操作中理解 對比中遷移 探究中發(fā)現(xiàn)
——例談《有余數(shù)除法》

江蘇省蘇州太湖國家旅游度假區(qū)舟山實驗小學(xué) 王燕琴

《有余數(shù)的除法》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊第一單元的內(nèi)容。這一知識的學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生掌握了表內(nèi)乘除法的基礎(chǔ)之上的。有余數(shù)除法和表內(nèi)除法是一個有機整體，表內(nèi)除法是有余數(shù)除法的基礎(chǔ)和起點，有余數(shù)除法是表內(nèi)除法的延伸和拓展。近日，我有幸參加了市小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比活動，正好執(zhí)教了這一課，下面就結(jié)合磨課歷程談一點思考。

一、注重操作，促進對知識的理解

【課前研討】

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，動手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)的有效方法。教材中例1對余數(shù)概念和有余數(shù)除法意義的理解，都是通過操作來實施的，從具象操作到符號表征，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深理解有余數(shù)除法的意義。而通過對學(xué)生進行前測時，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在實際生活中有分東西剩余的經(jīng)歷，他們對“余數(shù)”是有一些認(rèn)知的，但對于余數(shù)的產(chǎn)生以及意義認(rèn)識是不夠清晰的。因此，在教學(xué)時我們要聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)真實的學(xué)生喜聞樂見的情境，運用學(xué)生已有的認(rèn)知和經(jīng)驗，通過操作溝通有余數(shù)除法和表內(nèi)除法的關(guān)系，從而有效引導(dǎo)學(xué)生理解“有余數(shù)除法”的意義。

【課堂呈現(xiàn)】

師：大頭兒子在玩車子拼裝。10個輪子，每輛裝2個，你會分一分嗎？用一個算式表示。

生：10÷2=5（輛）

師：這個算式表示什么意思？

生：10個輪子，每輛裝2個，可以裝5輛。

師：10個輪子，2個2個地平均分，用除法表示。

師： 10個輪子，每輛裝5個，可以裝幾輛？你能用算式表示嗎？這個算式表示什么意思？

生：可以裝2輛，10÷5=2（輛），10個輪子，每輛裝2個，可以裝5輛。

師：10個輪子，每輛裝3個，結(jié)果會怎樣？請拿出10個圓片分一分。

學(xué)生操作，展臺交流：你們發(fā)現(xiàn)了什么？這1個還夠裝1輛嗎？

【課后反思】

抓住新舊知識的“聯(lián)結(jié)點”——平均分，創(chuàng)設(shè)大頭兒子“裝車輪”這一現(xiàn)實、有趣的問題情境，一方面激起了學(xué)生的探究欲望，使之積極主動地投入到“裝車輪”的活動中；另一方面依托裝車輪的問題情境，喚醒“正好分完”的舊知經(jīng)驗，然后借助“平均分”這一已有經(jīng)驗，將圓片3個3個地平均分，通過具體的操作豐富平均分的活動經(jīng)驗，隨后在操作的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生用語言表達平均分的過程和結(jié)果，為后面寫除法算式做鋪墊。

二、反復(fù)比較，實現(xiàn)知識的遷移

【課前研討】

我們開始認(rèn)為，學(xué)生在親歷操作活動，發(fā)現(xiàn)并理解了平均分有剩余的情況后，是能夠順利地將表內(nèi)除法的概念遷移出來，正確理解有余數(shù)除法的意義。但是，在實際教學(xué)中，很多學(xué)生無法列出有余數(shù)除法的算式。我們首先從學(xué)生的認(rèn)知角度進行了思考，維果茨基認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)的首要方法就是遷移，即設(shè)法把特定情境中形成的概念運用于一組新的物體或環(huán)境。事實證明，要實現(xiàn)從“表內(nèi)除法”到“有余數(shù)除法”這一遷移很困難。這里存在著兩個認(rèn)知沖突，一是平均分概念與分物分不完的沖突。學(xué)生之前認(rèn)識平均分，所遇到的情況都是正好能分完的。因此，他們已經(jīng)牢牢樹立了這么一個觀念：只要是能用除法表示的問題都是可以平均分的，而且沒有剩余。二是用口訣求商與不能計算之間的沖突。學(xué)生以往遇到的除法都是能用乘法口訣進行求商的，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)列出的除法算式不能用乘法口訣求出商時，就認(rèn)為一定是列式錯誤了，就沒法列出“10÷3=3……1”這樣的算式。

