大圓航程與恒向線航程的比較分析

王在高

(安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 水運(yùn)工程系，合肥 230051)

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大圓航程與恒向線航程的比較分析

王在高

(安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 水運(yùn)工程系，合肥 230051)

大圓航線和恒向線航線是遠(yuǎn)洋船舶常用的航線設(shè)計(jì)方法，理論上，可以通過航程節(jié)省率這個(gè)概念及計(jì)算公式，定量分析船舶航行時(shí)相同起止位置的大圓航線比恒向線航線節(jié)省航程。為了驗(yàn)證這個(gè)假設(shè)，分別采用墨卡托算法計(jì)算恒向線航程及大圓解析法計(jì)算大圓航程，比較二者的航程節(jié)省率，并用實(shí)例證實(shí)船舶在高緯度海區(qū)、航向接近東西向、橫跨經(jīng)度較大的情況下航行時(shí)，大圓航線更節(jié)省航程。

大圓航線；恒向線；航程節(jié)省率

1 大洋航行的方法

船舶大洋航行有四種航線，即：大圓航線、恒向線航線、等緯圈航線和混合航線。其中等緯圈航線為恒向線航線的特例，混合航線為大圓航線和等緯圈航線的結(jié)合。本文只討論大圓航線與恒向線航線。

大圓航線即基本沿著兩點(diǎn)間大圓弧航行的航線。這是兩點(diǎn)間地理航程最短的航線，特別是在高緯度海區(qū)航向接近東西，橫跨經(jīng)度較大時(shí)，大圓航程比恒向線航程要短達(dá)數(shù)百海里。[1]但是，由于大圓弧和所有子午線相交角度不等，如果嚴(yán)格沿大圓弧航行，則必須不斷改變航向。

恒向線是船舶始終按恒定的航向航行的航線，也叫等角航線。恒向線是地球上兩點(diǎn)之間與經(jīng)線處處保持角度相等的曲線。通常比大圓航線要長(zhǎng)，當(dāng)距離較短時(shí)二者差別不大。當(dāng)?shù)冉呛骄€與經(jīng)線或赤道重合時(shí)，等角航線與大圓航線的方向、距離相等。在墨卡托投影地圖上，等角航線是一條直線，故在航海中常用墨卡托投影地圖繪算航跡，計(jì)算航線等。在其他投影地圖上，等角航線都是曲線。[2]

大圓航線雖航程短，但如果一直穿越風(fēng)、流影響大的海區(qū)，則不僅會(huì)影響船舶安全，而且還降低營運(yùn)效益；恒向線航線雖應(yīng)用方便，但如果不視情況選用，也必將造成航行時(shí)間的延長(zhǎng)。因此，船舶駕駛?cè)藛T應(yīng)認(rèn)真對(duì)各種條件和因素進(jìn)行綜合分析，得出適合當(dāng)時(shí)環(huán)境的最佳航線，在確保安全的前提下，使船舶航行時(shí)間最短、最經(jīng)濟(jì)，從而引導(dǎo)船舶安全并經(jīng)濟(jì)地從一個(gè)港口航行到另一個(gè)港口。本文從理論上定量分析，比較大圓航線與恒向線航線的航程，通過數(shù)據(jù)直觀顯示了大圓航線比恒向線航線節(jié)省的航程。

2 大圓航線和恒向線航線的航程計(jì)算

大圓航線是跨洋航行時(shí)采用的地理航程最短的航線。若將地球當(dāng)做圓球體，地面上兩點(diǎn)間的距離，以連接兩點(diǎn)的小于180°的大圓弧長(zhǎng)為最短。[3]

本文采用式(1)計(jì)算大圓航程[4]：

cosS=sinφ1·sinφ2+cosφ1·cosφ2·cosDλ。

(1)

由于經(jīng)、緯度均有名稱和符號(hào)，在利用式(1)求取航程時(shí)，應(yīng)遵循以下規(guī)律：

(1)起始點(diǎn)緯度φ1一律取正值；到達(dá)點(diǎn)緯度φ2，與起始點(diǎn)緯度同名時(shí)取正值，異名時(shí)取負(fù)值。

(2)經(jīng)差Dλ一律取正值。

(3)若按上述取值解算的cosS為正值，則航程S為小于5 400 n mile(90°)的值；若為負(fù)值，則航程S為大于5 400 n mile(90°)的值。

