腐蝕管道極限彎矩計算的理論和方法

李思源,李逸軒

(1.蘭州石油機(jī)械研究所,蘭州 730050;2.蘭州理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，蘭州 730300)

0 引言

近半個世紀(jì)以來，國內(nèi)外對管道剩余強(qiáng)度的評估開展了許多研究工作，其中BOUWKAMP等[1-2]對無缺陷管道在聯(lián)合載荷下極限承載力進(jìn)行了大量的數(shù)值分析和試驗(yàn)研究?；谒苄允Ю碚?，采用理想彈塑性本構(gòu)模型，MOHAREB等[3-8]提出了無缺陷管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合載荷下的極限承載力解析解，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，得出該簡化方法能很好地預(yù)測管道極限承載力；其后，BAI等[9-12]將這部分工作擴(kuò)展到了腐蝕管道，將管道腐蝕形狀簡化為減薄深度在環(huán)向不發(fā)生變化，分別針對4種不同工況的等深減薄管道，提出了極限彎矩計算方法。該方法被ABS[13]采用，評估腐蝕海底管道剩余強(qiáng)度。文獻(xiàn)[14-15]采用Hill屈服準(zhǔn)則，推導(dǎo)了不規(guī)則腐蝕缺陷管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合作用下極限承載力廣義計算公式。文獻(xiàn)[16]證明了文獻(xiàn)[9-15]中極限彎矩計算式的理論依據(jù)不充分，并對承受內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩聯(lián)合作用下的局部減薄管道建立了極限彎矩計算的新公式。文獻(xiàn)[9-15]對腐蝕管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合作用下推導(dǎo)的極限彎矩計算式只有在純彎曲載荷下才成立；當(dāng)內(nèi)壓p>0時，文獻(xiàn)[9-12]中定義的環(huán)向應(yīng)力在管道未減薄區(qū)不一定滿足屈服準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[14-15]采用的環(huán)向應(yīng)力σθ=pRm/t在管道腐蝕區(qū)不一定滿足屈服準(zhǔn)則。實(shí)例計算結(jié)果表明[16]：當(dāng)內(nèi)壓p>0時，文獻(xiàn)[9]中極限彎矩計算式的計算值都比文獻(xiàn)[16]中新公式的計算值小；文獻(xiàn)[14-15]中極限彎矩計算式的計算值都比文獻(xiàn)[16]中新公式的計算值大。因此，文獻(xiàn)[9-15]尚未解決腐蝕管道在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合作用下極限承載力的計算問題。文獻(xiàn)[16]也是將管道腐蝕形狀簡化為減薄深度在環(huán)向不發(fā)生變化的情況下得到的，這種簡化模型一般會使極限彎矩的計算結(jié)果偏于保守。因此，進(jìn)一步研究腐蝕管道極限承載力的計算方法很重要。

本文對承受內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩聯(lián)合作用的多級等深減薄管道,應(yīng)用屈服準(zhǔn)則，推導(dǎo)出管道橫截面彎曲壓縮側(cè)和彎曲拉伸側(cè)應(yīng)力極限值的計算式；采用理想彈塑性本構(gòu)模型，建立了多級等深減薄管道在聯(lián)合載荷作用下的極限彎矩計算理論和計算公式；提出腐蝕管道在聯(lián)合載荷作用下極限彎矩的工程計算方法。

1 基本理論

1.1 基本假定和簡化

(1)管道鋼材不考慮應(yīng)變強(qiáng)化作用，采用理想彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系；

(2)管道在達(dá)到全塑性狀態(tài)前，管道的橫截面形狀不發(fā)生改變；

(3)在管道達(dá)到極限狀態(tài)時，塑性中性軸將管道橫截面分為彎曲壓縮和彎曲拉伸兩個區(qū)域，管道截面達(dá)到相應(yīng)的全塑性狀態(tài)。

1.2 局部減薄管道的屈服準(zhǔn)則

設(shè)管道的外半徑為Ro，管壁厚度為t，平均半徑Rm=Ro-t/2；設(shè)管道內(nèi)壁存在深度為dj，環(huán)向截面夾角為βj(j=1,2，…，n)的n級對稱等深減薄缺陷(見圖1)，其軸向長度很長。且：

dk=max{d1,…，dn}

(1)

dh=min{d1,…，dn}

(2)

(3)

圖1 n級對稱等深減薄管道橫截面幾何尺寸和塑性中性軸示意Fig.1 Schematic diagram of the geometric dimensions andplastic neutral axis of the cross section of the n-level symmetricalequal-depth thinned pipe

