數(shù)形結(jié)合思想的精髓在于規(guī)律呼應(yīng)

史秋平

[摘 要]數(shù)形結(jié)合不是簡單地用代數(shù)式表示幾何圖形或者用幾何圖形來反映數(shù)量關(guān)系，而是數(shù)量內(nèi)部的規(guī)律與圖形內(nèi)部的規(guī)律高度對應(yīng)統(tǒng)一。圖形的深刻規(guī)律要用代數(shù)式才能揭示出來，代數(shù)式的運(yùn)算規(guī)律很抽象，要借助直觀的圖形拼擺演示才能做出合理解釋。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;規(guī)律;教學(xué)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0073-02

教學(xué)內(nèi)容為第十一冊第八章第107頁例1、第108頁“做一做”欄目、練習(xí)二十1、2題。教學(xué)目標(biāo)主要有：通過觀察研究，讓學(xué)生探明數(shù)形之間的關(guān)聯(lián)，能根據(jù)圖形的變化看出數(shù)量的變化;引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。教學(xué)重點(diǎn)：探查數(shù)形之間的關(guān)系，并能用圖形的變化規(guī)律揭示數(shù)字的變化規(guī)律。教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)掘規(guī)律并驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律。

一、課前導(dǎo)入，新知鋪墊

【教學(xué)片段】

筆者先帶學(xué)生看電子白板，粗略回顧舊知：1×1可以簡寫成[12]（讀作1的平方），[12]=1，那么以此類推就有3×3=[32]=9，4×4=[42]=16。并隨機(jī)問學(xué)生：“一個(gè)數(shù)的平方等于多少？”

師：探尋規(guī)律。先看圖再觀察分析數(shù)字變化情況，推斷出第5個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

師：你是怎么推的？你能夠延續(xù)此法，推斷出第6個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)嗎？你運(yùn)用了什么方法推斷？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓點(diǎn)的排列規(guī)律）

師：像這樣，圖形與數(shù)字嚴(yán)格對應(yīng)，相應(yīng)變化，呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律，運(yùn)用這個(gè)規(guī)律就可以推測出后續(xù)將會出現(xiàn)的圖形和數(shù)字，這類題目在數(shù)學(xué)里統(tǒng)稱為數(shù)形結(jié)合。今天大家一起探尋數(shù)形結(jié)合里的秘密。

筆者板書課題：數(shù)形結(jié)合。（學(xué)生齊讀課題）

數(shù)形結(jié)合有的時(shí)候是根據(jù)數(shù)量與圖形的對照關(guān)系，通過二者的相互印證，將抽象的數(shù)字與直觀的圖形聯(lián)合，并以此來分析解決問題的思想方法。

二、探究新知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.觀察、探究、概括

【教學(xué)片段】

師：現(xiàn)在老師就帶大家一探乾坤。

師（呈現(xiàn)1個(gè)長方形，如圖5）：數(shù)目是幾？改用平方數(shù)表示，寫成多少？

生1：1=[12]。

師：接著看，擴(kuò)展這個(gè)圖，增加了3個(gè)同樣大小的長方形，增加的長方形呈“L”字形，與原來的長方形組成一個(gè)兩行兩列的“田”字格（如圖6），此時(shí)長方形的總數(shù)如何計(jì)算？

生2：1+3=4。

師：改寫成平方數(shù)如何表示？

生3：[22]。

師：每次增加的長方形都呈“L”字形，此時(shí)長方形的個(gè)數(shù)如何計(jì)算？（如圖7）

生4：1+3+5=[33]。

師：小組內(nèi)討論一下，能根據(jù)圖5、圖6、圖7推斷出第4個(gè)圖形的排布情況和長方形個(gè)數(shù)嗎？請畫出草圖，寫出算式。

（學(xué)生討論，在草稿紙上畫出草圖，并寫出算式。教師巡查，然后請人敘述畫圖過程并口述算式）

師：通過認(rèn)真思考，大家發(fā)現(xiàn)了一些淺顯的規(guī)律，其實(shí)還有一些深刻的規(guī)律。大家不妨再找一找。

2.小組分工，找規(guī)律

【教學(xué)片段】

師：大家這么厲害，后面幾個(gè)規(guī)律就留給你們獨(dú)立尋找了，敢接招嗎？不可莽撞，要按照老師的指示尋找規(guī)律，分工合作，并將概括出的規(guī)律寫進(jìn)小組實(shí)驗(yàn)記錄單中。如遇阻，可以向其他小組或老師求助。

筆者分工：A組研究第一個(gè)問題，B組研究第二個(gè)問題，C組研究第三個(gè)問題，D組完成第四個(gè)問題。

各小組完成任務(wù)后，可以幫助其他小組。最后集中展示交流。

學(xué)生探討問題，筆者巡視指導(dǎo)，并及時(shí)點(diǎn)撥。

【設(shè)計(jì)說明】

數(shù)形結(jié)合是新增內(nèi)容。如果徹底放手讓學(xué)生自主探尋規(guī)律，恐怕學(xué)生會有負(fù)擔(dān)，所以才有了筆者“引路”，學(xué)生“探路”。筆者一邊出示圖形，一邊提問，學(xué)生對比分析出圖形與數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系，筆者“攙扶”著學(xué)生慢慢走，推斷后續(xù)圖形，調(diào)動學(xué)生的聯(lián)想能力和推理能力，由形象到抽象，由淺顯到深刻，循序漸進(jìn)。筆者“松手”，學(xué)生“上手”，學(xué)生自己探究，互相交流討論、深刻反思，既能在探究中體驗(yàn)知識生成的過程，又能體會到合作的意義。

