基于創(chuàng)新思維培養(yǎng)的高考數(shù)學(xué)微專題設(shè)計(jì)
——以“解三角形中最值問題”為例

陜西省西安惠安中學(xué) 龍正祥

1 高考動(dòng)向分析

解三角形問題可以較好地考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、三角形邊角轉(zhuǎn)化、正余弦定理等知識點(diǎn)，是三角函數(shù)、解析幾何和不等式知識的交匯點(diǎn)，在高考試卷中大題基本上隔年出現(xiàn)，小題則是年年必考.全國卷及新高考卷在2020年、2021年均有考查，處理解三角形中的最值問題主要有兩種方案，一是建立目標(biāo)函數(shù)后利用基本不等式解決，二是建立目標(biāo)函數(shù)后利用三角函數(shù)的有界性解決.

2 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

(1)在熟悉的情境(素材1、素材2)中，通過問題引入，逐步提煉出從數(shù)(構(gòu)建不等式、函數(shù)、方程等模型)和形(尋找特殊位置、臨界位置)兩個(gè)角度解決取值范圍問題的一般方法，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)；

(2)在較復(fù)雜的情境(合作探究)中，通過變式延伸、對比分析，逐步提煉出求最值的一般思路：建立模型→二元函數(shù)(基本不等式)→化歸轉(zhuǎn)化→一元函數(shù)(單調(diào)性)→問題解決，提升學(xué)生的邏輯思維能力，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng);

(3)在具體情境中熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理、面積公式等建立模型，通過三角恒等變換、三角函數(shù)的有界性、基本不等式等求解模型，提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：在具體情境中會(huì)從數(shù)的角度，通過構(gòu)造不等式、方程、函數(shù)解決取值范圍問題；在具體情境中會(huì)從形的角度，通過圖象的特殊位置、臨界位置探尋最值問題所表達(dá)的圖形語言.

難點(diǎn)：如何更好地從學(xué)生角度分析解決問題.

4 教學(xué)過程

4.1 自主學(xué)習(xí)，尋找創(chuàng)新思維素材

素材1(北師大版必修五第52頁A組第5題)已知銳角三角形的邊長分別為1,2,m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

師：大家對這道課本上的題都很熟悉吧！請同學(xué)們分享一下你是如何探尋實(shí)數(shù)m的取值范圍的.(舉手同學(xué)有4人)

生1：由兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為1

師：好，該同學(xué)很快就找到了限制m的不等式.

生2：不對，他沒考慮銳角，這是銳角三角形!

師：這位同學(xué)讀題非常仔細(xì)，給你點(diǎn)贊，那你補(bǔ)充一下！

生2：因?yàn)槭卿J角三角形，所以每個(gè)角的余弦值都大于零，可由余弦定理得到限制實(shí)數(shù)m的不等式.不妨設(shè)A,B,C的對邊分別為1,2,m，則由余弦定理得

師：非常棒！如果我們觀察第一個(gè)式子，它是恒成立的！理論實(shí)踐相統(tǒng)一，簡潔就是數(shù)學(xué)美！

師：這三位同學(xué)做得非常好！他們從數(shù)的角度利用余弦定理構(gòu)造了關(guān)于限制實(shí)數(shù)m的不等式，還有其他思路嗎？

師：厲害！從形的角度考慮問題所表達(dá)的特殊圖形，利用數(shù)的最值就是形的特殊位置的思想巧妙地化解了問題，四兩撥千金，數(shù)形結(jié)合真精妙！

設(shè)計(jì)意圖:用學(xué)生熟悉的情境，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維意識，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度思考取值范圍問題，初步感知到從數(shù)的角度就是構(gòu)造不等式，從形的角度就是尋找特殊圖形.同時(shí)復(fù)習(xí)鞏固“已知三角形三邊，首選余弦定理”以及銳角三角形的限制條件，強(qiáng)化雙基.

素材2(北師大版必修五第52頁B組第1題)在△ABC中，a=x,b=2,B=45°，若△ABC有兩個(gè)解，則x的取值范圍為 ( ).

A.(2,+∞) B.(0,2)

師：此題我們又該如何從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度分析呢？請同學(xué)們先認(rèn)真思考，同桌之間可以交流，3分鐘后分享.

生5：我們兩個(gè)(同桌交流)的思路是利用正弦定理，通過建立函數(shù)來解決.

師：同學(xué)們今天表現(xiàn)都非常棒，相互幫助共同進(jìn)步.誰還有其他想法？

生7：還可以用余弦定理，通過建立方程，差不多也能解決，但是答案好像不對.

師：差不多！不確定！好像還是蠻有思路的，展示給大家，我們一起分析，共同解決.

師：同桌能分析一下這樣解的原因嗎？(大多數(shù)同學(xué)很懵)

師：至此，我們看到了這個(gè)取值范圍問題可以直接建立不等式來解決，也可以通過構(gòu)建函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題，還可以通過建立方程模型，轉(zhuǎn)化為研究方程解的問題.

師：非常棒！從圖形的角度解讀取值范圍問題，形象直觀.

設(shè)計(jì)意圖:本素材的探究，詮釋了從“數(shù)”的角度解決取值范圍問題時(shí)可以直接建立不等式來解決，也可以通過構(gòu)建函數(shù)模，轉(zhuǎn)化為求值域問題，還可以通過建立方程模型轉(zhuǎn)化為研究方程解的問題；從“形”的角度通過特殊圖形、特殊位置解決取值范圍(最值)問題.如果上升到解決取值范圍問題的方法論角度，本素材只不過是以解三角形為背景，如果換作其他知識模塊，解決取值范圍問題的思路、思想方法都是不變的.

