模型思想在小學(xué)計(jì)算教學(xué)中的滲透

江蘇省揚(yáng)州市汶河小學(xué) 余 璟

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要部分，良好的計(jì)算能力可為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。然而，受知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的限制，學(xué)生間的計(jì)算能力水平參差不齊，造成這一現(xiàn)象的原因主要有兩個(gè)方面，一是心理方面，包括感知粗略、記憶錯(cuò)漏以及情緒不穩(wěn)等；二是基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方面，包括缺乏基礎(chǔ)知識(shí)、不理解計(jì)算基本原理以及技能未形成等。針對(duì)計(jì)算教學(xué)中存在的問(wèn)題，就需要教師加強(qiáng)對(duì)計(jì)算教學(xué)模式的研究與創(chuàng)新。隨著新課程改革的深入發(fā)展，模型思想成為數(shù)學(xué)教學(xué)中重點(diǎn)培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一，而所謂模型思想，是指針對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)研究數(shù)學(xué)模型來(lái)尋求解答方法的一種數(shù)學(xué)思想。模型思想在小學(xué)計(jì)算教學(xué)中的滲透，對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)有著積極的促進(jìn)作用。所以，在數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)積極應(yīng)用模型思想，結(jié)合教學(xué)實(shí)際建立科學(xué)化思想模型。

一、基于抽象表征，準(zhǔn)備數(shù)學(xué)模型

小學(xué)階段學(xué)生的思維以具體形象思維為主，同時(shí)伴有一定的直觀思維，即學(xué)生在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，會(huì)首先感知數(shù)據(jù)和符號(hào)組成的算式。然而數(shù)學(xué)知識(shí)本身就具有明顯的抽象性，學(xué)生往往只關(guān)注到一些孤立的現(xiàn)象，看不出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與特征，這就極大地限制了學(xué)生通過(guò)具體思維理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)屬性。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，就需要教師注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀操作，基于數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象表征，在數(shù)學(xué)的抽象性與學(xué)生具體形象性之間搭建一座溝通的“橋梁”，使其依托于直觀表象建立數(shù)學(xué)模型，并從中得到感悟，進(jìn)而理解與掌握數(shù)學(xué)計(jì)算原理以及計(jì)算方法。在計(jì)算某一實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與生活相關(guān)問(wèn)題，這也是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化的過(guò)程，從而幫助學(xué)生更快地找出具體的計(jì)算方法。比如，在“兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”教學(xué)中，教師應(yīng)將教學(xué)的重心放在筆算法的感悟和理解上，這樣才有利于幫助學(xué)生建立模型。首先，教師可以先將例題中的“求3個(gè)12的和是多少”這一抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“教師準(zhǔn)備了3盒彩筆，每盒有12支水彩筆，打算將它送給同學(xué)們，剛好每人一支，請(qǐng)問(wèn)一共有多少支水彩筆”這一生活問(wèn)題。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生收集其他同學(xué)的彩筆，組成小組共同探討“12×3”的算式。如在探索這一問(wèn)題的算式時(shí)，有小組提出可以直接使用口算法：因?yàn)?×3=6,3×10=30,30+6=36，所以12×3=36。也有小組提出可以使用連加法：因?yàn)椤?2×3”表示3個(gè)12相加，所以12×3=12+12+12=36，即12×3=36。從數(shù)的抽象表征到形的直觀表征，真正做到了有機(jī)結(jié)合，能夠幫助學(xué)生逐步掌握建模方法，并學(xué)會(huì)運(yùn)用模型解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、尋找計(jì)算法則，建立數(shù)學(xué)模型

模型思想作為一種思想，想要學(xué)生真正對(duì)其有所感悟，還需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。在這一過(guò)程中，需要引導(dǎo)學(xué)生從相對(duì)簡(jiǎn)單到相對(duì)復(fù)雜，從相對(duì)抽象到相對(duì)具體的轉(zhuǎn)化，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，形成建立模型并運(yùn)用模型解答生活問(wèn)題的習(xí)慣。數(shù)學(xué)模型的建立需要以具體問(wèn)題為載體，而學(xué)生在準(zhǔn)備建立模型之前需要接觸多側(cè)面、多層次的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題原型。比如，上例將“12×3”生活化，這樣能夠?yàn)閷W(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)有利于建模的問(wèn)題情境，在情境中學(xué)生可以根據(jù)自身已有經(jīng)驗(yàn)尋找建模的方法。然而數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象本質(zhì)才是建立模型的關(guān)鍵，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在充分感知大量數(shù)學(xué)材料的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析、對(duì)照、總結(jié)等方式發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題的共性，從具體的表象中體會(huì)抽象本質(zhì)，使對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性，這樣才能建立起數(shù)學(xué)模型。例如，在計(jì)算“12×3”時(shí)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生基于問(wèn)題的抽象表征運(yùn)用自己喜歡的方式來(lái)計(jì)算這一問(wèn)題，如口算法、連加法，但這僅是直觀性思維的一種表現(xiàn)。教師還要聯(lián)系學(xué)生的已知知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與思維方式，引導(dǎo)學(xué)生探討更復(fù)雜的算式。在教學(xué)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生像加減法一樣用豎式計(jì)算“12×3”，此時(shí)教師可以提問(wèn)采用這樣列式的同學(xué)：“這里的6是怎么來(lái)的？為什么6寫在個(gè)位上？3為什么寫在十位上？”教師說(shuō)完，學(xué)生板書說(shuō)明原因。最后，教師總結(jié)歸納豎式法。由于有了已知知識(shí)經(jīng)驗(yàn)筆算加減法的鋪墊，還有一些學(xué)生可能已經(jīng)接觸過(guò)這樣的豎式，所以在教學(xué)的過(guò)程中教師可由學(xué)生自主探索為主，整節(jié)課都由學(xué)生自己來(lái)理解筆算的方法，即算理，由此一來(lái)，學(xué)生就能夠感受到知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，并逐漸學(xué)會(huì)利用這一模型解決類似問(wèn)題。

