“聚”還是“散”，都由半徑說了算

冉潔　陳克超

對于帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的問題，粒子的初始位置與速度是分析的源頭，初始條件決定了粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，從而確定粒子運(yùn)動(dòng)軌跡。以定圓為基礎(chǔ)的動(dòng)態(tài)圓，是粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的重要模型。如果大量粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，軌道半徑又是如何決定粒子在磁場中的聚散情形呢？下面，筆者以粒子在圓形磁場中運(yùn)動(dòng)的匯聚與發(fā)散為例來展開討論。

一、模型剖析

1.模型情景

如圖1甲所示，帶電粒子從圓周上一點(diǎn)P以任意角θ，沿垂直于磁場方向射入勻強(qiáng)磁場中，所有帶電粒子都以平行于入射點(diǎn)磁場區(qū)域圓的切線的方向成平行線射出磁場，這就是磁發(fā)散;若帶電粒子以平行的速度射入磁場，所有粒子都從磁場邊界上的同一點(diǎn)射出，并且出射點(diǎn)的切線與入射速度方向平行，如圖1乙所示，這就是磁聚焦。

2.模型條件

設(shè)磁場圓、軌跡圓兩個(gè)圓相交，帶電粒子在P點(diǎn)取任意一個(gè)方向射入磁場區(qū)域，出射速度方向平行于x軸，如圖2甲所示，由于QO1=PO1，PO2=O2Q，PO1=QO2，四邊形PO2QO1為一個(gè)菱形，即可證明軌跡圓的半徑r等于磁場圓的半徑R。據(jù)此我們可得，若磁場區(qū)域?yàn)閳A形勻強(qiáng)磁場（或其中一部分），r=R，則符合磁發(fā)散與匯聚模型的條件;反之，若出現(xiàn)磁發(fā)散與匯聚，則必有r=R，如圖2甲、乙所示。

3.模型特點(diǎn)

粒子以速率v與x軸夾角為θ的方向射入圓形磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，從磁場邊界射出，偏轉(zhuǎn)角設(shè)為β。根據(jù)幾何關(guān)系得出：粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度β與夾角θ相等。由圖2甲、乙可以看出，磁發(fā)散與匯聚具有可逆性，并均具有幾何對稱性特征。

二、真題在線

【例1】（2021湖南卷）帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一。帶電粒子流（每個(gè)粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q）以初速度v垂直進(jìn)入磁場，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xOy平面內(nèi)的粒子，求解以下問題。

（1）如圖3甲，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A（0，r1）、半徑為r1的圓形勻強(qiáng)磁場中，若帶電粒子流經(jīng)過磁場后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小。

（2）如圖3甲，虛線框?yàn)檫呴L等于2r2的正方形，其幾何中心位于C（0，-r2）。在虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場，使匯聚到O點(diǎn)的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小和方向，以及該磁場區(qū)域的面積（無須寫出面積最小的證明過程）。

（3）如圖3乙，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4，并沿x軸正方向射出，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場區(qū)域的面積（無須寫出面積最小的證明過程）。

【解析】（1）帶電粒子在圓形磁場中運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場時(shí)速度與x軸方向平行，并且粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于磁場圓的半徑r1，所有粒子將匯聚于一點(diǎn)。根據(jù)模型條件與結(jié)論，由幾何關(guān)系有r=r1，洛倫茲力提供向心力qvB1=，解得BⅠ=。

（2）磁聚焦模型與磁發(fā)散模型隱含的重要特征，是粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的半徑等于圓形磁場的半徑。題中圓形磁場即為最小的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，如圖4所示。

磁場半徑為r2，根據(jù)qvB=m可知磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2=，根據(jù)左手定則可知磁場的方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶?，圓形磁場的面積為S2=πr22。

（3）“圓形磁場具有對稱性”是分析問題的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，將磁場圓和軌跡圓關(guān)聯(lián)在一起，利用比對、歸納等科學(xué)思維方法，可知從I射入的帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，3和4為粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓，1和2為粒子運(yùn)動(dòng)所在磁場的圓周（如圖5所示），根據(jù)qvB=m可知I和III中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為BⅠ=，BⅢ=。

圖5中箭頭部分的實(shí)線為粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，可知磁場的最小面積為葉子形狀，取I區(qū)域?yàn)槔鐖D6。通過計(jì)算可知，Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積SⅡ=-r32，SⅣ=-r42。

【例2】如圖7所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，大量比荷為、速度大小范圍為0～的粒子從PM和QK間平行于PM均勻射入圓形磁場區(qū)域，PM與圓心O在同一直線上，PM和QK間距離為0.5 R，已知從M點(diǎn)射入的速度為v0的粒子剛好從N點(diǎn)射出圓形磁場區(qū)域，N點(diǎn)在O點(diǎn)正下方，不計(jì)粒子重力以及粒子間的相互作用。

求：（1）圓形區(qū)域磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B及帶電粒子電性。

（2）圓形區(qū)域內(nèi)有粒子經(jīng)過的面積。

（3）①粒子到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度方向與ON之間夾角θ的最大值;②擋板CN、ND下方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，ND=R，直線CD與圓形區(qū)域相切于N點(diǎn)，到達(dá)N點(diǎn)的粒子均能從板上小孔進(jìn)入下方磁場，則ND板下表面上有粒子打到的區(qū)域長度l;③若發(fā)射的粒子束寬度改變?yōu)閐，在PO與CN之間，到達(dá)N點(diǎn)的粒子均能從板上小孔進(jìn)入下方磁場，ND板下表面有粒子打到的區(qū)域長度l′ED=R-粒子占粒子數(shù)目的百分比。

【解析】（1）速度為v0的粒子從M點(diǎn)射入，從N點(diǎn)射出，軌道半徑為r，由幾何關(guān)系可知r=R，qv0B=m，B=，由左手定則判斷可知粒子帶正電。

（2）速度為的粒子從M射入，射出點(diǎn)為A，如圖8所示，qv0B=m，MO1=r′=R，tanθ==，θ=30°，∠MOA=2（90°-θ）=120°。

MK間入射的速度為0～的粒子能到達(dá)的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，面積S=（πR2-R×R）+[π（R）2-R× R]=πR2-R2。

（3）①如圖9，由幾何關(guān)系可知，能到達(dá)N點(diǎn)的帶電粒子速度均為v0，半徑均為r=R，△KOB中cos β=== ，即β=60°。從K點(diǎn)射入帶電粒子速度偏轉(zhuǎn)角β=60°，從

M點(diǎn)入射帶電粒子速度偏轉(zhuǎn)角為90°，從N點(diǎn)出射的粒子速度與ON的夾角最大值為90°-β=30°。

②擋板下方磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，粒子均以速度v0進(jìn)入（如圖10），有qv02B=m，軌道半徑r″=R。ND板下表面被粒子打到的長度為l=lND-lNF=R-2R cos 30°=（1-）R。

③ND板下表面被粒子打到的長度滿足l=R-2R cos θ，而l′ED=R-R，則θ=45°。所以，由幾何關(guān)系可知射入磁場區(qū)域的寬度d=R-R（1-cos θ）=R，ND板下表面上離D點(diǎn)有粒子打到的區(qū)域長度l′ED=R-R粒子占粒子數(shù)目的百分比η=× 100%=× 100%=70.7%。