對于各向異性材料的管道，在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩M聯(lián)合作用下發(fā)生屈服時，采用屈服準(zhǔn)則可以得到：

(4)

式中,σz為管道軸向應(yīng)力;σzl為管材軸向屈服應(yīng)力;α為各向異性系數(shù),一般可取α=σθl/2σzl；σθ為管道環(huán)向應(yīng)力;σθl為管材環(huán)向屈服應(yīng)力。

求解式(4)得到軸向應(yīng)力σz的解：

(5)

(6)

1.3 管道彎曲屈服的軸向極限應(yīng)力

含n級等深減薄管道(見圖1)在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩聯(lián)合作用下,管道的環(huán)向應(yīng)力σθ由內(nèi)壓p產(chǎn)生；內(nèi)壓p對該管道產(chǎn)生的軸向力Fp作為軸向力F的組成部分。管道的軸向應(yīng)力σz只由軸向力F和彎矩產(chǎn)生。

在管道減薄深度為dj(j=1,2，…，n)的部位，管道的環(huán)向應(yīng)力σθj由內(nèi)壓p產(chǎn)生，且近似為:

σθj=p(Rm+0.5dj)/(t-dj) (j=1,2,…，n)

(7)

(1)當(dāng)管道減薄深度為dj的部位(見圖1)處于彎曲壓縮側(cè)時，將式(7)代入式(6)得到，該部位屈服的軸向應(yīng)力極限值σcj用式(8)計算。

(j=1,2，…，n) (8)

(2)當(dāng)管道減薄深度為dj的部位(見圖1)處于彎曲拉伸側(cè)時，將式(7)代入式(5)得到，該部位屈服的軸向應(yīng)力極限值σtj用式(9)計算。

(j=1,2，…，n) (9)

1.4 極限應(yīng)力不等式

(1)第一極限應(yīng)力不等式。

當(dāng)管道的內(nèi)壓p>0，管道等深減薄深度di和dj有di>dj時，則屈服的軸向極限應(yīng)力σci和σcj滿足不等式：

σci>σcj

(10)

由式(7)，并計及di>dj得到：

σθi-σθj>0

(11)

計及式(11)，則有vj-vi>0。因此有：

(12)

將式(8)代入計算式(σci-σcj)/σzl，并利用式(11)(12)得到：

(13)

由此得到不等式(10)成立。

由第一極限應(yīng)力不等式可直接推出第二極限應(yīng)力不等式。

(2)第二極限應(yīng)力不等式。

當(dāng)管道的內(nèi)壓p>0，管道等深減薄深度dj>0(j=1,2，…，n，j≠h)時，則屈服的軸向極限應(yīng)力σcj和σch滿足不等式:

σcj>σch(j=1,2，…，n，j≠h)

(14)

2 多級等深減薄管道極限彎矩計算理論

2.1 多級等深減薄管道承載彎矩載荷的條件

含n級對稱等深減薄管道(見圖1)橫截面的面積S用下式計算：

(15)

管道在內(nèi)壓p和軸向力F聯(lián)合作用下，管道的軸向應(yīng)力σz(F)近似為：

σz(F)=F/S

(16)

令:

Fl=Sσzl

(17)

(1)承載彎矩載荷的條件。

含n級對稱等深減薄管道(見圖1)在內(nèi)壓p和軸向力F聯(lián)合作用下，用式(7)計算管道最大減薄為dk部位的環(huán)向應(yīng)力σθk和最小減薄為dh部位的環(huán)向應(yīng)力σθh，用式(17)計算Fl。該管道能承載彎矩載荷的條件為：

(18)

且

(19)

(20)

(2)在承載彎矩載荷的條件下。

σch<σcj<σz(F) (j=1,2，…，n)

(21)

σtj>σz(F) (j=1,2，…，n)

(22)

驗(yàn)證如下。

(1)含n級對稱等深減薄管道(見圖1)在內(nèi)壓p和軸向力F聯(lián)合作用下，管道產(chǎn)生的軸向應(yīng)力σz可用式(16)近似計算，再應(yīng)用式(17)得到：

利用上式和式(7)計算的環(huán)向應(yīng)力σθj得到，在管道減薄深度為dj(j=1,2，…，n)的部位都有：

(j=1,2，…，n) (23)

①由式(1)得到dj≤dk，因此由式(7)計算得到σθj≤σθk。

σθj/σθl≤σθk/σθl(j=1,2，…，n)

又利用式(19)得到:

(j=1,2，…，n)

由上式推出：

(24)

②由式(2)得到dj≥dh,因此由式(7)計算得到σθj≥σθh。

σθj/σθl≥σθh/σθl(j=1,2，…，n)

