滾動軸承的振動性能退化過程與保持可靠性研究

程 立, 夏新濤,2, 馬文鎖,2

(1. 河南科技大學 機電工程學院, 河南 洛陽 471003;2. 河南科技大學 機械裝備先進制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心, 河南 洛陽 471003)

1 引 言

滾動軸承在機械設(shè)備上有著廣泛應用,一旦出現(xiàn)故障會造成巨大的經(jīng)濟損失和嚴重的人員傷亡[1,2],這使得滾動軸承的可靠性[3～6]成為了一個熱門的研究領(lǐng)域。大量的關(guān)于滾動軸承可靠性的研究是建立在概率分布與趨勢均已知的經(jīng)典統(tǒng)計學基礎(chǔ)上[7,8],并根據(jù)失效數(shù)據(jù)來構(gòu)建壽命可靠性預報模型。但是這類方法的缺陷在于難以解決事先概率分布與趨勢未知的可靠性預報問題[9,10]。針對上述問題,夏新濤等[11]根據(jù)滾動軸承的振動性能數(shù)據(jù)建立了滾動軸承的性能保持可靠性評估模型。滾動軸承的性能退化描述的是滾動軸承的運轉(zhuǎn)性能從正常到失效的過程,精準的評估滾動軸承的退化歷程能夠避免意外停機造成的經(jīng)濟損失。傳統(tǒng)的方法主要從時域、頻域以及時頻域方面進行研究,近年來人工智能、混沌理論、熵理論[12]在滾動軸承退化研究上得到廣泛的應用。王冰等[13]針對軸承性能退化狀態(tài)的識別問題,提出一種基于基本尺度熵與GG(gath-geva)聚類的退化狀態(tài)識別方法。許迪等[14]提出基于流形學習和M-KH-SVR(multivariable-krill herd-support vector regression)的滾動軸承衰退預測方法。姜萬錄等[15]出了一種基于變分模態(tài)分解(VMD)和支持向量數(shù)據(jù)描述(SVDD)相結(jié)合的滾動軸承性能退化程度定量評估方法。以上的文獻均是對滾動軸承性能退化進行研究,但是關(guān)于滾動軸承的性能退化歷程和可靠性之間存在怎樣的關(guān)系研究較少。

本文對滾動軸承的性能退化過程與其保持可靠性之間的關(guān)系進行研究。首先基于最大熵法和泊松過程[16]建立滾動軸承振動性能保持可靠性模型,然后提出一種基于最大熵法[17]和相似度法[18～20]的滾動軸承性能退化模型。最后基于灰關(guān)系理論[21]對滾動軸承的性能退化序列和保持可靠性序列之間的關(guān)系進行評估。

2 模型描述

在滾動軸承服役期間,對其振動信號進行定期采樣。定義時間變量為t,數(shù)據(jù)采樣時間周期為ω,ω為取值很小的常數(shù),滾動軸承服役周期內(nèi)可獲得r個振動序列。本征序列是指滾動軸承最佳運行狀態(tài)時期的振動序列,記為第1個振動序列,用向量X1表示。

X1=[x(1),x(2),…,x(N)]

(1)

式中N為振動數(shù)據(jù)的總個數(shù)。

隨著時間t進行,不斷采集振動數(shù)據(jù),獲得第n個振動序列Xn:

Xn={xn(1),xn(2),…,xn(N)}

(2)

式中n為振動序列的序號,n=1,2,…,r。

所獲得的振動序列矩陣X可以表示為:

X=[X1,X2,…,Xr]

(3)

2.1 滾動軸承振動性能保持可靠性模型

2.1.1 最大熵原理

運用最大熵原理[17]能夠?qū)ξ粗母怕史植甲龀鲋饔^偏見為最小的最佳估計。為敘述方便,用連續(xù)變量x表示本征序列中的離散變量。

根據(jù)最大熵原理,最無主觀偏見的概率密度函數(shù)應滿足熵最大,即

(4)

式中:H(x)為信息熵;Ω為隨機變量x的可行域;f(x)為連續(xù)變量x的概率密度函數(shù)。

式(4)應滿足約束條件:

