信號交叉口可靠度建模

馬志芳 蔣亞麗

(1.蘭州交通大學 蘭州 730000；2.甘肅建投土木工程建設集團有限責任公司 蘭州 730000)

1 研究背景

隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，城市交通出行的負擔日益加重，如何緩解交通擁堵，節(jié)省出行時間，是目前研究的重點。在此背景下，以交通系統(tǒng)可靠性作為評價車輛通行能力指標的方法被廣泛提出。交通系統(tǒng)可靠性的研究始于20世紀80年代，最早是通過網(wǎng)絡的拓撲結構分析路網(wǎng)連接可靠度，例如連通可靠度、通行能力可靠度、行程時間可靠度和服務水平可靠度等[1]，通常用于分析道路設施及交通流運行狀態(tài)，但忽略了路網(wǎng)中交叉口對路網(wǎng)可靠性研究的重要性。

在優(yōu)化交叉口的信號控制指標時，一般認為車輛到達率是服從一定概率分布[2]，目前學者多通過可靠性指標來評價其性能的穩(wěn)健性或基于此設計優(yōu)化信號配時方案。為評價該交叉口運行的穩(wěn)定性，優(yōu)化信號配時方案，于泉等[3]定義了固定配時方案下的控制方案可靠度，分析高峰時間段的車流量，依據(jù)可靠度來確定相應的高峰時段配時方案的啟動時間。呂斌等[4,5]采用相位清空可靠度作為評價指標，依據(jù)信號交叉口車輛隨機到達的特點，研究了相位清空可靠度與周期時長、綠燈時間之間的關系，并通過Gauss消元法得到當車輛到達交叉口服從正態(tài)分布和負指數(shù)分布時，相位清空可靠度的計算公式。劉剛等[6]基于服務水平的交叉口可靠性模型，在考慮車輛到達隨機性的基礎上，把服務水平可靠度作為信號控制交叉口可靠性指標，研究其與車輛到達可靠性的關系，建立信號配時模型。鄭慧敏[7]借助實際測量數(shù)據(jù)，對車輛到達率進行分析，提出了服務水平可靠度和排隊長度可靠度指標，研究在不同可靠度指標下的不同分布模型、可靠度需求以及到達車輛波動程度對信號配時的影響。在此基礎上，將排隊長度可靠性引入干線交叉口，建立以干線排隊長度可靠性最大為目標的相位差優(yōu)化模型，為本文日后研究的提供方向。陳曉明等[8]定義了通行能力可靠度，給出了車輛隨機到達條件下通行能力可靠度的估計方法。同時考慮在混合交通情況下，影響通行能力的因素，采用VISSIM軟件建立仿真模擬。

上述研究中，在考慮車流隨機性的分布中，大多采用假定車輛到達服從某種分布，缺少驗證及一定的普及性。在考慮不同可靠度指標中，僅研究單一可靠度與車輛隨機到達和周期時長之間的關系，建立的交叉口可靠性指標模型較為簡單。且現(xiàn)有的研究多停留于表面框架和概念，應用于交通管理實踐研究的成果較少。本文根據(jù)相位清空可靠度的定義，結合車輛隨機到達特性分析，定義了車道可靠度、相位可靠度，通過其串并聯(lián)關系，推導出交叉口可靠度模型并進行仿真。同時將交叉口可靠度作為評價指標，對文中假設的三種信號配時方案，從不同角度進行評價，選取最優(yōu)的信號配時方案。

2 交叉口可靠度模型

2.1 相位清空可靠度定義

相位清空可靠度定義[9]：假設該信號交叉口有n個相位，相位i(1,2…n)的綠燈時間能夠放行所有本周期內(nèi)到達機動車的概率，用Pi表示相位清空可靠度，則：

Pi=Pr(qijC≤giSij)

(2.1-1)