再利用式(20)得到:

(j=1,2，…，n)

由上式推出:

將式(24)和上式代入式(23)得到，在n級等深減薄管道的各等深減薄部位都有：

因此，含n級對稱等深減薄管道(見圖1)在內(nèi)壓p和軸向力F聯(lián)合作用下沒有屈服，該管道還可以承載一定的彎矩載荷。

(3)在承載彎矩載荷的條件下，含n級對稱等深減薄管道由內(nèi)壓p產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力σθj和軸向力F都滿足不等式(24) 。

采用反證法證明式(21)和式(22)都成立。

2.2 多級等深減薄管道極限彎矩的計算公式

根據(jù)承載彎矩的條件，計算n級對稱等深減薄管道在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩聯(lián)合作用下的極限彎矩時，內(nèi)壓p產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力σθk,σθh和軸向力F必須同時滿足不等式(18)～(20)。

當(dāng)管道在彎矩作用下達(dá)到全塑性狀態(tài)時，設(shè)塑性中性軸的夾角為ψ。考慮塑性中性軸的位置，可按兩種工況計算管道的極限彎矩：工況1——塑性中性軸下方的管壁區(qū)域位于彎曲壓縮側(cè)，塑性中性軸上方的管壁區(qū)域位于彎曲拉伸側(cè)；工況2——塑性中性軸下方的管壁區(qū)域位于彎曲拉伸側(cè)，塑性中性軸上方的管壁區(qū)域位于彎曲壓縮側(cè)。

(1)工況1的極限彎矩計算公式。

在工況1條件下，當(dāng)塑性中性軸位于面積為As(s∈{1,2,…，n})區(qū)域中時，則面積為A1,…，As-1的區(qū)域都在彎曲壓縮側(cè)，面積為As+1,…，An的區(qū)域都在彎曲拉伸側(cè)。當(dāng)管道在彎矩作用下達(dá)到全塑性狀態(tài)時，管道的軸向力F可近似表示為：

(25)

式中，σcj用式(8)計算；σtj用式(9)計算；Aj分別為圖1中對應(yīng)區(qū)域的面積，且：

k1j=(1-dj/t)[1+dj/(2Rm)] (j=1,2，…，n)

Aj=2k1jβjRmt(j=1,2，…，n)

將上面諸式代入式(25),得到塑性中性軸夾角的一次方程式，當(dāng)s∈{1,2,…，n}時，塑性中性軸的夾角ψ=ψs用式(26)計算。

且0<ψ1<β1。

當(dāng)s∈{2,…，n-1}時：

(26)

當(dāng)s=n時：

且π-βn<ψn<π。

設(shè)：

k2j=(1-dj/t)[1+dj/(2Rm)]2(j=1,2，…，n)

(j=1,2，…，s-1)

(j=s+1,2，…，n)

當(dāng)塑性中性軸位置用式(26)篩選確定為ψ=ψs后，n級對稱等深減薄管道極限彎矩M(p,F)為:

(27)

將諸參量代入式(27)得到式(28)～(30)。

當(dāng)s=1時:

(28)

當(dāng)s∈{2,…，n-1}時:

(29)

當(dāng)s=n時:

+[sinψn-sin(π-βn)]k2nσcn-sinψnk2nσtn

(30)

(2)工況2的極限彎矩計算公式。

在工況2的條件下，當(dāng)塑性中性軸位于面積為As的區(qū)域中時，則面積為A1,…，As-1的區(qū)域都在彎曲拉伸側(cè)；面積為As+1,…，An的區(qū)域都在彎曲壓縮側(cè)。當(dāng)管道在彎矩作用下達(dá)到全塑性狀態(tài)時,軸向力F可近似表示為：

式中，σtj用式(9)計算，σcj用式(8)計算；Aj為圖1中對應(yīng)區(qū)域的面積。

類似于上面工況1的方法可以得到工況2的極限彎矩計算公式。

3 腐蝕管道極限彎矩的計算方法

許多壓力管道，由于輸送介質(zhì)的腐蝕性和重力作用，在管道橫截面內(nèi)壁6點(diǎn)鐘位置兩側(cè)產(chǎn)生腐蝕缺陷，腐蝕形狀沿腐蝕區(qū)中心線(6點(diǎn)鐘處)近似于對稱分布(見圖2),且缺陷的軸向長度很長。

圖2 腐蝕管道橫截面尺寸示意Fig.2 Schematic diagram of the corroded pipe cross section

以下采用簡便的方法將圖2中的腐蝕管道簡化為n級對稱等深減簿管道，然后采用以上多級等深減薄管道極限彎矩計算理論和公式，即可導(dǎo)出腐蝕管道極限彎矩的工程計算方法如下。

