分層雙軸各向異性介質(zhì)電磁傳播矩陣計算

朱 逸, 李建周, 秦則蕓, 劉祥威, 張生俊

(1. 西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院, 陜西 西安 710129;2. 試驗物理與計算數(shù)學(xué)重點實驗室, 北京 100076)

0 引 言

各向異性介質(zhì)在武器隱身領(lǐng)域越來越受到重視[1-2],其電磁傳播特性受到國內(nèi)外專家學(xué)者的普遍關(guān)注[3-4]。目前,實現(xiàn)電大尺寸目標(biāo)的低可探測性主要依靠賦形技術(shù)和雷達吸波材料技術(shù)[5-6]。由于各向異性介質(zhì)特殊的電磁特性,不僅能吸收雷達發(fā)射波,還能通過控制介質(zhì)光軸使散射波能量集中于雷達非觀測方向,進一步提升目標(biāo)隱身性能[7-8],因此在目標(biāo)雷達特性研究領(lǐng)域,各向異性介質(zhì)涂覆目標(biāo)電磁散射建模備受關(guān)注[9-10]。

目前對各向異性介質(zhì)涂層的處理手段主要有兩種,一種是等效阻抗模型方法,該方法將涂覆目標(biāo)等效為各向異性阻抗目標(biāo)[11-12],利用表面等效阻抗去處理介質(zhì)涂層的電磁邊界問題,此方法的好處在于不用分析涂覆目標(biāo)的內(nèi)部場,能夠快速實現(xiàn)散射問題求解,但該方法作為一種等效算法,計算準(zhǔn)確度不能得到保證,并且適用范圍也存在一定限制。另一種方法是分層模型方法[13-16],將目標(biāo)表面涂層直接看作單層或者多層各向異性介質(zhì)的吸附,對其內(nèi)部場進行分析,該方法的優(yōu)點是與真實情況相符,計算結(jié)果更為準(zhǔn)確,普遍適用于各種情形,但其機理研究更為復(fù)雜和困難。對于分層模型方法,Teitler等最先開始了分層各向異性介質(zhì)的反射特性研究[17]。Guiwich等研究了多層各向異性球體中的平面波散射遞推公式[18]。Graham等研究了各向同性介質(zhì)和雙軸各向異性介質(zhì)分界面電磁波的反射與折射規(guī)律,指出了主軸和坐標(biāo)系夾角改變時反射系數(shù)和透射系數(shù)會顯著改變[19-20]。鄭宏興等通過廣義傳播矩陣方法,獲得分層單軸各向異性介質(zhì)的電磁傳播矩陣,并給出了計算單軸各向異性介質(zhì)反射和透射系數(shù)的解析表達式[21]。姚菁晶使用多模射線法得到了分層各向異性介質(zhì)涂覆無限大金屬平板的反射系數(shù),能計算金屬平板涂覆單層介質(zhì)時的反射系數(shù)[22]。

本文選擇了廣義傳播矩陣方法對分層各向異性介質(zhì)的電磁傳播特性進行研究,該方法屬于分層模型方法,需要對介質(zhì)內(nèi)部場進行分析,推導(dǎo)過程比較復(fù)雜,但更貼近于實際情況,計算精度高。前人已有工作主要是使用該方法對分層單軸各向異性介質(zhì)的電磁傳播特性進行研究,對于分層雙軸各向異性介質(zhì),并未對其進行具體的分析,在實際的求解過程中仍存在一定的問題。本文重點針對分層雙軸各向異性介質(zhì)電磁傳播矩陣計算存在的問題進行了探討，指出求解雙軸各向異性介質(zhì)的特征波時,耦合矩陣特征向量應(yīng)滿足的條件;給出了適用于各種介質(zhì)的廣義反射(透射)矩陣和通常意義反射(透射)矩陣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系;分析了多層介質(zhì)涂覆于金屬表面時,反射系數(shù)矩陣的計算方法。相對于前人只針對某些介質(zhì)結(jié)構(gòu)或介質(zhì)種類進行分析計算[23],本文算法可以適用于各種均勻涂覆的介質(zhì)情況。按介質(zhì)結(jié)構(gòu)分可以計算:單層介質(zhì)和多層介質(zhì)、有金屬襯底和無金屬襯底;按介質(zhì)種類分可以計算:各向同性介質(zhì)和各向異性介質(zhì),各向異性介質(zhì)中又包括單軸各向異性介質(zhì)和雙軸各向異性介質(zhì);因此具有更強的普適性。與此同時,還進一步將所得電磁傳播矩陣與彈跳射線(shooting and bouncing ray,SBR)法相結(jié)合,獲得各向異性介質(zhì)涂覆目標(biāo)的雷達散射截面(radar cross section,RCS),在目標(biāo)雷達特性研究領(lǐng)域有著重要意義。