航跡計(jì)算是指恒向線的航跡計(jì)算，即根據(jù)起始點(diǎn)的經(jīng)緯度、航向和航程以及風(fēng)流資料，運(yùn)用數(shù)學(xué)計(jì)算公式，求到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)緯度，或根據(jù)起始點(diǎn)和到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)緯度求兩點(diǎn)間的航向和航程。航跡計(jì)算一般有三種方法：中分緯度算法、墨卡托算法以及約定緯度算法。[5]其中墨卡托算法是精確的航跡計(jì)算法，另兩種是簡(jiǎn)化計(jì)算，本文采用墨卡托算法。

墨卡托算法是利用墨卡托投影具有等角及恒向線為直線的特點(diǎn)而得出的計(jì)算方法，除在等緯圈上航行外，其他任何場(chǎng)合都可以使用。[6]計(jì)算公式[7]為：

(2)

(3)

S=Dφ·secC ,

(4)

式(2)中MP為緯度漸長(zhǎng)率，式(3)中C為恒向線航向，DMP為到達(dá)點(diǎn)與起始點(diǎn)之間的緯度漸長(zhǎng)率差。北緯取正，南緯取負(fù)。東經(jīng)取正，西經(jīng)取負(fù)。

船舶在等緯圈上航行，即航向?yàn)?0°或270°時(shí)的航跡計(jì)算，雖然不能使用墨卡托算法，但是相關(guān)計(jì)算比較簡(jiǎn)單，公式為：

S=Dλ·cosφ。

(5)

3 航程節(jié)省率的分析比較

為了定量分析比較大圓航程和恒向線航程，本文定義了航程節(jié)省率的概念，即恒向線航程與大圓航程的差值與恒向線航程的比，也就是大圓航程相對(duì)于恒向線航程的相對(duì)節(jié)省率，計(jì)算公式如下:

((S(RL)-S(GC))/S(RL))×100%。

(6)

根據(jù)起始點(diǎn)和到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)緯度分別計(jì)算大圓航程和恒向線航程，兩者進(jìn)行比較分析。當(dāng)船舶航行的起始點(diǎn)和到達(dá)點(diǎn)在同一緯圈(除赤道外)，恒向線航向?yàn)?0°或270°，而大圓航線的航向在不斷改變，但也接近東西向。不同緯度情況下，起始點(diǎn)與到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)差與航程節(jié)省率的關(guān)系如圖1所示。其中縱坐標(biāo)為航程節(jié)省率，橫坐標(biāo)為起始點(diǎn)與到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)差，單位為“度”，曲線上的數(shù)值代表起始點(diǎn)和到達(dá)點(diǎn)同在的緯度。

由圖1可知，當(dāng)經(jīng)差小于30°時(shí)，各條曲線的值都小于1%，說明經(jīng)差較小時(shí)，航程短，恒向線航程與大圓航程相差不大。當(dāng)經(jīng)差大于30°時(shí)，各曲線開始出現(xiàn)較大差別。在緯度60°、50°、40°、30°、20°、10°的航程節(jié)省率依次減小。經(jīng)差100°時(shí)，航程節(jié)省率最大值為在緯度60°航行，大圓航程比恒向線航程節(jié)省了9.92%，而最小值在緯度10°航行，大圓航程比恒向線航程僅節(jié)省了0.54%，說明在高緯度航行時(shí)，大圓航線節(jié)省航程比較明顯，低緯海區(qū)航行時(shí)，恒向線航程和大圓航程相差甚小。圖1中未畫出緯度0°時(shí)的曲線，因?yàn)檠爻嗟篮叫校阆蚓€和大圓航向相同，由于緯度高于60°時(shí)大多為陸地或冰區(qū)，所以也未給出緯度60°以上的曲線。

當(dāng)船舶起始點(diǎn)在緯度20°時(shí)，不同到達(dá)點(diǎn)緯度情況下，起始點(diǎn)與到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)差與航程節(jié)省率的關(guān)系如圖2所示。其中縱坐標(biāo)為航程節(jié)省率，橫坐標(biāo)為起始點(diǎn)與到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)差，單位為“度”，曲線上的數(shù)值代表到達(dá)點(diǎn)的緯度，其中負(fù)號(hào)表示與起始點(diǎn)緯度異名。