式中，Sij表示第i個相位對應的第j條車道的飽和流量，單位pcu/h；qij表示第i個相位對應的第j條車道的車輛到達率，單位pcu/h；C表示該交叉口周期時長，單位s；gi表示第i個相位的有效綠燈時間，單位s。

由上式(2.1-1)得知，各相位的車流狀態(tài)可以通過相位清空可靠度的大小來體現(xiàn)，可用于評價各相位信號配時參數(shù)是否滿足交通需要的能力，故綜合計算分析交叉口可靠度的大小可利用相位清空可靠度指標。

基于相位清空可靠性的交叉口可靠度模型

假設交叉口信號相位方案是由n個相位以一定順序排列組合而成，本文稱其組合方式為串聯(lián)，即任一相位失效將引發(fā)該交叉口車輛擁堵，造成交通癱瘓。且該串聯(lián)系統(tǒng)的失效率為所有組成相位的失效率之和。而第i(i=1,2,3…n)個相位由m條車道以一定順序排列組合，本文假設車道之間相互獨立，其組合方式為并聯(lián)。即當m條車道都失效時，該相位才失效，進而整個交叉口出現(xiàn)交通擁堵。

由上述交叉口可靠度模型可得交叉口串—并聯(lián)系統(tǒng)圖,如圖1。

圖1 交叉口串—并聯(lián)系統(tǒng)圖

交叉口的可靠度R為：

R=P{min{P1,P2,P3…Pn}≥0}

=P{P1≥0,P2≥0…Pn≥0}

(1)

式中，n表示該交叉口信號配時方案包含的相位數(shù)。

第i個相位的可靠度Pi為：

Pi=P{max{Li1,Li2,Li3…Lij}≥0}

=1-P{max{Li1,Li2,Li3…Lij}<0}

=1-P{Li1<0,Li2<0…Lij<0}

(2)

第i個相位對應的車道可靠度Lij為：

Lij=Pr(qijC≤giSij)

(3)

將式(2)、(3)帶入式(1)得到交叉口可靠度表達式如下：

(4)

根據(jù)上式(4)可知，對于某個給定信號配時方案的交叉口，其交叉口可靠度僅與車輛到達率qij和飽和流量Sij有關，現(xiàn)有研究認為車輛的到達率與車道的飽和流量互不影響[7,8]，因此本文假定車道的飽和流量在研究時間段內(nèi)為常數(shù)。由于車輛到達具有隨機性，因此交叉口可靠度會隨車輛到達率的變化而變化。若已知該交叉口的信號配時方案，各車道機動車的到達率qij和飽和流量Sij，可利用式(4)求得該交叉口的可靠度，定量的評價該交叉口運行狀態(tài)，為優(yōu)化交叉口信號配時方案提供依據(jù)。反之若要使交叉口滿足一定的可靠度指標，使得道路通行更加合理、有效、便捷，也可利用式(4)求得滿足一定交叉口可靠度需求的信號配時方案。

因此，定義交叉口可靠度，評價交叉口信號配時方案的模型為：

(5)

由于信號相位i對應的進口道車輛到達率qij具有隨機性。若假設qij的概率分布已知，則根據(jù)公式(3)可以建立相位i有效綠燈時間gi與車道可靠度Lij之間的關系，即Sij，Lij已知，再根據(jù)信號配時約束條件可以獲得該交叉口信號周期及各相位綠燈時間的計算公式。下面將針對進口道車輛到達率服從標準正態(tài)分布時，對信號配時計算公式進行研究。

(6)

于是可以得到

(7)

式中：

φ-1(Lij)：標準函正態(tài)分布函數(shù)φ(Lij)的反函數(shù)。

基于周期時長與綠燈時間之間的關系式：

(8)

式中：L為總損失時間。

相位i的綠燈時間可以通過計算得到：

(9)

將上式(7)(8)(9)帶入上式(5)得到交叉口可靠度模型為：

(10)