3.小組匯報(bào)，概括規(guī)律

【教學(xué)片段】

問題1：每次增加的“L”形圖中包含長方形的個(gè)數(shù)有什么變化規(guī)律？長方形總數(shù)與增加次數(shù)有什么關(guān)系？增加次數(shù)與最終圖形的邊長有什么關(guān)系？

師：等式左邊加法的圖形意義是什么？你能舉例說明嗎？

生：等式左邊算式的圖形意義是基礎(chǔ)個(gè)數(shù)（右上角1個(gè)）和逐次增加的“L”形圖中長方形個(gè)數(shù)的總數(shù)。

問題2：等式左邊加法算式的和與最終定型的圖中長方形的行數(shù)（列數(shù)）有什么關(guān)系？

師：最終定型的圖中，每行（每列）長方形個(gè)數(shù)的平方表示什么意義？舉例說明。

生：等式左邊加法算式的和與最終定型的圖中每行長方形個(gè)數(shù)的平方相等。

問題3：等式左邊的加數(shù)是按照什么規(guī)律排列的？

生：等式左邊的加法算式中，加數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)。

問題4：等式左邊加數(shù)個(gè)數(shù)與等式右邊乘方數(shù)有什么關(guān)聯(lián)？

師：仔細(xì)觀察上述等式，從哪里起步？這個(gè)規(guī)律如何表述？

生：從自然數(shù)1開始，幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于加數(shù)數(shù)量的平方。

【設(shè)計(jì)說明】

學(xué)生概括出的規(guī)律只是初步的規(guī)律，是否具有普遍性，還需要檢驗(yàn)。學(xué)生展示匯報(bào)，既是一種自我肯定，也是接受監(jiān)督和檢驗(yàn)的過程。同時(shí)，在此過程中，學(xué)生的思維過程還充分暴露出來，接受評價(jià)，從而不斷完善自己的思維。

三、課后反思

數(shù)形結(jié)合的主要目的是“以形助數(shù)”（將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形來研究）或“以數(shù)助形”（利用算式或者運(yùn)算規(guī)律來概括圖形組合規(guī)律），把抽象的算式與形象的圖形融為一體，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)結(jié)合起來，是初等數(shù)學(xué)中常見、常用的思想方法。在教學(xué)中，筆者主要靠回顧舊知來探查規(guī)律，分步完成。

這節(jié)課的亮點(diǎn)有幾個(gè)方面：

1.數(shù)學(xué)直觀化，概念生成及時(shí)。數(shù)形結(jié)合其實(shí)就是一種改版的找規(guī)律，只不過這種規(guī)律需要用算式表達(dá)。上課伊始，筆者并沒有給學(xué)生施壓，而是通過復(fù)習(xí)舊知來暖場，消除學(xué)生的戒心，化解他們的焦慮和抵觸情緒。

2.注重知識生成，學(xué)生參與探究。本節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生會用圖形與算式的規(guī)律互相印證、理解和闡述，而這些規(guī)律很隱蔽，難以察覺，甚至難以用語言描述。為了破解這個(gè)難點(diǎn)，筆者讓學(xué)生以小組合作的方式開展學(xué)習(xí)：小組推測后續(xù)圖案，探究規(guī)律，展示匯報(bào)。教師引導(dǎo)知識生成而不是灌輸知識，學(xué)生有很大自由度，認(rèn)知從模糊到清晰，思緒從混沌到清明。

3.注重穩(wěn)扎穩(wěn)打。學(xué)生首次接觸數(shù)形結(jié)合，再加上規(guī)律隱晦，欲速不達(dá)，筆者并沒有著急，從“引路”到“攙扶”，再到“松手”，讓學(xué)生一步一個(gè)腳印，穩(wěn)扎穩(wěn)打。

4.尊重學(xué)生表達(dá)。每個(gè)學(xué)生的思維存在差異性，看問題的視角也不一樣，如果學(xué)生的看法與教師不同，教師要善于傾聽學(xué)生的想法，給他們充分申辯的機(jī)會，學(xué)生也許在辯論中就能發(fā)現(xiàn)自己的錯誤。

這節(jié)課的教學(xué)也有些許不足：

1.“雙備”（備教材、備學(xué)生）不合拍。顧此失彼，只顧鉆研課本，沒有了解學(xué)生，高估學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生對前兩個(gè)規(guī)律的理解模糊。

2.達(dá)不到超越教材、靈活運(yùn)用教材的程度。本節(jié)課中，前兩個(gè)規(guī)律的表述特別拗口，單看字面意思很難領(lǐng)會，必須結(jié)合前期的觀察分析，這也在無形中給學(xué)生設(shè)置了障礙。筆者認(rèn)識到了自己做得不足的地方：沒有事先組織好語言，對教材加工不到位。

3.評價(jià)語言干癟乏味。筆者覺得學(xué)生自己會分辨是非好壞，鼓勵是多余的，其實(shí)這是一種誤解，學(xué)生需要更多鼓勵和支持。

總之，這節(jié)課筆者有得有失，今后的教學(xué)中一定會不斷改進(jìn)修正，不斷總結(jié)、提升，扎扎實(shí)實(shí)把每一節(jié)課上好。

（責(zé)編 黃 露）