數(shù)學(xué)推理：在“做”數(shù)學(xué)中蓬勃生長

黃亮

[摘 要]課程改革要求學(xué)生具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)推理能力則是其中重要的組成部分。推理是數(shù)學(xué)思維的一種基本表現(xiàn)形式，它貫穿整個數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。良好的推理能力離不開有效的實踐操作，課程標準將“做”數(shù)學(xué)確定為主要學(xué)習(xí)方式，通過動手操作，促進學(xué)生對知識的理解和掌握，從而鍛煉學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力。教師以“做”數(shù)學(xué)為基石，開展數(shù)學(xué)探究活動、猜想驗證活動、數(shù)學(xué)實驗活動、手工活動等，來促進學(xué)生推理能力的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]“做”數(shù)學(xué);推理能力;思維

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0079-02

推理是一種思維活動。東北師范大學(xué)史寧中教授說過：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要由抽象、推理和建模構(gòu)成?！庇纱丝梢姡评砟芰κ呛诵乃仞B(yǎng)的重要組成部分，沒有推理，就沒做到真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，推理能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當具備的一項關(guān)鍵能力。課程標準將“做”數(shù)學(xué)明確規(guī)定為主要學(xué)習(xí)方式，強調(diào)以學(xué)生為主體，通過動手操作、實驗探究、交流合作等方式來激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生樹立自主學(xué)習(xí)意識，形成嚴謹、科學(xué)的態(tài)度，全面提升推理能力?？梢?，有效的實踐操作可以加強對數(shù)學(xué)知識的理解，它是培養(yǎng)推理能力不可或缺的基礎(chǔ)，推理能力的培養(yǎng)也能促進對數(shù)學(xué)知識的理解。教師可以設(shè)計多種形式的“做”數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在活動中發(fā)展推理能力。

一、開展數(shù)學(xué)探究活動，在“做”數(shù)學(xué)中發(fā)展推理能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般都是由易到難，從特殊過渡到一般的漸進過程，前一階段的學(xué)習(xí)是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中開展有趣的探究活動，能幫助學(xué)生對所學(xué)知識進行有效的整理、鞏固、延伸，讓學(xué)生真正窺探到數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，并在探究規(guī)律的過程中，獲得邏輯思維和推理思維的飛躍提升。因此，教師可采取有效的探究活動，通過“做”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式來助力學(xué)生發(fā)展推理能力。

例如，在教學(xué)“兩、三位數(shù)的加法和減法”時，教師組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動來進行推理。首先，在課前讓學(xué)生自主制作9張卡片，在卡片上標數(shù)字1～9。課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生開展以下探究活動。

第一步，教師要求學(xué)生用手中的卡片擺出124、356、978這3個三位數(shù)，并求出它們的和，然后再擺出156、378、924和178、356、924這2組數(shù)字并求和。學(xué)生通過動手操作很快就發(fā)現(xiàn)：根據(jù)教師要求所組成的3個三位數(shù)的和都是1458。這一步的活動目的是激發(fā)學(xué)生的研究興趣。

第二步，教師引發(fā)學(xué)生的思考：為什么以上3組數(shù)字的和都是1458？并引導(dǎo)學(xué)生利用手中的卡片擺一擺。學(xué)生利用卡片擺出了所有可能的三位數(shù)，并列出大量算式，經(jīng)過觀察、對比、分析發(fā)現(xiàn)，每次組成的3個三位數(shù)，它們的百位數(shù)一般都是1、3、9，而十位數(shù)總是2、5、7，個位數(shù)是4、6、8。

第三步，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生開展開放性小組探究活動，讓學(xué)生自發(fā)組成學(xué)習(xí)小組，每個小組自主制訂標準，利用卡片組成不一樣的3個三位數(shù)，并計算出它們的和，讓學(xué)生從中歸納出對應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

教師正是通過動手操作的探究活動，讓學(xué)生開展數(shù)學(xué)推理活動，經(jīng)歷數(shù)學(xué)規(guī)律推理出的整個過程，在探究活動中有效促進推理能力的提升。

二、組織猜想驗證活動，在“做”數(shù)學(xué)中發(fā)展推理能力

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有一些數(shù)學(xué)推理活動需要經(jīng)歷猜想驗證的過程，學(xué)生先猜“這個事物有可能是什么”，然后在此基礎(chǔ)上采用各類方法，如，實踐操作、實驗探究等求證并判斷，最終得出結(jié)論。這也是一般的探究過程。因此，教師在進行推理能力的培養(yǎng)時，不妨讓學(xué)生在猜想的基礎(chǔ)上通過實踐操作來進行驗證，讓學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)推理的真諦。

例如，在教學(xué)“四邊形的內(nèi)角和”時，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了三角形的內(nèi)角和，知道了三角形的內(nèi)角和為180o，因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過猜想驗證的方式來進行數(shù)學(xué)推理。首先在教學(xué)時，要有目的地指導(dǎo)學(xué)生挖掘三角形的內(nèi)角和與四邊形的內(nèi)角和這兩個概念之間相同的屬性，為四邊形的內(nèi)角和的類比推理提供理論基礎(chǔ)和方法支持。

理論基礎(chǔ)：四邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和都屬于多邊形內(nèi)角和的知識范疇，可見，內(nèi)角和與圖形的邊數(shù)相關(guān)，兩者有一部分的屬性應(yīng)當是一樣的。