(5)

(6)

式中:i為原點距階數(shù),i=0,1,2,…,m;m為最高階原點距的階次;mi為第i階原點距,m0=1。

采用拉格朗日乘子法求解此問題,通過調(diào)整f(x)使熵達到最大值。設(shè)L(x)為拉格朗日函數(shù),ci為第i個拉格朗日乘子,從而得到:

(7)

(8)

因此,可得概率密度函數(shù)f(x)的表達式為:

(9)

根據(jù)式(5)和式(9),可得:

(10)

(11)

將式(10)對ci進行微分,可得:

(12)

將式(11)對ci進行微分,可得:

(13)

根據(jù)式(12)和式(13),可得其它的拉格朗日乘子應滿足條件:

(14)

通過式(14)可得到求解ci;再根據(jù)式(11)可求解出c0,進而根據(jù)式(9)求解出f(x)。

2.1.2 本征序列振動數(shù)據(jù)的參數(shù)估計

本征序列振動數(shù)據(jù)的估計真值X01為:

(15)

設(shè)顯著水平α∈[0,1],則置信水平為:

P=(1-α)×100%

(16)

(17)

(18)

因此,連續(xù)變量x的最大熵估計區(qū)間為:

(19)

計算本征序列的最大熵估計區(qū)間[XL1,XU1],其中,XL1為本征序列最大熵估計區(qū)間的下限值,XU1為本征序列最大熵估計區(qū)間的上限值。

2.1.3 基于泊松計數(shù)原理求振動性能保持可靠度

記錄第n個振動序列的振動數(shù)據(jù)落在本征序列最大熵估計區(qū)間[XL1,XU1]之外的個數(shù)Nn,獲得第n個振動序列的變異頻率θn,表示為:

(20)

滾動軸承性能保持可靠度R(n)用于表征滾動軸承運行可以保持最佳振動性能狀態(tài)的可能性[16]:

R(n)=exp(-θn)

(21)

2.2 滾動軸承的振動性能退化模型

對于滾動軸承的第n個振動性能數(shù)據(jù)序列Xn

Xn={xn(1),xn(2),…,xn(N)}

(22)

先對Xn進行歸一化處理,然后進行等概率可放回的多次抽樣,可得到一個自助樣本Yb,設(shè)為

Yb={yb(1),yb(2),…,yb(k),…,yb(j)}

(23)

其中:j為自助樣本數(shù)據(jù)序列總個數(shù);yb(k)為自助樣本的第k個數(shù)據(jù)。

則自助樣本的均值為:

(24)

按此方法重復進行B次,從而得到一個樣本含量為B的自助樣本,可表示為:

YB={Y1j,Y2j,…,Ybj,…,YBj}

(25)

式中b=1,2,…,B。

對自助樣本YB運用最大熵方法,求取概率密度函數(shù)。設(shè)滾動軸承本征序列自助樣本的最大熵概率密度函數(shù)為:

(26)

設(shè)滾動軸承其它序列自助樣本的最大熵概率密度函數(shù)為:

(27)

定義退化概率為:

(28)

式中Θ為隨機變量x的可行域,即f1(x)與fn(x)的重疊部分。

當退化概率Q的值很小時,滾動軸承的振動性能發(fā)生退化的可能性很低,即滾動軸承維持在良好的運轉(zhuǎn)性能中;當退化概率Q的值變大時,滾動軸承的振動性能發(fā)生退化的可能性變高,即運轉(zhuǎn)狀況變惡劣。

2.3 振動性能保持可靠性與退化概率的灰關(guān)系評估

根據(jù)式(21),可求得性能保持可靠度序列Φ1:

Φ1={φ1(1),φ1(2),…,φ1(n),…,φ1(r)}

(29)

式中φ1(n)=R(n)。

同樣,根據(jù)式(28),可以求出退化概率序列Φ2:

Φ2={φ2(1),φ2(2),…,φ2(n),…,φ2(r)}

(30)