(1)已知參數(shù)。

①管道的平均半徑Rm，壁厚t，管材軸向屈服應(yīng)力σzl，環(huán)向屈服應(yīng)力σθl；

②管道內(nèi)壁腐蝕缺陷的環(huán)向夾角為2β(見圖2)，軸向腐蝕長度很長；

③管道承受內(nèi)壓p和軸向力F。

(2)構(gòu)建n級對稱等深減薄管道。

在腐蝕管道的橫截面上(見圖2)，給定n(n∈{6,8,10})，用通過圓心O的n+1條線段O0，O1，…，On將β角分成n等份，各等份的角度為β/n。又沿線段O0，O1，…，On測量得到管壁對應(yīng)的腐蝕深度分別為a0，a1,…，an-1,an=0；取d1=(a0+a1)/2，…，dj=(aj-1+aj)/2,…，dn=an-1/2,將圖2中的腐蝕管道簡化為圖3中減薄深度為dj、夾角為β/n的n級等深減薄管道。

圖3 腐蝕管道簡化為 n級對稱等深減薄管道橫截面尺寸和塑性中性軸示意Fig.3 Schematic diagram of the geometric dimensions andplastic neutral axis of the cross section of the n-level symmetricalequal-depth thinned pipe which is simplified from the corroded pipe

(3)計算腐蝕管道的極限彎矩。

① 計算參量：

d=max{a0，a1,…，an-1,d1,…，dn}

σθj=p(Rm+0.5dj)/(t-dj) (j=1,2，…，n)

σθd=p(Rm+0.5d)/(t-d)(σθ0=pRm/t)

k1j=(1-dj/t)[1+dj/(2Rm)] (j=1,2，…，n)

k2j=(1-dj/t)[1+dj/(2Rm)]2(j=1,2，…，n)

②驗(yàn)證不等式成立。

且：

③計算管道彎曲屈服的軸向極限應(yīng)力σcj，σc，σtj，σt。

(j=1,2，…，n)

(j=1,2，…，n)

④計算腐蝕區(qū)全部或者部分在彎曲壓縮側(cè)的極限彎矩。

a.計算:

當(dāng)ψn+1>β時，確定塑性中性軸的ψ=ψn+1，管道的極限彎矩用下式計算：

+(sinψn+1-sinβ)σc-sin(ψn+1)σt}

b.當(dāng)ψn+1<β時，計算:

+n(π/β-1)σt]β/n}÷[2Rmtk1s(σcs-σts)]

⑤計算腐蝕區(qū)全部或者部分在彎曲拉伸側(cè)的極限彎矩。

a.計算：

當(dāng)ψn+1>β時，確定塑性中性軸的ψ=ψn+1，管道的極限彎矩用下式計算：

+(sinψn+1-sinβ)σt-sin(ψn+1)σc}

b.當(dāng)ψn+1<β時，計算：

+n(π/β-1)σc]β/n}÷[2Rmtk1s(σts-σcs)]

4 腐蝕管道極限彎矩算例

4.1 純彎曲載荷下的算例

文獻(xiàn)[15]研究了腐蝕缺陷管道的極限承載力；文獻(xiàn)[16]指出，在內(nèi)壓、軸向力和彎矩聯(lián)合作用下，文獻(xiàn)[15]中的極限彎矩計算公式的理論依據(jù)是不充分的，但在純彎曲下仍然成立。因此文獻(xiàn)[15]采用數(shù)值方法計算的等深腐蝕、橢圓腐蝕和拋物線腐蝕管道在純彎曲下的極限彎矩值是有效的。

現(xiàn)以文獻(xiàn)[15]表1中工況3試件TP3為例，采用腐蝕管道極限彎矩的工程計算方法，計算工況3試件TP3的極限彎矩值，并和數(shù)值解極限彎矩值進(jìn)行比較，驗(yàn)證工程計算方法的計算精度。

TP3試件管的平均半徑Rm=52.85 mm，管壁t=8.6 mm，管材鋼軸向屈服應(yīng)力σzl和環(huán)向屈服應(yīng)力σθl為：σzl=σθl=408 MPa，各向異性系數(shù)α=0.5；管子橫截面腐蝕區(qū)中心線位置的最大深度a0=6.9 mm，腐蝕夾角2β=π；腐蝕深度函數(shù)a(θ)計算如下。

半橢圓腐蝕：

(31)

拋物線腐蝕：

a(θ)=6.9(1-2θ/π)2(0≤θ≤π/2)

(32)