該模型一方面可根據(jù)己知交叉口信號控制方案、各相位機動車到達率qij和飽和流率Sij，求解現(xiàn)有控制方案下交叉口可靠度，為評價和調(diào)整優(yōu)化信號配時參數(shù)、交通組織方案提供依據(jù)。另一方面，可以根據(jù)到達車流的分布及配時約束確定滿足一定交叉口可靠度的信號配時方案。

此外，在驗證交叉口可靠度的準確性上，本文根據(jù)計算的平均信號控制延誤來確定，其計算公式如下：

(1)各車道延誤公式：

d=d1+d2

(11)

(12)

(13)

式中：

d1：均勻延誤，即車輛均勻到達所產(chǎn)生的延誤，s/pcu；

d2：隨機附加延誤，即車輛隨機到達并引起超飽和周期所產(chǎn)生的附加延誤，s/pcu；

x：所計算車道的飽和度；

CAP：所計算車道的通行能力， pcu/h；

T：分析時段的持續(xù)時長，h，取0.25h；

e：單個交叉口信號控制類型校正系數(shù)，定時信號取e=0.5；

(2)各進口道的平均信控延誤，按該進口道中各車道延誤的加權平均數(shù)估算。

(14)

式中：

dA：進口道A的平均信控延誤，s/pcu；

di：進口道A中第i車道的平均信控延誤，s/pcu；

(3)整個交叉口的平均信控延誤，按交叉口中各進口道延誤的加權數(shù)估算。

(15)

式中：

dI：交叉口每車的平均信控延誤，s/pcu；

qA：進口道A的高峰15min交通流率，輛/15min。

3 算例分析

3.1 影響參數(shù)分析

為證明交叉口可靠度與車輛期望和方差的關系，本文假定交叉口各條車道段寬度為3.5m，各進口均設置為單向3車道，分別為直行、左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)車道。交叉口的渠化方案和相位方案如圖2所示。

圖2 仿真交叉口渠化及信號相位相序圖

在算例分析過程中，為了控制單一變量，使得計算過程中綠燈時間改變僅與東進口直行車道車輛到達率的變化有關?，F(xiàn)假定東進口直行車道車輛到達率服從正態(tài)分布，期望為250-450pcu/h，步長為50pcu/h，方差為0-100，步長為10pcu/h，其余各進口道車輛到達率服從均勻分布。各方向進口道的飽和流量、期望和方差如表1所示。周期損失時間L=8s。

表1 交叉口各進口道的飽和流量、期望和方差

本次研究采用Webster周期公式計算交叉口周期時長，Matlab作為仿真工具，求解交叉口可靠度。改變交叉口東進口道車輛到達的期望和方差，得到周期時長和交叉口可靠度的仿真結果并進行分析。

圖3 交叉口東進口直行車道車輛到達期望與可靠度關系圖 圖4 東進口直行車道車輛到達期望與周期時長的關系圖

由圖3可知，當東進口直行車道車輛到達率增加時，東進口車道可靠度呈單調(diào)遞減趨勢，由1降至0.005。由圖4可知，當東進口直行車道車輛到達率增加時，交叉口的周期時長隨之增加，由56s增至166s，其對應的相位一的綠燈時間從15.4s增加到97.8s。

由圖3可知，在東進口直行車道車輛到達期望值變化過程中，交叉口可靠度始終穩(wěn)定在0.6-0.8之間，無較大波動。結合圖4可知，為保證交叉口可靠度在0.6～0.8之間，周期時長也需要隨之增加，且甚至達到166s，超出了限定的交叉口最大周期時長，進而證明車輛隨機到達特性對交叉口信號設置參數(shù)的影響顯著。