式中φ2(n)=Q(n)。

對性能保持可靠度序列Φ1和退化概率序列Φ2進行歸一化處理,然后分析其關(guān)聯(lián)程度。

式(29)和式(30)中,Φ1和Φ2的樣本分別為φ1(n)和φ2(n),設(shè):

(31)

(32)

式中l(wèi)=1,2。歸一化處理得：

(33)

則有

Gl={gl(n)}

(34)

式中Gl為Φl的規(guī)范化生成序列。

對于歸一化生成序列Gl,有g(shù)l(n)∈[0,1],gl(1)=0,gl(r)=1。

在最少量信息原理下,對于任意的n,若Gl是規(guī)范化排序序列,則參考序列GΛ的元素可以是常數(shù)0,即gΛ(1)=gΛ(2)=…=gΛ(n)=…=gΛ(r)=0。

取分辨系數(shù)ε∈[0,1],可以得到灰關(guān)聯(lián)系數(shù)的表達式:

(35)

式中ΔΛl(n)為灰差異信息,可表示為:

ΔΛl(n)=|gl(n)-gΛ(n)|

(36)

定義灰關(guān)聯(lián)度為

(37)

定義兩個排序序列Φ1和Φ2之間的灰差為

d1,2=|γΛ1-γΛ2|

(38)

給定Φ1和Φ2,對于ε∈(0,1],總存在唯一的一個實數(shù)dmax=d1,2max,使得d1,2

定義基于2個數(shù)據(jù)序列Φ1和Φ2之間灰關(guān)系的屬性權(quán)重為

(39)

式中:屬性權(quán)重f1,2∈[0,1];參數(shù)η∈[0,1]。

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論[21],在給定準則下,默認λ為真元的代表。對于式(39),給定Φ1和Φ2,取參數(shù)λ∈[0,1]為水平,若存在一個映射f1,2≥λ,則認為Φ1和Φ2具有相同的屬性,λ為模糊數(shù)。當λ=0.5時,研究對象的兩實體模糊性達到最大,介于較難分辨的真和假之間;當λ﹥0.5時,Φ1和Φ2灰關(guān)系趨于清晰;當λ﹤0.5時,兩事物關(guān)聯(lián)度較小或者兩者之間差異大,所以,取f1,2=λ=0.5,認為軸承振動性能保持可靠性Φ1和振動性能退化概率Φ2具有相同的屬性。

設(shè)η∈[0,0.5],由式(39)可得dmax=(1-f1,2)η。令

P1,2=1-(1-λ)η=(1-0.5η)×100%

(40)

式中:P1,2為灰置信水平,又稱為灰理論概率;P1,2描述了Φ1和Φ2屬性相同的可信度;η值可由式(40)求得?；抑眯潘饺≈翟酱?滾動軸承振動性能保持可靠性Φ1和振動性能退化概率Φ2之間的關(guān)系越密切;反之,兩者之間的關(guān)系越疏松。這表明了軸承振動性能保持可靠性和振動性能退化概率之間的本質(zhì)關(guān)系。具體實施時,可取f1,2=0.5,通過計算灰置信水平來評估兩者關(guān)聯(lián)程度。若灰置信水平不小于90%,則認為軸承振動性能保持可靠性和振動性能退化概率關(guān)系密切;否則不密切。

3 案例分析

3.1 案例一

該案例為對軸承內(nèi)溝道表面加入點蝕缺陷,從而引起振動加速度演變的仿真案例。數(shù)據(jù)來自美國Case Western Reserve University的軸承數(shù)據(jù)中心網(wǎng)站[22],該中心擁有一個專用的滾動軸承故障模擬實驗臺。該實驗臺包括1個2馬力(約1.5kW)的電動機,1個轉(zhuǎn)矩傳感器/譯碼器和1個功率測試計等。待檢測的軸承支撐著電動機的轉(zhuǎn)軸,驅(qū)動端軸承型號為SKF6205,風扇端軸承型號為SKF6203。用加速度傳感器測量軸承振動加速度信號。采用的驅(qū)動端轉(zhuǎn)速為1 797 r/min、采樣頻率為12 kHz得到的軸承內(nèi)圈有損傷的故障數(shù)據(jù),損傷直徑分別為0 mm,0.1 778 mm,0.533 4 mm和0.711 2 mm。所得軸承振動加速度的原始數(shù)據(jù)序列如圖1所示。