1 介質(zhì)中的本征波

在各向異性介質(zhì)中,存在兩種不同波矢量的電磁波,稱為Ⅰ型波和Ⅱ型波。其電磁場本構(gòu)關(guān)系為D=ε0ε×E,B=μ0μH,相對介電常數(shù)ε和相對磁導(dǎo)率μ均為二階張量。

設(shè)z軸垂直于介質(zhì)分界面,由Maxwell旋度方程:

將旋度算子、電場和磁場分解為橫向分量和縱向分量,經(jīng)過推導(dǎo)得到橫向場與介質(zhì)參數(shù)之間的關(guān)系[23]

(1)

式中：V由電場和磁場的橫向分量組成,V=[Ex，Ey，Hx，Hy]T,稱為狀態(tài)矢量；C為4×4階矩陣,稱為耦合矩陣,具體元素表達式如下:

C11=i(-kxεzx/εzz-kyμyz/μzz)

C12=i(-kxεzy/εzz+kxμyz/μzz)

C13=i(kxky/ωεzz+ωμyx-ωμyzμxz/μzz)

C21=i(-kyεzx/εzz-kyμxz/μzz)

C22=i(-kyεzx/εzz-kxμxz/μzz)

C24=i(-kxky/ωεzz-ωμyx+ωμxzμzy/μzz)

C31=i(-kxky/ωμzz+ωεyx-ωεyzεxz/εzz)

C33=i(-kxεyz/εzz-kxμzx/μzz)

C34=i(kxεyz/εzz-kxμzy/μzz)

C42=i(kxky/ωμzz+ωεyx-ωεxzεzy/εzz)

C43=i(kyεxz/εzz-kyμzx/μzz)

C44=i(-kxεxz/εzz-kyμzy/μzz)

式(1)的通解形式為

V(z)=AeiλzB

(2)

式中：λ為4×4階對角陣,元素為C矩陣的特征值;A為C矩陣的4×4階特征向量矩陣,列向量與特征值相對應(yīng)；B為4×1階矩陣,為待定系數(shù),表示波的幅值。

如圖1所示,區(qū)域0是各向同性介質(zhì),區(qū)域1是各向異性介質(zhì)(包括單軸、雙軸),假設(shè)電磁波從區(qū)域0入射。

圖1 各向異性介質(zhì)界面Fig.1 Interface of anisotropic media

區(qū)域1中,存在Ⅰ型波和Ⅱ型波兩種波,對應(yīng)C矩陣的特征值形式為λ1=-λ3,λ2=-λ4,特征值大小分別與Ⅰ型波、Ⅱ型波的波矢量z軸方向分量相等,排列順序?qū)?yīng)Ⅰ型波和Ⅱ型波的上行波和下行波,A矩陣中的列向量與其一一對應(yīng)。

區(qū)域0中,Ⅰ型波和Ⅱ型波退化成TE波和TM波,C矩陣特征值形式為λ1=λ2=-λ3=-λ4,不同大小的特征值分別對應(yīng)一個二維特征向量空間。進行數(shù)值計算時,基底選取應(yīng)滿足TE波和TM波中電場和磁場x分量和y分量之間的關(guān)系。

當(dāng)區(qū)域1中為單軸各向異性介質(zhì)時,C矩陣可化簡為反對角矩陣,各區(qū)域?qū)?yīng)的特征向量矩陣形式為

(3)

此時,特征向量滿足TE波和TM波條件。當(dāng)區(qū)域1中為雙軸各向異性介質(zhì)時,各區(qū)域?qū)?yīng)的特征向量矩陣形式為

(4)

為使區(qū)域0中特征向量滿足TE波和TM波條件,區(qū)域0中特征向量矩陣的基底應(yīng)滿足：

(5)

式中:a0的上標(biāo)代表區(qū)域0,文中所有上標(biāo)都表示該參數(shù)處在的區(qū)域。進行數(shù)值計算時,應(yīng)對A矩陣進行歸一化處理,防止結(jié)果發(fā)散。

2 反射和透射系數(shù)計算

2.1 廣義反射系數(shù)和透射系數(shù)