(1)取n=6，用射線O0，O1，…，O6將管子橫截面腐蝕區(qū)分成6等份，各等份的角度為π/12 (或15°)。計算射線Oj對應(yīng)的腐蝕角度θj和腐蝕深度aj=a(θj) (j=0，1，…，6)。

(2)取dj=(aj-1+aj)/2計算6級等深減薄深度d1，…，d6。構(gòu)建6級對稱等深減薄dj，βj=π/12計算模型(見圖3)。

(3)半橢圓腐蝕試件TP3極限彎矩計算結(jié)果。

在純彎曲下，p=0,F=0,因此,由第3節(jié)工程計算方法中(3)③計算得到彎曲屈服的軸向極限應(yīng)力：

σcj=σc=-σzl=-408 MPa

σtj=σt=σzl=408 MPa

利用半橢圓腐蝕管道6級等深減薄模型數(shù)據(jù)d1，…，d6，計算k1j和k2j；在彎曲拉伸側(cè)，由第3節(jié)工程計算方法中(3)⑤a.的ψ7計得ψ7=0.649 5π>β。因此塑性中軸的ψ=ψ7=0.649 5π，半橢圓腐蝕試件TP3的極限彎矩Me(0,0)=21.76 kN·m。

(4)拋物線腐蝕試件TP3的極限彎矩Mp(0,0)=31.56 kN·m。

(5)從文獻(xiàn)[15]表2中查得：半橢圓腐蝕工況3試件TP3極限彎矩的數(shù)值解Mecpc=21.4 kN·m，拋物線腐蝕試件TP3極限彎矩的數(shù)值解Mpcpc=31.7 kN·m。由此得到：半橢圓腐蝕的Me(0,0)和Mecpc=21.4 kN·m的誤差為 -1.68%，拋物線腐蝕的Mp(0,0)和Mpcpc=31.7 kN·m的誤差為 0.44%。

4.2 聯(lián)合載荷下的算例

設(shè)管道的平均半徑Rm=500 mm，管壁t=20 mm，管材鋼軸向屈服應(yīng)力σzl和環(huán)向屈服應(yīng)力σθl為:σzl=σθl=500 MPa，各向異性系數(shù)α=0.5；管子橫截面腐蝕區(qū)中心線位置的最大深度a0=10 mm，腐蝕夾角2β=π；腐蝕深度函數(shù)a(θ)計算如下。

半橢圓腐蝕：

(33)

拋物線腐蝕：

a(θ)=10(1-2θ/π)2(0≤θ≤π/2)

(34)

管道承受內(nèi)壓p=10 MPa,軸向力F=20 000 kN。

(1)對半橢圓腐蝕管道和拋物線腐蝕管道，取n=6，用射線O0，O1，…，O6將管道橫截面腐蝕區(qū)分成6等份，各等份的角度為π/12(15°)。計算射線Oj對應(yīng)的腐蝕角度θj和深度aj=a(θj) (j=0，1，…，6) 。

(2)取dj=(aj-1+aj)/2，計算半橢圓腐蝕管道6級等深減薄深度d1，…，d6。構(gòu)建6級等深減薄dj，βj=π/12計算模型(見圖3)。利用橢圓腐蝕管道6級對稱等深減薄模型數(shù)據(jù)d1，…，d6，計算k1j和k2j；計算管道彎曲屈服的軸向極限應(yīng)力σcj,σc,σtj,σt。

(3)驗(yàn)證半橢圓腐蝕管道在內(nèi)壓p=10 MPa和軸向力F=20 000 kN聯(lián)合作用下，滿足承載彎矩載荷的條件。

(4)在彎曲壓縮側(cè)，由第3節(jié)工程計算方法中(3)④a，取s=5，計算ψ5=0.396 1π，因此塑性中性軸的ψ=ψ5=0.396 1π，半橢圓腐蝕管道的極限彎矩為:

Me(10,20 000)=5 855.8 kN·m

采用和上面相同的方法，得到含拋物線腐蝕(見式(34))管道的極限彎矩為：

Mp(10,20 000)=6 515.3 kN·m

5 結(jié)語

(1)對在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩聯(lián)合作用下的n級對稱等深減薄管道,建立了承載彎矩載荷的條件,應(yīng)用很簡便。

(2)對n級對稱等深減薄管道在內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩聯(lián)合作用下，應(yīng)用屈服準(zhǔn)則和理想彈塑性本構(gòu)模型，分兩種工況建立了該管道極限彎矩的計算理論和計算公式。

(3)對承受內(nèi)壓p、軸向力F和彎矩聯(lián)合作用的腐蝕管道，建立了管道極限彎矩的工程計算方法。