圖1 軸承在不同磨損直徑下的振動信號Fig.1 Vibration signal of bearing under different wear diameters

由圖1可知,隨著磨損直徑的增大,滾動軸承振動序列的幅值波動愈加劇烈,磨損直徑大小直接影響滾動軸承的振動性能。而軸承磨損直徑的尺寸表征著軸承損傷的嚴重程度:磨損直徑越大,軸承損傷越嚴重。這也就意味著,隨著滾動軸承損傷程度的加劇,滾動軸承振動序列的振動幅值波動愈加劇烈,滾動軸承的振動性能在逐步惡化。

以損傷直徑為0 mm時獲得的振動數(shù)據(jù)序列為本征序列,以磨損直徑為0.177 8 mm,0.533 4 mm和0.711 2 mm時測得的軸承振動加速度數(shù)據(jù)序列分別看作是第2,3,4個振動序列,如圖1所示。由式(4)～式(19)可得在置信水平P=95%條件下,本征序列的最大熵估計區(qū)間為[-0.111 4,0.123 5]。根據(jù)泊松計數(shù)原理,記錄磨損直徑分別為0 mm,0.177 8 mm,0.533 4 mm和0.711 2 mm時測得的各振動序列的1 600個性能數(shù)據(jù)落在本征序列最大熵估計區(qū)間[-0.111 4,0.123 5]之外的個數(shù)Nn,并求出變異頻率θn和保持可靠度R(n),結(jié)果如表1和圖2所示。

表1 保持可靠性參數(shù)和退化概率Tab.1 Parameters of continuity reliability and degradation probability

圖2 軸承在不同磨損直徑下的保持可靠度Fig.2 The continuity reliability of rolling bearing under different wear diameters

由圖2可以看出,隨著磨斑直徑的增大,滾動軸承的振動性能保持可靠性在逐漸降低,說明軸承的運轉(zhuǎn)性能在逐漸下降。磨損直徑分別為 0 mm時,滾動軸承的保持可靠性較高,達到95.24%;當磨損直徑分別為0.177 8 mm時,滾動軸承的保持可靠性下降到56.24%,下降幅度很大;而當磨損直徑繼續(xù)增大,也就是滾動軸承損傷程度進一步加重時,滾動軸承的保持可靠性也在繼續(xù)下降,但是下降的幅度較第1次下降的幅度有所變緩。

由分析可以發(fā)現(xiàn),基于最大熵法和泊松過程的滾動軸承振動性能保持可靠性模型可以準確地模擬出滾動軸承的可靠性演變歷程。

由式(22)～式(27)分別求出振動序列X1、X2、X3、X4的自助最大熵概率密度函數(shù)(PDF),結(jié)果如圖3所示。分別將X2、X3、X4的自助最大熵概率密度曲線與X1的概率密度曲線畫在同一坐標系下,如圖4所示,并求取重疊部分面積。

圖3 振動序列的最大熵PDFFig.3 Maximum entropy probability density function (PDF) of the vibration series

圖4 相似度法求退化概率Fig.4 Using the similarity method to find the degradation probability

由圖4可以直觀看出, 從X2到X4,它們與X1的重疊面積在逐漸減小。而PDF是在數(shù)據(jù)分布的層面上反映了序列的固有特征,所以這也可以認為,從X2到X4,它們與本征序列X1的相似度在下降。

為了進一步研究滾動軸承運轉(zhuǎn)過程中的退化機理,由式(28)求出退化概率,結(jié)果如表1和圖5所示。從圖5可以看出隨著滾動軸承的磨斑直徑的增大,退化概率在逐漸升高。這也表明滾動軸承內(nèi)圈表面的缺陷使其運轉(zhuǎn)性能發(fā)生退化,并且缺陷越嚴重,軸承運轉(zhuǎn)性能發(fā)生退化的概率越大。其中當磨斑直徑由0 mm增大到0.177 8 mm時,滾動軸承的性能退化概率增長幅度很大;而當磨斑直徑繼續(xù)增大時,滾動軸承的性能退化概率雖也在增長,但是增長的幅度開始變緩。這一規(guī)律正好符合滾動軸承的性能保持可靠性的演變規(guī)律。