如圖2所示的多層介質(zhì),區(qū)域0和區(qū)域n+1為自由空間,其余為各向異性介質(zhì)。在兩種介質(zhì)的分界面上,Ⅰ型波和Ⅱ型波的入射均會產(chǎn)生Ⅰ型波和Ⅱ型波的反射和透射。

圖2 分層各向異性介質(zhì)Fig.2 Layered anisotropic media

平面波在介質(zhì)內(nèi)任意兩點z和z′的傳播特性可表示為

V(z)=Aeiλ(z-z′)A-1Aeiλz′B=P(z,z′)V(z′)

(6)

式中：P(z,z′)為廣義傳播矩陣。在第k層中:

Pk(z,z′)=Akeiλk(z-z′)(Ak)-1

(7)

根據(jù)界面處電場和磁場切向分量連續(xù)的邊界條件,整個分層介質(zhì)的傳播矩陣為

(8)

為表示入射波與反射波透射波之間的關(guān)系,假定B1和B3是TE波廣義振幅,B2和B4是TM波廣義振幅,定義廣義反射系數(shù)R和廣義透射系數(shù)T分別為

(9)

在區(qū)域n+1中：

(10)

結(jié)合式(8)～式(10)得到整個分層介質(zhì)的反射和透射系數(shù)關(guān)系式：

(11)

式中：I為2×2階單位矩陣。由式(2)可求出各個區(qū)域的本征矩陣A,R和T便可由式(11)解出。

2.2 通常意義下反射系數(shù)和透射系數(shù)

得到廣義反射和透射系數(shù)后,只能獲得入射波和反射波透射波廣義振幅之間的關(guān)系,還需將其轉(zhuǎn)化為通常意義下的反射和透射系數(shù)

在區(qū)域0中,由式(2)得

等號右邊的第1個矩陣的第1列和第3列代表TE波,第2列和第4列代表TM波。首先考慮TE波(TM波)入射時反射波為TE波(TM波)的同極化反射情況和TE波(TM波)入射時透射波為TE波(TM波)的同極化透射情況。二者的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：⊥和∥分別表示垂直入射面和平行入射面；下標(biāo)i、r、t分別表示入射、反射、透射。考慮TE波(TM波)入射時反射波為TM波(TE波)的交叉極化反射情況和TE波(TM波)入射時透射波為TM波(TE波)的交叉極化透射情況。二者的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：η為區(qū)域0的本征波阻抗。當(dāng)介質(zhì)為單軸介質(zhì)時,R12和R21等于0,不會產(chǎn)生交叉極化反射;雙軸介質(zhì)時,R12和R21不等于0,產(chǎn)生交叉極化反射。

2.3 金屬表面各向異性涂層的反射系數(shù)

將多層各向異性介質(zhì)涂覆于金屬表面,即圖2所示結(jié)構(gòu)中區(qū)域n+1為金屬。

區(qū)域0中,區(qū)域0的上行波是區(qū)域0下行波的反射加上區(qū)域1上行波的透射：

(20)

區(qū)域n中,區(qū)域n下行波是區(qū)域n-1下行波的透射加上區(qū)域n上行波的反射

(21)

將式(20)和式(21)相結(jié)合可得

(22)

由式(22)得到包括金屬襯底在內(nèi)的總廣義反射系數(shù)矩陣Γ,再利用式(12)～式(18)可求出通常意義下的反射系數(shù)。

3 算 例

本文算法適用于多種類型的介質(zhì)涂覆結(jié)構(gòu),既可以實現(xiàn)介質(zhì)涂層的角度特性分析,也可以實現(xiàn)介質(zhì)涂層的頻率特性分析。進行電磁傳播矩陣計算時需要給出每層介質(zhì)的厚度以及電磁參數(shù)矩陣ε和μ,可以是各向同性介質(zhì)也可以是各向異性介質(zhì),并且要求各層介質(zhì)都是均勻涂敷?，F(xiàn)對不同結(jié)構(gòu)各向異性介質(zhì)的電磁傳播矩陣進行計算,將所得結(jié)果與商業(yè)軟件計算結(jié)果進行對比,驗證該方法的正確性;并且將計算所得電磁傳播矩陣運用于介質(zhì)涂覆目標(biāo)的電磁散射特性計算中。需要注意的是,在進行各向異性介質(zhì)涂覆目標(biāo)電磁散射特性計算時,需要給出各向異性介質(zhì)的主軸涂覆方向。