【課堂呈現(xiàn)】

師：觀察三次裝車輪，安裝的結(jié)果有什么不同？

生：裝2輪車、5輪車正好裝完，裝3輪車有剩余。

師：看來平均分一些物體時，會有兩種情況，有時剛好分完，有時會有剩余。

師：這種平均分正好分完的情況可以用除法算式表示，那這種平均分后有剩余的情況，你也能寫一寫算式嗎？

呈現(xiàn)學(xué)生的算式，觀察比較：

10÷3=3（輛）

10-1÷3=3（輛）

10÷3=3（輛）……1（個）

師：三個算式不一樣，但都想到了——除以3。10個輪子3個3個平均分，所以用10÷3表示。

師：這里都有1，這個1表示什么意思？

生：表示剩余的1個。

教師邊板書邊講述：數(shù)學(xué)上我們在商的后面加上“……”，再把剩余的個數(shù)寫在后面。

調(diào)引大江大河的水，引蓄當(dāng)?shù)厮畮?、湖泊的水，集蓄雨水，提取地下水，調(diào)蓄到水源性坑塘中，滿足農(nóng)民生活用水要求，是關(guān)系農(nóng)民群眾身體健康的民生問題。為了改善坑塘蓄水環(huán)境，應(yīng)嚴(yán)格實行水源性坑塘保護、水質(zhì)監(jiān)測和水質(zhì)處理相結(jié)合的措施，使坑塘水質(zhì)符合國家《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》和《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》。同時，因地制宜建立集中式供水工程和分散式供水工程，經(jīng)過混凝、沉淀、過濾、消毒等工藝處理，使水質(zhì)達到國家《生活飲用水衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》。再經(jīng)過硬質(zhì)管道入戶，讓農(nóng)民喝上干凈達標(biāo)的潔凈水、放心水。

【課后反思】

教學(xué)過程中，我們要充分運用直觀和算式進行對比，在對比中使學(xué)生理解什么是余數(shù)以及其意義。并且通過對比，溝通直觀表征、語言表征、符號表征之間的轉(zhuǎn)換，使學(xué)生清楚它們所表示的意思是一樣的，只是表達形式不同，從而深化對有余數(shù)除法的理解。在這一教學(xué)過程中，首先通過三次分車輪的結(jié)果進行對比，使學(xué)生明確平均分的兩種情況，“正好分完”和“分后有剩余”，緊接著讓學(xué)生試著寫算式，學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)除法的經(jīng)驗，平均分用除法表示，大部分學(xué)生都能寫出10÷3，但是不知道剩余的1個怎么表示，有的寫在前面“10-1”，有的加在后面，于是我們抓住這些不同的算式請學(xué)生再次進行比較：三個算式雖然不一樣，但都用了“10÷3”表示，使學(xué)生再次明確平均分用除法表示，隨后抓住1的不同表示方法進行規(guī)定寫法的引導(dǎo)，學(xué)生對于有余數(shù)除法意義的理解也隨著算式的自然呈現(xiàn)而更加深刻。

三、拾階而上，規(guī)律探究水到渠成

【課前研討】

理解“余數(shù)必須比除數(shù)小”是學(xué)生認(rèn)識上的難點，教材設(shè)計了用小棒擺正方形的活動：每4根小棒擺一個正方形，用12、13、14、15、16根小棒能擺幾個正方形？學(xué)生先擺一擺，填寫除法算式中的商和余數(shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較除法算式中的除數(shù)和余數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。但是教材上只有呈現(xiàn)了擺正方形這一種情況，并且余數(shù)1，2，3只出現(xiàn)了一次，學(xué)生對余數(shù)和除數(shù)關(guān)系的感悟不夠深刻，那么如何突破這一難點？使學(xué)生對余數(shù)和除數(shù)關(guān)系的理解水到渠成呢？

【課堂呈現(xiàn)】

師：搭一個正方形需要幾根小棒？8根小棒可以搭幾個正方形？（學(xué)生回答）

師：像這樣用12、13、14、15、16根小棒搭正方形，結(jié)果會怎樣？請拿出研究單，圈一圈，寫一寫。

師：17根小棒搭正方形，余數(shù)會是幾？18根、 19根呢？

師：觀察算式中的余數(shù)和除數(shù)，你有什么想說的？

生：除數(shù)都是4，余數(shù)都是1、2、3

師：余數(shù)怎么沒有4呢？

生：因為4根小棒又可以搭一個正方形，沒有余數(shù)了。

師：繼續(xù)搭五邊形，除數(shù)是5，余數(shù)可能是幾？ 可能是5嗎？

生：不可能，因為5根小棒又可以搭一個五邊形了。

師：看來，除數(shù)是5，余數(shù)只可能是1、2、3、4

師：搭六邊形，除數(shù)是6，余數(shù)可能是幾？

師：比較這些余數(shù)和除數(shù)，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)了余數(shù)都比除數(shù)小

【課后反思】

在探索“余數(shù)比除數(shù)小”這一規(guī)律時，我們在教材原有基礎(chǔ)上進行延伸，放手讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)余數(shù)的特點，通過在學(xué)習(xí)單上圈一圈、填一填，發(fā)現(xiàn)余數(shù)總在1、2、3之間變化，完成縱向探究；然后再讓學(xué)生猜想搭五邊形、六邊形，余數(shù)可能是幾，進行橫向探究，在豐富的活動材料支撐下，學(xué)生得出“余數(shù)比除數(shù)小”這一規(guī)律便是呼之欲出了。三次搭小棒活動，學(xué)生一步步自主經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程，獲得成功的體驗。

波利亞指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。因此，我們在概念教學(xué)時， 要根據(jù)學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，觀察分析、抽象概括， 自覺獲取事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律。本節(jié)課，在具體的情境中理解概念，重視引導(dǎo)學(xué)生在具體的情境中理解數(shù)學(xué)知識，從直觀、形象、具體的材料入手，讓學(xué)生經(jīng)歷具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，在觀察、猜測、操作和歸納等活動中自主、合作探究形成自己的認(rèn)識，使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗的同時獲得直接經(jīng)驗。