圖5 軸承在不同磨損直徑下的退化概率Fig.5 Degeneration probability of bearing under different wear diameters

為了定性分析滾動軸承振動性能保持可靠性與振動性能退化概率之間的關(guān)系,以退化概率Φ2為橫坐標,保持可靠度Φ1為縱坐標,得到圖6。由圖6可以看出,隨著滾動軸承的退化概率的增大,滾動軸承的振動性能保持可靠度在逐漸下降,兩者在刻畫滾動軸承振動性能演變歷程上呈現(xiàn)反比關(guān)系。也就是說,滾動軸承性能的退化會導致保持可靠性的下降和退化概率升高。為了定量分析兩者的一致程度,取退化概率序列的相反數(shù)作為Φ2=(0,-29.63,-52.85,-59.46),保持可靠度序列為Φ1=(95.24, 56.24, 49.44, 41.40),并由式(29)～式(40)對滾動軸承振動性能保持可靠性與振動性能退化概率進行灰關(guān)系分析,用灰色系統(tǒng)理論來評估它們關(guān)聯(lián)程度。

圖6 保持可靠性和與退化概率的定性關(guān)系Fig.6 The qualitative relationship between continuity reliability and degradation probability

在分析滾動軸承振動性能保持可靠性與振動性能退化概率之間的灰關(guān)系時,取參數(shù)f1,2=0.5,求出兩者之間的灰置信水平為97.55%>90%,這表明Φ1和Φ2的關(guān)系非常緊密,說明滾動軸承振動性能保持可靠性與振動性能退化概率之間有明顯的灰關(guān)系,可信水平達到97.55%。

3.2 案例二

該案例為在杭州軸承試驗研究中心的ABLT-1 A型軸承壽命強化實驗機上進行的滾動軸承疲勞壽命強化(快速)實驗,實驗設(shè)備如圖7所示。該實驗機主要由試驗頭、試驗頭座、傳動系統(tǒng)、加載系統(tǒng)、潤滑系統(tǒng)、計算機控制系統(tǒng)等部分組成。實驗所用的軸承型號為7008AC/P2,數(shù)量為4套。軸向加載3.5 kN,徑向加載2 kN,實驗轉(zhuǎn)速為4 000 r/min。每1 min記錄1個振動數(shù)據(jù),共記錄8 400個振動數(shù)據(jù),所得軸承振動加速度原始數(shù)據(jù)序列如圖8所示。

圖7 軸承壽命實驗設(shè)備Fig.7 Bearing life test equipment

圖8 軸承振動信號時間序列Fig.8 Bearing vibration signal time series

由圖8可以看出,隨著時間的推進,記錄的滾動軸承振動加速度值在整體上呈波動上升趨勢。當t≤2 800時,隨著t的增加,振動加速度值略微下降后開始進入一個基本平穩(wěn)階段,這表示滾動軸承經(jīng)過短暫的跑和期后進入正常運轉(zhuǎn)期。當2 800

由式(4)～式(19)可得在置信水平P=95%條件下,本征序列的最大熵估計區(qū)間為[7.663 84,11.952 1]。根據(jù)泊松計數(shù)原理,記錄振動序列X2和X3的各2 800個性能數(shù)據(jù)落在本征序列最大熵估計區(qū)間[7.663 84,11.952 1]之外的個數(shù)Nn,并求出變異頻率θn和保持可靠度R(n),結(jié)果如表2和圖9所示。

表2 保持可靠性參數(shù)和退化概率Tab.2 Parameters of continuity reliability and degradation probability