4.2 合作探究,培養(yǎng)創(chuàng)新思維品質(zhì)

師：請同學(xué)們分小組研究討論，注意提煉解決二元變量取值范圍問題的常規(guī)思路.抽小組進(jìn)行展示，講解.

由正弦定理,得

展示2：利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得

3=b2+c2-bc.

另一方面，由三角形的面積恒大于零，得

設(shè)計(jì)意圖:通過延伸讓學(xué)生再次體會(huì)“邊化角”“角化邊”解三角形問題的常規(guī)思路，化成邊可以利用基本不等式解決最值，如果化成角可以利用三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決最值問題，拓展學(xué)生思維，鞏固基本不等式、三角恒等變換、三角函數(shù)等相關(guān)知識.

變式1條件不變，試求三角形△ABC周長的取值范圍.

分析：本題由基本不等式只能求出一邊范圍，容易忽略構(gòu)成三角形的條件，即兩邊之和大于第三邊.

展示3：由正弦定理，得

展示4：利用余弦定理，得3=b2+c2-bc.

整理，得3=(b+c)2-3bc.

另一方面，由三角形的兩邊之和大于第三邊，得

設(shè)計(jì)意圖:通過變式讓學(xué)生繼續(xù)感受當(dāng)問題變?yōu)椤斑叀钡膯栴}時(shí)如何解決，引導(dǎo)學(xué)生利用化歸思想轉(zhuǎn)化為角的問題；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目特點(diǎn)，利用余弦定理、重要不等式求解，同時(shí)也可以“邊化角”直接利用延伸題的思路解決.

變式2條件不變，試求sinB+sinC的取值范圍.

展示6：由正弦定理，得

設(shè)計(jì)意圖:在具體情境中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、發(fā)散思維，提升學(xué)生對問題的轉(zhuǎn)化能力.

4.3 反思悟道，固化創(chuàng)新思維元素

(1)范圍問題解答思路

思路1：數(shù)的角度——構(gòu)造不等式、函數(shù)、方程.

思路2：形的角度——尋找特殊位置、特殊圖形.

(2)最值問題求解策略

思路1：建立函數(shù)——利用單調(diào)性、有界性.

思路2：基本不等式——尋找等量關(guān)系.

(3)解三角形知識體系

基本理論——內(nèi)角和、三角形分類、面積公式等.

定理——正弦定理、余弦定理.

設(shè)計(jì)意圖:通過歸納總結(jié)，提煉思想方法，明晰知識技能，構(gòu)建知識思維導(dǎo)圖，為學(xué)生后續(xù)的深度學(xué)習(xí)提供可能素材.

4.4 目標(biāo)檢測，發(fā)展創(chuàng)新思維元素

設(shè)計(jì)意圖：立足課堂教學(xué)，鞏固“四基”“四能”，讓所有學(xué)生都能體會(huì)到課堂上所學(xué)知識對自己做題有很大幫助；同時(shí)也看到了新高考在解三角形這一模塊的命題思路，為其他模塊的學(xué)習(xí)提供思路和方法.

①求B；②若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

設(shè)計(jì)意圖:為學(xué)有余力的學(xué)生搭建再發(fā)展的平臺，進(jìn)一步理解取值范圍問題解答的通性通法，為廣義取值范圍問題的解答提供思考空間，真正落實(shí)高考復(fù)習(xí)備考的主導(dǎo)思想.基礎(chǔ)知識是明線——通過復(fù)習(xí)檢驗(yàn)知識點(diǎn)有沒有完全掌握；思想方法是主線——能不能站在思想方法的高度認(rèn)識問題；核心素養(yǎng)是暗線——問自己核心素養(yǎng)有沒有得到質(zhì)的提升.

5 教學(xué)評價(jià)

5.1 設(shè)計(jì)注重思維培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

本節(jié)課設(shè)計(jì)立足學(xué)生實(shí)際，取材課本、真題，依據(jù)課標(biāo)、高考評價(jià)體系，注重學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，滲透了學(xué)科核心素養(yǎng).在整節(jié)課的設(shè)計(jì)中,運(yùn)用了自主學(xué)習(xí)、合作探究、反思悟道、目標(biāo)檢測四個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)主動(dòng)參與學(xué)習(xí),幫助學(xué)生在掌握四基、提升四能的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

5.2 數(shù)學(xué)情境設(shè)置成功，創(chuàng)新思維培養(yǎng)到位

通過學(xué)生熟悉的情境，立足基礎(chǔ)，從引例出發(fā)，通過一個(gè)個(gè)變式，為后面的合作探究提供了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生看到高三復(fù)習(xí)就要立足基礎(chǔ)，注重思維，注重思想方法.

5.3 知識之間跨度較大，思維容量要求較高

本節(jié)課所涉及的知識內(nèi)容較多，從解三角形、三角函數(shù)再到基本不等式，有計(jì)算，有畫圖等，再加之是公開示范課，課堂節(jié)奏較快，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生某些環(huán)節(jié)做得不到位.因此，教學(xué)中容量要適當(dāng)小一點(diǎn)，思維深處要放慢一點(diǎn)，讓更多的學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、變化過程.