3.1 單層雙軸各向異性介質(zhì)傳播矩陣

對單層雙軸各向異性介質(zhì)的傳播矩陣進行驗證。設(shè)入射波頻率為10 GHz,各向異性介質(zhì)厚度為1 mm,電磁參數(shù)為

圖3和圖4分別給出了電磁波與介質(zhì)表面水平方向入射角φ=0°和φ=30°時,反射系數(shù)模值和相位隨電磁波垂直方向入射角θ的變化曲線。

圖3 反射系數(shù)(φ=0°)Fig.3 Reflection coefficient(φ=0°)

圖4 反射系數(shù)(φ=30°)Fig.4 Reflection coefficient(φ=30°)

當(dāng)φ=0°時,不存在交叉極化反射和透射;當(dāng)φ=30°時,出現(xiàn)了明顯的交叉極化現(xiàn)象。計算結(jié)果與HFSS仿真軟件結(jié)果高度一致,證明了該方法的正確性。

3.2 金屬襯底單層各向異性介質(zhì)傳播矩陣

在金屬襯底上涂覆單層各向異性介質(zhì),介質(zhì)厚度為1 mm,入射波頻率為8.2 GHz,介質(zhì)參數(shù)為

圖5給出了反射系數(shù)模值和相位隨電磁波垂直方向入射角θ的變化曲線。因為該介質(zhì)為單軸各向異性介質(zhì),反射系數(shù)只隨介質(zhì)主軸和入射波之間的夾角變化。由介質(zhì)參數(shù)可知該介質(zhì)的主軸方向為z方向,故反射系數(shù)只受垂直方向入射角θ的影響,而與水平方向入射角φ無關(guān),且不會產(chǎn)生交叉極化反射。

圖5 反射系數(shù)Fig.5 Reflection coefficient

3.3 金屬襯底多層各向異性介質(zhì)傳播矩陣

考慮金屬襯底上涂覆多層各向異性介質(zhì)的情況。這里選擇3層均勻厚度的各向異性介質(zhì),介質(zhì)厚度分別為1 mm、2 mm、0.5 mm,入射波頻率為10 GHz,介質(zhì)參數(shù)為

圖6給出了電磁波與介質(zhì)表面水平方向入射角φ=45°時,反射系數(shù)模值和相位隨電磁波垂直方向入射角θ的變化曲線。圖7給出了垂直方向入射角θ=0°時,交叉極化反射系數(shù)模值隨電磁波水平方向入射角φ的變化曲線。

圖6 分層各向異性介質(zhì)反射系數(shù)Fig.6 Reflection coefficient of layered anisotropic media

圖7 交叉極化反射系數(shù)(θ=0°)Fig.7 Reflection coefficient of cross-polarized (θ=0°)

可以看出,交叉極化反射系數(shù)的大小隨著水平方向入射角φ變化,φ=0°和φ=90°時不產(chǎn)生交叉極化,且交叉極化反射系數(shù)出現(xiàn)明顯的峰值,材料的吸波性能會受到交叉極化反射的影響,因此對于各向異性材料涂覆目標(biāo)性能優(yōu)化問題應(yīng)在一定程度上考慮材料的涂覆方向。

3.4 金屬襯底單層各向異性介質(zhì)頻率特性分析

考慮入射波頻率對各向異性介質(zhì)電磁傳播矩陣的影響,選取單軸各向異性介質(zhì),介質(zhì)參數(shù)為

介質(zhì)厚度為5 mm,涂覆于金屬平板上,設(shè)置入射波角度分別為0°、30°、60°,反射系數(shù)模值隨著頻率變化的曲線如圖8所示。

圖8 反射系數(shù)模值頻率變化曲線Fig.8 Frequency change curve of reflection coefficient modulus

計算結(jié)果與HFSS仿真結(jié)果保持一致,對比不同曲線可以看出,當(dāng)入射角度從0°變到30°,反射系數(shù)模值變化明顯,而從30°變到60°,反射系數(shù)模值變化不大,說明存在一定入射角度范圍,入射角變化對反射系數(shù)模值影響較為明顯。分析單條曲線隨著頻率的變化趨勢,可以看出,反射系數(shù)模值大小明顯存在一個最低點,說明這種介質(zhì)在該頻率處的吸波效果最好,同時在頻率較低時,反射系數(shù)模值隨著頻率變化明顯,當(dāng)頻率升高,反射系數(shù)模值基本保持不變。