圖5 在不同期望、不同方差條件下的交叉口可靠度

本文交叉口的渠化方案中，各方向直行車道僅有一條，則主要分析該交叉口東進口直行車道車輛到達率的期望為250-450pcu/h，方差為0～100條件下，交叉口可靠度的變化情況。由圖5可知，當該交叉口東進口直行車道車輛到達率的期望、方差發(fā)生變化時，交叉口可靠度也隨之變化。當交叉口東進口道車輛到達率期望一定時，交叉口的可靠度隨方差的變化，上下浮動。由圖可知，方差在0～10范圍內(nèi)變化時，該車道的車輛數(shù)變化幅度較低，信號周期滿足交叉口車輛通行需求，因此各期望條件下交叉口可靠度基本保持定值；方差在10～55范圍內(nèi)變化時，隨車道車輛數(shù)變化幅度的增加，此時該車道接近飽和狀態(tài)，交叉口可靠度的波動程度相較0～10范圍內(nèi)增大；方差在55～100范圍內(nèi)變化時，車輛到達不穩(wěn)定性增加，易發(fā)生排隊擁擠現(xiàn)象，故波動性較為明顯。此外當交叉口東進口直行車道車輛到達率方差一定時，隨著期望的增加，交叉口可靠度降低。

圖6 不同期望、方差條件下的車輛延誤

由圖6可知，方差在0～20范圍內(nèi)變化時，東進口直行車道車輛延誤保持穩(wěn)定；方差在20-30范圍內(nèi)變化時，東進口直行車道車輛延誤有所增加；方差大于70時，該交叉口易發(fā)生排隊擁擠情況，東進口直行車道車輛延誤穩(wěn)定性也隨之下降，對應交叉口可靠度變化較為明顯。當期望為450pcu/h，方差為70時，延誤出現(xiàn)極大值；當期望400pcu/h，方差為90時，出現(xiàn)極小值，易引發(fā)車輛二次排隊，造成不同程度的交通擁堵，結合可靠度分析具有一定的不適用性。由圖5和圖6可知，當該交叉口東進口直行車道車輛的期望為250pcu/h，方差為65時，車輛延誤為15.98s/pcu，交叉口可靠度為0.569，且此時交叉口可靠度最高。綜上所述，交叉口交通流的隨機特性對交叉口可靠度影響顯著，進而對交叉口信號配時參數(shù)設計影響顯著，因此在設計交叉口信號配時方案中應當充分考慮車輛到達到隨機性的因素。

3.2 交叉口可靠度評價分析

為證明交叉口可靠度可作為交叉口信號配時方案的評價指標之一，現(xiàn)改變該交叉口的信號配時方案，求解不同信號配時方案下的交叉口可靠度，結合交叉口車輛延誤，選出適合該交叉口的信號配時方案。本算例沿用算例1交叉口渠化方式，在同種交通到達率條件下設計三種信號配時方案。方案一沿用算例1的四相位相位方案[10]。

方案二、方案三采用的相位方案分別如圖7(a)，(b)所示。

(a) (b)

假設該交叉口各進口道車輛到達率服從均勻分布，其中東進口直行期望為350，方差為0，其他各方向進口道的飽和流量、期望和方差如表1所示。

此外，為分析交叉口可靠度對信號配時方案評價的準確性，假定信號周期為68s，周期總損失時間L=8s，同時借用整個交叉口的每車平均延誤作為其驗證指標，交叉口每車平均延誤公式見公式2.2-15。對三種信號配時方案及其可靠度、車輛延誤進行仿真計算，計算結果見表2。

表2 交叉口信號配時方案及對應的可靠度

由表2可知，在交叉口信號配時方案中，方案一與方案二比較，當信號周期一定時，方案二各相位綠燈時間較為均衡，一定程度上限制了交叉口各方向直行車道的通行能力，使得車流量較大的車道出現(xiàn)二次排隊情況，因此相較于方案一，方案二的交叉口可靠度降低，交叉口車輛延誤增加。方案一與方案三比較，區(qū)別在于方案一右轉(zhuǎn)與直行同時放行，方案三右轉(zhuǎn)與左轉(zhuǎn)同時放行。方案變化后，直行車道放行時間減少，左轉(zhuǎn)和右轉(zhuǎn)放行時間增加，在一定程度上造成直行車道的二次排隊，左轉(zhuǎn)車道的綠燈損失時間較長。因此方案三的交叉口可靠度較方案一有所降低，交叉口車輛延誤增加。故在本文假設的三個信號配時方案中，方案一最佳，交叉口可靠度為0.531，交叉口車輛延誤為25.63 s/pcu。

