演化折現(xiàn)Hamilton-Jacobi 方程粘性解收斂問(wèn)題的一個(gè)反例

李 霞， 陳蘇婷

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

令M 是一個(gè)連通、光滑的流形，對(duì)于M 上的演化Hamilton-Jacobi 方程

考慮其粘性解在t→+∞時(shí)的收斂情況，其中g(shù)（x）∈C（M）是初始值，R+=[0，+∞）。 對(duì)演化Hamilton-Jacobi 方程粘性解長(zhǎng)時(shí)間漸近行為的研究是粘性解理論的一個(gè)重要方向，其粘性解在給定初值的情形下是否收斂，以及收斂后的函數(shù)的性質(zhì)都是重要的研究?jī)?nèi)容。

若Hamilton 函數(shù)含有未知函數(shù)u，稱之為接觸Hamilton-Jacobi 方程，與之相關(guān)的接觸Hamilton 動(dòng)力系統(tǒng)是Hamilton 動(dòng)力系統(tǒng)（Hamilton 函數(shù)不含未知函數(shù)u）的自然推廣。 接觸Hamilton 動(dòng)力系統(tǒng)被廣泛運(yùn)用于耗散力學(xué)系統(tǒng)[1-2]、熱力學(xué)系統(tǒng)[3]、平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)[4]等各個(gè)領(lǐng)域。 近年來(lái)，研究Hamilton-Jacobi 方程粘性解的PDE 方法與研究Hamilton 動(dòng)力系統(tǒng)的變分法相互作用， 產(chǎn)生了許多重要且深刻的研究結(jié)果。 而Hamilton-Jacobi 方程粘性解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為是粘性解理論的一個(gè)重要研究分支， 如果流形M 是緊的，Hamilton-Jacobi 方程和接觸Hamilton-Jacobi 方程粘性解的收斂性結(jié)果可參見文獻(xiàn)[5－12]。 當(dāng)?shù)卓臻gM 非緊時(shí)，F(xiàn)athi近期的一篇文章探討了Hamilton-Jacobi 方程粘性解的存在條件以及在此條件下解的存在唯一性[13]；而在初始值g（x）∈W1，∞（R）的情形下，Barles 構(gòu)造了Hamilton-Jacobi 方程粘性解的一個(gè)發(fā)散反例[14]。 對(duì)于非緊空間上接觸Hamilton-Jacobi 方程粘性解的表達(dá)式以及有限性討論可參見文獻(xiàn)[15]。 關(guān)于非緊空間上接觸Hamilton-Jacobi 方程粘性解的收斂性，筆者研究的結(jié)果初步表明，自治的折現(xiàn)演化Hamilton-Jacobi 方程的粘性解在t→+∞時(shí)收斂[16－17]。 因此，文中將構(gòu)造非自治情形下的反例，說(shuō)明非緊空間上接觸Hamilton-Jacobi 方程的粘性解可能發(fā)散。

文中研究的演化折現(xiàn)Hamilton-Jacobi 方程

是接觸Hamilton-Jacobi 方程的一種特殊形式。 如果不對(duì)H 做任何限制， 其解一般不能收斂到穩(wěn)定情形，例如：u（x，t）＝sin（x+t）是方程ut-ux=0，（x，t）∈R×R+的解，盡管u（x，t）有界，然而t→+∞時(shí)，解并不收斂。 由于上述一系列的收斂性結(jié)果都需要對(duì)H（x，p）有所限制，如H 光滑，關(guān)于p 嚴(yán)格凸以及關(guān)于p 超線性增長(zhǎng)等（Tonelli 條件），筆者也在類似框架下考察非緊空間上折現(xiàn)Hamilton-Jacobi 方程粘性解的斂散性。 由于不需要考慮極小軌道的動(dòng)力學(xué)行為，因此，只需要對(duì)H（x，t，p）做出如下限制：

（1）H（x，t，p）在Rn×R+×Rn上連續(xù)；

令A(yù)C（[0，t]，Rn）＝{γ（t）|γ:[0，t]→Rn，γ（t）是絕對(duì)連續(xù)}，文中的主要結(jié)論如下：在第一節(jié)中，將給出（EP）粘性解的表達(dá)式。

定理1 令

其中γ（t）=x，若uλ（x，t）有限，則uλ（x，t）是演化折現(xiàn)Hamilton-Jacobi 方程（EP）的粘性解。

因?yàn)樵撐牡哪康脑谟跇?gòu)建反例，所以只需考慮uλ（x，t）有限時(shí)的情形，與文獻(xiàn)[15]相比，此處不需要考慮接觸Hamilton 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，所以對(duì)H 有較弱的假設(shè)。 在第二節(jié)通過(guò)構(gòu)造一個(gè)具體的例子

說(shuō)明存在g（x）∈C（R），使得（EPS）的粘性解在t→+∞時(shí)不收斂。

1 粘性解的表達(dá)式

下面證明uλ（x，t）是（EP）的粘性下解。 令φ∈C1（Rn×R），（x^，t^）∈Rn×R 使得

2 折現(xiàn)演化Hamilton-Jacobi 方程粘性解的發(fā)散反例

定理得證。