3.5 涂覆目標(biāo)電磁散射特性計算

將各向異性介質(zhì)電磁傳播矩陣與SBR算法相結(jié)合,從而獲得各向異性介質(zhì)涂覆目標(biāo)的電磁散射特性[24-26]。

在實際的工程應(yīng)用中,SBR法中的射線管路徑追蹤一直是個難題[27],而射線追蹤的精度和效率決定了計算精度和效率。本文采用一種新型射線追蹤方法,能準(zhǔn)確地對非均勻有理B樣條曲面模型進行射線追蹤,相較傳統(tǒng)的射線追蹤方法更加高效和精確。對于各向異性介質(zhì)涂覆目標(biāo)的電磁散射特性計算,在射線追蹤時,需根據(jù)射線管與涂覆材料主軸間的夾角,對每一個交點處的反射系數(shù)進行計算,用于射線管中心射線場強追蹤,從而實現(xiàn)涂覆目標(biāo)的電磁散射特性計算[28-30]。

3.5.1 各向同性介質(zhì)涂覆導(dǎo)彈模型RCS計算

對導(dǎo)彈涂覆模型進行計算,導(dǎo)彈模型和尺寸如圖9所示。

圖9 導(dǎo)彈模型Fig.9 Missile model

計算了表面涂覆介質(zhì)和表面不涂覆介質(zhì)兩種情況下的RCS。因為三維電磁仿真軟件CST中不支持各向異性介質(zhì)涂覆目標(biāo)的RCS仿真,故選擇各向同性有耗介質(zhì)作為涂覆材料進行對比計算,其中介質(zhì)參數(shù)為ε=3-i2,μ=1-i1,厚度為2 mm,入射波頻率均為8.2 GHz。RCS結(jié)果如圖10所示,表1中給出了RCS結(jié)果的均方根誤差。

圖10 導(dǎo)彈模型RCS結(jié)果Fig.10 RCS result of missile model

表1 RCS結(jié)果均方根誤差

可以看出,在表面涂覆有耗介質(zhì)之后,導(dǎo)彈RCS明顯減小;并且在兩種情況下,SBR算法結(jié)果與CST仿真結(jié)果保持一致,RCS結(jié)果均方根誤差均小于3 dBsm,證明了該方法的準(zhǔn)確性。

3.5.2 各向異性介質(zhì)涂覆圓柱模型RCS計算

對圓柱體涂覆模型進行計算,入射波頻率為10 GHz,圓柱的底面半徑為10倍波長,高30倍波長,計算了各向異性介質(zhì)涂覆時入射波水平極化和垂直極化兩種情況,各向異性材料參數(shù)為εx=3-i4,εy=εz=7-i3,μ=1,各向異性介質(zhì)涂覆方式如圖11所示[6],其中實線箭頭表示主軸方向。入射角φ=0°時,涂覆圓柱RCS隨入射角θ變化的數(shù)值曲線如圖12所示。所得結(jié)果與文獻中的RCS結(jié)果基本一致。可以看出,對于各向異性涂覆,兩種極化方式下目標(biāo)RCS明顯不同,這是因為不同極化情況下入射波電場方向和各向異性材料主軸間夾角不同,使射線管與目標(biāo)交點處反射系數(shù)不同,導(dǎo)致不同極化情況下的RCS明顯不同。

圖11 圓柱涂覆模型Fig.11 Cylindrical coating model

圖12 圓柱涂覆模型RCS計算結(jié)果Fig.12 RCS calculation result of cylindrical coating model

4 結(jié) 論

本文在廣義傳播矩陣方法分析各向異性介質(zhì)電磁傳播特性的基礎(chǔ)上,對分層雙軸各向異性介質(zhì)電磁傳播矩陣計算問題進行了分析。將公式重新推導(dǎo),指出了本征波求解時應(yīng)該注意的問題,以及廣義和通常意義下傳播矩陣的轉(zhuǎn)化關(guān)系,并對多層介質(zhì)涂覆金屬表面的情況進行了分析,使其能更普遍地運用于各種類型介質(zhì)材料。將傳播矩陣計算結(jié)果與新型彈跳射線法相結(jié)合,從而獲得介質(zhì)涂覆目標(biāo)的電磁散射特性,所得結(jié)果還可以進一步運用于涂覆目標(biāo)性能優(yōu)化等問題,在目標(biāo)雷達特性研究領(lǐng)域有著重大的應(yīng)用前景。