綜上所述，在交叉口信號配時方案中，結合交叉口車輛延誤可知，相位相序?qū)徊婵诳煽慷纫簿哂幸欢ǖ挠绊?。因此為使車流在交叉口的運行狀態(tài)滿足一定的可靠度需求，應在信號配時設計中充分考慮相位和相序的影響。

3.3 交叉口可靠度約束分析

為證明交叉口可靠度可作為計算交叉口信號周期的約束條件之一，現(xiàn)將上述模型中式(10)改為：

mind=d1+d2

(16)

式中：

λ：對應相位綠信比；

θ：進口道的飽和度；

R0：滿足一定要求的交叉口可靠度。

本算例沿用算例二求得的相對最優(yōu)相位方案，在保證車輛到達率服從均勻分布的情況下，將滿足一定要求的交叉口可靠度作為約束條件，比選方案二中假定R0≥0.70，比選方案三中假定R0≥0.80，結合車輛延誤，對該交叉口的信號周期進行調(diào)整，算例結果見下表3。

表3 交叉口信號配時方案比較

由上表3可得，在交叉口的車輛到達率服從均勻分布時，保持交叉口的渠化方案和相位方案不變，當交叉口可靠度滿足R0≥0.70的條件時，該交叉口的信號配時方案如比選方案二所示，周期時長為112s，交叉口車輛延誤為19.53s/pcu。當交叉口可靠度滿足R0≥0.80的條件時，該交叉口的信號配時方案如比選方案三所示，周期時長為178s，交叉口車輛延誤為16.62 s/pcu，但此時信號周期較長，不滿足實際要求。故在本文假設的三個交叉口可靠度中，比選方案二最佳，交叉口可靠度為0.720，交叉口車輛延誤為19.53 s/pcu。

綜上所述，在交叉口信號配時方案中，結合交叉口車輛延誤可知，交叉口可靠度對信號周期時長具有一定的影響，當交叉口可靠度增加時，周期時長也相應增加。因此，在今后計算交叉口信號配時的研究中，可將交叉口可靠度作為其約束條件，優(yōu)化交叉口信號配時方案。

4 總結

為了評價和優(yōu)化交叉口的運行狀態(tài)，判斷交叉口信號配時方案是否滿足通行需求，本文定義了交叉口可靠度的概念，引入交叉口可靠度的計算公式和評價標準。參考Webster模型，計算交叉口信號配時方案，根據(jù)交叉口交通流到達率的隨機性特點，對該交叉口在當前信號配時方案條件下的可靠度進行計算，得到了交叉口可靠度與周期時長、車輛到達期望和方差的關系。研究結果表明，當交叉口進口道車輛到達率期望一定時，方差越大，交叉口穩(wěn)定性越低。當交叉口進口道車輛到達率方差一定時，期望越大，可靠度越低。同時，本文算例二中假設了三種交叉口信號配時方案，將交叉口可靠度作為評價標準，結合車輛延誤，證明相位相序?qū)徊婵诳煽慷染哂幸欢ǖ挠绊?。本文算例三中假設了三種交叉口可靠度值，將交叉口可靠度作為約束條件，結合車輛延誤，證明交叉口可靠度對信號周期時長具有一定的影響。因此為使車流在交叉口的運行狀態(tài)滿足一定的可靠度需求，不僅要考慮車輛隨機到達的特點，也要考慮在信號配時設計中相位、相序和周期時長的影響。本文研究的交叉口可靠度模型適用于渠化方案較為簡單的交叉口，對于含有搭接相位的交叉口信號配時方案不適用，還有待進一步研究。