圖9 不同振動序列的保持可靠度Fig.9 The continuity reliability of different vibration sequences

由圖9可以看出,隨著時間的推進,滾動軸承的振動性能保持可靠性在逐漸降低,說明軸承的運轉(zhuǎn)性能在逐漸下降。在振動序列X1階段,滾動軸承的保持可靠性非常高,達到97.14%,此時的滾動軸承處于最佳運轉(zhuǎn)性能狀態(tài);在振動序列X2階段,滾動軸承的保持可靠性下降到56.76%,下降幅度很大,說明滾動軸承發(fā)生了退化;在振動序列X3階段,滾動軸承的保持可靠性繼續(xù)下降,達到了38.25%,此時的軸承已經(jīng)發(fā)生嚴重失效。但是下降的幅度,沒有第1次下降的幅度大。上述分析表明,基于最大熵法和泊松過程的滾動軸承振動性能保持可靠性模型可以模擬出滾動軸承的可靠性演化歷程。

由式(22)～式(27)分別求出振動序列X1、X2、X3的自助最大熵概率密度函數(shù),結(jié)果如圖10所示。分別將X2、X3的自助最大熵概率密度曲線與X1的概率密度曲線畫在同一坐標系下,如圖11所示,并求取重疊部分面積。由圖11可以直接看出,從X2到X3,它們與X1的重疊面積在逐漸減小,這說明它們與本征序列X1的相似度在逐漸下降。

圖10 振動序列的最大熵PDFFig.10 Maximum entropy PDF of the vibration series

圖11 相似度法求退化概率Fig.11 Using the similarity method to find the degradation probability

由式(28)求出退化概率,結(jié)果如表2和圖12所示。從圖12可以看出隨著時間的推進,滾動軸承的退化概率在逐漸升高。滾動軸承從振動序列X1變化到振動序列X2時,性能退化概率增長幅度較大;而當滾動軸承從振動序列X2變化到振動序列X3時,動軸承的性能退化概率雖也在增長,但是增長的幅度較小。這一規(guī)律和滾動軸承的性能保持可靠性的演變規(guī)律是一致的。

圖12 不同振動序列的退化概率Fig.12 Degeneration probability of different vibration sequences

圖13為保持可靠性和與退化概率的定性關(guān)系。由圖13可以看出,隨著滾動軸承的退化概率的增大,滾動軸承的振動性能保持可靠度在逐漸下降,兩者在刻畫滾動軸承振動性能演變歷程上呈現(xiàn)反比關(guān)系。也就是說,滾動軸承性能的退化會導致保持可靠性的下降和退化概率升高。為了定量分析兩者的一致程度,取退化概率序列的相反數(shù)作為Φ2=(0, -39.15, -75.21),保持可靠度序列為Φ1=(97.14, 50.76, 38.25),并由式(29)～式(40)對滾動軸承振動性能保持可靠性與振動性能退化概率進行灰關(guān)系分析,用灰色系統(tǒng)理論來評估它們關(guān)聯(lián)程度。取參數(shù)f1,2=0.5,求出兩者之間的灰置信水平為84.4%,這表明Φ1和Φ2兩序列的關(guān)系比較緊密,說明滾動軸承振動性能保持可靠性與振動性能退化概率之間有明顯的灰關(guān)系,可信水平達到84.4%。

圖13 保持可靠性和與退化概率的定性關(guān)系Fig.13 The qualitative relationship between continuity reliability and degradation probability

5 結(jié) 論

本文提出一種基于最大熵法和相似度法的滾動軸承振動性能退化模型,并對滾動軸承的性能退化過程與其保持可靠性之間的關(guān)系進行研究。2個實驗案例的結(jié)果表明,所提方法可以有效地對滾動軸承的退化特征進行提取和識別;滾動軸承振動性能保持可靠性序列曲線與性能退化序列曲線的變化趨勢具有一致性,并且兩者之間有明顯的灰關(guān)系,可信水平均達到80%以上。

本文僅從對滾動軸承振動數(shù)據(jù)進行分析的角度,揭示了滾動軸承可靠性的演變歷程與振動性能退化過程之間的內(nèi)在關(guān)系,尚未涉及對滾動軸承進行動力學建模。下一步研究將從動力學角度分析二者之間的關(guān)系。