三、運(yùn)用通用算法，鞏固數(shù)學(xué)模型

在小學(xué)計(jì)算教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，不僅有利于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，還可以讓學(xué)生深刻地體會(huì)到模型思想在解決問(wèn)題過(guò)程中的價(jià)值。新課標(biāo)認(rèn)為數(shù)學(xué)模型的建立可分為三個(gè)階段：一是數(shù)學(xué)模型建立的起點(diǎn)，即發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題恰好充分體現(xiàn)出這一點(diǎn)；二是通過(guò)觀察、分析、判斷等數(shù)學(xué)方式完成模型抽象化并建立模型，這也是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)；三是通過(guò)模型求得結(jié)果，并用此結(jié)果解釋數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的意義。顯然，在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，學(xué)生的知識(shí)、技能、思想、方法等方面都能夠得到很好的培養(yǎng)。所以，當(dāng)學(xué)生建立模型并得到一般通用算法后，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用算法解決更多不同的實(shí)際問(wèn)題，以鞏固數(shù)學(xué)模型，使其充分感受到數(shù)學(xué)模型及通用算法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值。例如，學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”后，可引導(dǎo)學(xué)生利用通用算法進(jìn)一步掌握“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”的計(jì)算原理。首先，教師給出問(wèn)題情境：王老師買了12套書，每套有14本，請(qǐng)問(wèn)王老師一共買了多少本書？本課可以從兩個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，第一層次，學(xué)生通過(guò)口算獲得“12×3”的結(jié)果后，可以嘗試?yán)眠@種算法計(jì)算本課的問(wèn)題，如學(xué)生通過(guò)探討，獲得的口算方法有：（1）14×4=56,56×3=168,14×12=168；（2）14×10=140，14×2=28,14×12=168。第二層次，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“12×3”的豎式法計(jì)算“12×14”，即把兩個(gè)乘數(shù)寫在豎式上，先用個(gè)位數(shù)上的2同14相乘，乘得的積的末位同個(gè)位上的2對(duì)齊，再用十位上的1同14相乘，乘得的積是14個(gè)十，末位同十位上的1對(duì)齊，然后把兩次乘得的結(jié)果相加，便可得到“12×14”的計(jì)算結(jié)果。學(xué)生獲得了這樣的認(rèn)識(shí)后，逐漸學(xué)會(huì)使用這一通用算法計(jì)算此類數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而建立起“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”的數(shù)學(xué)模型。

四、遷移計(jì)算方法，拓展數(shù)學(xué)模型

對(duì)于小學(xué)生而言，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。然而數(shù)學(xué)模型雖然能夠解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但其應(yīng)用也存在一定局限性，比如，一個(gè)模型只能用于類似問(wèn)題的計(jì)算當(dāng)中。當(dāng)數(shù)學(xué)模型超出其使用范圍之后，就需要對(duì)其進(jìn)行拓展，使其能夠適應(yīng)于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)之間存在一定的聯(lián)系，教材內(nèi)容也是一環(huán)扣一環(huán)的，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，就需要熟知課本，感知數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，只有這樣才能夠充分把握整體的數(shù)學(xué)思維，從而有利于數(shù)學(xué)模型在教學(xué)過(guò)程中的拓展，也有利于模型思想在計(jì)算教學(xué)中的滲透。例如，學(xué)生掌握了“兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”與“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”的計(jì)算原理后，可以引導(dǎo)學(xué)生將其計(jì)算方法遷移到新的計(jì)算當(dāng)中，以此形成新的數(shù)學(xué)模型。首先教師給出問(wèn)題情境：小明家準(zhǔn)備裝修房子，需要門窗玻璃39平方米，如果玻璃的價(jià)錢是每平方米88元，請(qǐng)問(wèn)3600元是否足夠購(gòu)買所需的門窗？教師先引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用口算法或豎式法進(jìn)行計(jì)算，但這一問(wèn)題涉及“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的筆算乘法”這一知識(shí)點(diǎn)，個(gè)位數(shù)上的計(jì)算發(fā)生了進(jìn)位，顯然運(yùn)用口算法或豎式法難以直接計(jì)算出其結(jié)果。這就需要在原有的模型上進(jìn)行拓展，比如，運(yùn)用估算的方式：因?yàn)?0×90=3600元，而39＜40、88＜90，所以39×88的計(jì)算結(jié)果小于3600，因此準(zhǔn)備3600元足夠購(gòu)買所需的門窗。在這一過(guò)程中，學(xué)生先運(yùn)用豎式法計(jì)算40×90，再用估算的方式求得39×88的結(jié)果范圍，層層推進(jìn)，能夠讓數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用更加廣泛。

綜上所述，作為主要核心素養(yǎng)之一，模型思想不僅有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，還有利于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)其知識(shí)的深化和發(fā)展。小學(xué)生模型思想的形成與培養(yǎng)需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，這就需要教師善于在教學(xué)中適時(shí)地滲透模型思想，讓學(xué)生充分感受到模型思想在現(xiàn)實(shí)中的意義，并學(xué)會(huì)使用該思想解決實(shí)際問(wèn)題，從而不斷提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。