼近結(jié)構(gòu)柔性。由計(jì)算數(shù)據(jù)可以看出，結(jié)構(gòu)柔性對(duì)于支腿反力有一定的影響。結(jié)合本文解決多點(diǎn)支撐反力的思想，將結(jié)構(gòu)柔性考慮在內(nèi)也值得深入研究。

5.2 產(chǎn)品試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

以太原重工股份有限公司TZT1200型履帶底盤伸縮臂架起重機(jī)為試驗(yàn)機(jī)型，通過(guò)測(cè)試支腿油缸的壓力數(shù)據(jù)，將壓力與支腿力進(jìn)行換算，對(duì)比試驗(yàn)與計(jì)算數(shù)據(jù)，如圖7所示。計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比工況參數(shù)見(jiàn)表4，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比數(shù)據(jù)見(jiàn)表5。

表4 TZT1200參數(shù)Tab.4 Parameters of TZT1200

圖7 TZT1200吊載試驗(yàn)Fig.7 TZT1200 lifting test

本產(chǎn)品底盤剛度相對(duì)較大，而外伸支腿結(jié)構(gòu)柔性對(duì)支撐點(diǎn)反向載荷有一定影響。由表5計(jì)算數(shù)據(jù)比較可以發(fā)現(xiàn)，基于本文方法進(jìn)行計(jì)算，支腿最大載荷點(diǎn)誤差2%左右，可以滿足工程精度要求。本文算法數(shù)據(jù)與有限元法計(jì)算最大誤差在5%以內(nèi)，同時(shí)在四支腿均受力的情況下，本文算法與工程法結(jié)果是一致的，驗(yàn)證了計(jì)算方法的可靠性。

表5 TZT1200計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Tab.5 Comparisons between calculation results and test results of TZT1200

5.3 履帶底盤與環(huán)形軌道多點(diǎn)支撐算例計(jì)算

以650 t級(jí)履帶起重機(jī)為例，計(jì)算高次超靜定形式支撐點(diǎn)反向載荷，選取4種計(jì)算工況，不同臂架工作角度下的輸入?yún)?shù)見(jiàn)表6，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。

表6 履帶起重機(jī)計(jì)算參數(shù)Tab.6 Calculation parameters of crawler crane

(a)0°角工況

基于ANSYS有限元計(jì)算軟件建立底盤結(jié)構(gòu)板殼單元有限元模型，在考慮彈性地基的基礎(chǔ)上，計(jì)算表6中支重輪載荷較復(fù)雜的45°與90°角工況，計(jì)算結(jié)果與本文結(jié)果對(duì)比曲線如圖9所示?？梢钥闯?，對(duì)于具有剛度較大的履帶起重機(jī)底盤，在承載狀態(tài)下，其支重輪載荷與本文計(jì)算結(jié)果趨勢(shì)一致，支重輪載荷誤差在0.5%以內(nèi)。

(a)45°角工況對(duì)比曲線

以320 t級(jí)船用起重機(jī)為例，選取固定臂架角度，不同吊重下的兩種工況，相關(guān)計(jì)算輸入?yún)?shù)見(jiàn)表7，計(jì)算結(jié)果如圖10所示，可以看出存在滾輪脫離支撐面的情況。

表7 船用起重機(jī)計(jì)算參數(shù)Tab.7 Calculation parameters of marine crane

基于ANSYS有限元計(jì)算軟件，根據(jù)320 t船用起重機(jī)滾輪支撐方式，建立滾輪安裝結(jié)構(gòu)有限元模型，滾輪支撐軌道可作為剛體支撐件考慮，將表7中兩種不同承載工況下的滾輪載荷進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與本文結(jié)果對(duì)比曲線如圖11所示，對(duì)于底盤剛度大的船用起重機(jī)滾輪載荷趨勢(shì)一致，載荷最大誤差在1%以內(nèi)。

(a)830 t垂直載荷工況

圖11 支撐點(diǎn)反向載荷計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.11 Comparison of calculation results of backload of support point

通過(guò)兩種不同布置形式的多支撐點(diǎn)反向載荷計(jì)算與數(shù)值算例對(duì)比曲線可以看出，本文計(jì)算方法能夠針對(duì)多支撐點(diǎn)在滿足剛體運(yùn)動(dòng)的前提下，不受支撐點(diǎn)布置方式、支撐點(diǎn)數(shù)量因素的限制，不僅可以快速計(jì)算各支撐點(diǎn)反向載荷，而且能夠高精度地滿足平衡方程。

6 結(jié)論

(1)本文方法避免了采用非線性單元計(jì)算支撐反向載荷耗時(shí)長(zhǎng)問(wèn)題，能夠方便地計(jì)算具有單面約束特征的高次超靜定多支撐點(diǎn)反向載荷。

(2) 借鑒非光滑化庫(kù)侖模型的處理方法，將具有單面約束特點(diǎn)的支撐點(diǎn)與支撐面之間的虛擬彈性剛度進(jìn)行光滑化處理，這種方式能夠解決類似形式非線性方程數(shù)值求解的困難。

(3) 通過(guò)算例數(shù)值計(jì)算及工程試驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了所提計(jì)算方法的有效性。該方法可成為工程中計(jì)算具有高次超靜定多支撐點(diǎn)支撐反向載荷的新途徑。

(4)在支撐結(jié)構(gòu)具有一定柔性的情況下，采用剛體假設(shè)計(jì)算也會(huì)帶來(lái)一定的誤差。因此，在考慮支撐面真實(shí)的剛度系數(shù)、支撐部件的彈性變形的基礎(chǔ)上，基于支撐點(diǎn)的單面約束特點(diǎn)，綜合考慮多變量之間的耦合影響，研究多支撐點(diǎn)反向載荷計(jì)算是本文后續(xù)研究的內(nèi)容。