方法支持：此前驗證三角形的內(nèi)角和時學(xué)生學(xué)會了畫一畫、量一量、剪一剪、拼一拼等操作方法，可將其遷移到四邊形內(nèi)角和的推理上，給學(xué)生創(chuàng)造猜想和實踐驗證的機會——在三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上猜想一下四邊形的內(nèi)角和是多少。有學(xué)生從長方形和正方形思考，因為它們有4個直角，內(nèi)角和為360°，因此猜想其他四邊形的內(nèi)角和也是360°。接下來，教師組織學(xué)生開展動手操作的實踐活動，根據(jù)三角形內(nèi)角和的驗證方法來驗證四邊形的內(nèi)角和是360°。首先，學(xué)生在紙上畫出不同的四邊形，然后用量角器量一量4個角的度數(shù)，將4個角的度數(shù)加起來看看是否等于360°。也可以將它們沿著對角線劃分成2個三角形，由于每個三角形的內(nèi)角和均為180°，因此四邊形的內(nèi)角和是360°。或者用剪刀將每個角剪下來，再將它們拼在一起，發(fā)現(xiàn)能拼成平角，從而驗證四邊形的內(nèi)角和是360°。學(xué)生在經(jīng)過一系列的實踐操作后發(fā)現(xiàn)，不管是哪種四邊形，它的內(nèi)角和都是360°，從而驗證了最開始的猜想，完成了數(shù)學(xué)推理。正是通過“猜想—驗證—總結(jié)”的方式，學(xué)生將三角形內(nèi)角和的推理方式遷移到四邊形內(nèi)角和的推理上，經(jīng)歷了知識形成的過程，最終實現(xiàn)了推理能力的提升。

三、借助數(shù)學(xué)實驗活動，在“做”數(shù)學(xué)中發(fā)展推理能力

推理數(shù)學(xué)規(guī)律的過程離不開數(shù)學(xué)實驗，數(shù)學(xué)實驗不僅能將抽象的數(shù)學(xué)問題以較為直觀的形式展現(xiàn)出來，還能給學(xué)生深刻的體驗感，讓學(xué)生在不斷嘗試中更深入地理解和運用數(shù)學(xué)知識。因此，教師可以借助數(shù)學(xué)實驗來引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)信息進行搜集和整理，并分析出各類信息之間的關(guān)系，掌握推理的條件和依據(jù)，最終從條件推導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)論，讓學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中構(gòu)建明確的推理思路和方向，實現(xiàn)思維能力和推理能力的提升。

例如，在教學(xué)“長方形和正方形的面積”時，教師可以利用數(shù)學(xué)實驗進行演繹推理。比如，學(xué)習(xí)“長方形”時，教師可以讓學(xué)生自己動手畫一畫小正方形，然后將小正方形剪下來拼成一個長方形，規(guī)定每一行的小正方形個數(shù)等于長方形的長，而小正方形有幾行，長方形的寬就是多少，長方形中所包含的小正方形的面積之和就是長方形的面積。又因為小正方形的總面積等于每一行小正方形的面積數(shù)乘總行數(shù)，由此得出，長方形面積為長乘寬。在此實驗操作的基礎(chǔ)上，教師可以進一步推理出正方形的面積公式，由于長方形的面積為長乘寬，而正方形是屬于長和寬相等的一種特殊的長方形，由此得出正方形面積就是邊長乘邊長。當然，在整個實驗推理的過程中，學(xué)生可能有些地方做得不嚴謹，這就需要教師逐步引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會說數(shù)理、懂算理，進一步發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，豐富學(xué)生的推理經(jīng)驗。

四、利用手工活動，在“做”數(shù)學(xué)中發(fā)展推理能力

數(shù)學(xué)的特點就是抽象性與復(fù)雜性較強，因此，需要學(xué)生具備良好的邏輯思維和推理能力。讓學(xué)生通過手工活動來體驗數(shù)學(xué)知識形成的完整過程，在“做”數(shù)學(xué)的過程中，不斷深化對數(shù)學(xué)概念的理解，也是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生推理能力的有效途徑。

例如，在教學(xué)“圓的面積”時，教師為了讓學(xué)生自主推理出圓的面積公式，加深對圓面積的認識，給學(xué)生布置了一項任務(wù)：模仿老師畫一個圓并將其16等分，再將這16份剪下來，剪好后，將它們拼成其他圖形，并觀察自己所拼成的圖形與圓有什么聯(lián)系。學(xué)生在剪、拼的過程中發(fā)現(xiàn)，這16個部分可以拼成一個近似長方形的圖形，而這個長方形的長就是圓周長的一半，即πr，寬則與圓的半徑相等，因為長方形的面積公式是長乘寬，由此可以推理出圓的面積公式就是πr2。教師正是利用手工活動，讓學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的過程中觀察、猜想、分析，自主推理出數(shù)學(xué)概念，在提高自主學(xué)習(xí)能力的同時也有效提升了推理能力，收獲了良好的學(xué)習(xí)效果。

總之，從“做”數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是一項行之有效的措施。教育家蘇霍姆林斯基說過：“手和腦之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，手使腦得到發(fā)展，使它更加明智;腦使手得到發(fā)展，使它變成思維的工具和鏡子?！苯處煈?yīng)當充分引導(dǎo)學(xué)生進行剪、拼、畫、折、量等操作，讓課堂變成學(xué)生發(fā)散思維的舞臺，進一步激活學(xué)生的創(chuàng)新能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而促進學(xué)生推理能力的發(fā)展，讓學(xué)生在快樂學(xué)習(xí)中逐步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 蔣欣.在“做”數(shù)學(xué)中培育核心素養(yǎng)——“動手做”教學(xué)中發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力策略的初探[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（19）.

[2] 儲文亞.數(shù)學(xué)推理：學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（31）.

[3] 謝永萊.指尖上的魅力——動手做數(shù)學(xué)[J].名師在線，2019（13）.

（責編 黃 露）