圖1 等緯度航行時(shí)航程節(jié)省率曲線

圖2 起始點(diǎn)緯度20°時(shí)航程節(jié)省率曲線

由圖2可知，當(dāng)經(jīng)差小于40°時(shí)，各條曲線的值都小于1%，說明經(jīng)差較小時(shí)，恒向線航程與大圓航程相差不大，而且有些緯差較大，致使航向偏南北向，也使得恒向線航程與大圓航程很接近。當(dāng)經(jīng)差大于40°時(shí)，各曲線開始出現(xiàn)較大差別，有的增長(zhǎng)較快，有的變化緩慢。當(dāng)經(jīng)差100°，航程節(jié)省率最大為到達(dá)緯度為60°時(shí)，大圓航程比恒向線航程節(jié)省了6.71%，而最小為到達(dá)緯度為-20°時(shí)，大圓航程比恒向線航程僅節(jié)省了0.66%。經(jīng)差50°、到達(dá)緯度為0°時(shí)，航程節(jié)省率為0.66%，與經(jīng)差100°、到達(dá)緯度為-20°的航程節(jié)省率相同，這是由于從緯度20°到緯度-20°，恒向線與大圓航線中點(diǎn)都在赤道上，并且關(guān)于中點(diǎn)中心對(duì)稱，所以可以把航線分為兩段，一段從緯度20°到赤道，另一段從赤道到緯度-20°，這兩段的經(jīng)差均為之前航線經(jīng)差的一半，所以航程節(jié)省率相同。起始點(diǎn)和到達(dá)點(diǎn)在同一半球，且航行距離較長(zhǎng)時(shí)，向高緯海區(qū)航行的航程節(jié)省率較大。起始點(diǎn)和到達(dá)點(diǎn)不在同一半球，情況較為復(fù)雜，由于航線要跨赤道，而赤道附近的墨卡托投影和心射投影極為相似，恒向線和大圓航線也就很接近，所以航程節(jié)省率要比同半球相同緯差的情況小很多。

當(dāng)船舶起始點(diǎn)在緯度40°時(shí)，不同到達(dá)點(diǎn)緯度情況下，起始點(diǎn)與到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)差與航程節(jié)省率的關(guān)系如圖3所示。圖中縱坐標(biāo)為航程節(jié)省率，橫坐標(biāo)為起始點(diǎn)與到達(dá)點(diǎn)的經(jīng)差，單位為“度”，曲線上的數(shù)值代表到達(dá)點(diǎn)的緯度，其中負(fù)號(hào)表示與起始點(diǎn)緯度異名。

由圖3可知，當(dāng)經(jīng)差小于34°時(shí)，各條曲線的值都小于1%，原因也是由于經(jīng)差較小，航程短，而且有些緯差較大，航向偏南北向。當(dāng)經(jīng)差大于34°時(shí)，各曲線變化明顯，差別較大。當(dāng)經(jīng)差為100°，航程節(jié)省率最大為到達(dá)緯度為60°時(shí)，大圓航程比恒向線航程節(jié)省了8.47%，而最小為到達(dá)緯度為-40°時(shí)，大圓航程比恒向線航程僅節(jié)省了0.77%。經(jīng)差50°、到達(dá)緯度0°與經(jīng)差100°、到達(dá)緯度-40°的航程節(jié)省率相同，原因同圖2的分析。起始點(diǎn)和到達(dá)點(diǎn)在同一半球，且長(zhǎng)距離航行時(shí)，向高緯海區(qū)航行的航程節(jié)省率較大。起始點(diǎn)和到達(dá)點(diǎn)不在同一半球，情況較為復(fù)雜，航程節(jié)省率都比較小。

圖3 起始點(diǎn)緯度40°時(shí)航程節(jié)省率曲線

為了進(jìn)一步說明航程節(jié)省率的意義，本文給出兩個(gè)具體實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。例1為某船由日本橫濱(35°27′N、139°38′E)出發(fā)，通過北太平洋航行至美國舊金山(37°48′N、122°25′W)。例2為某船由新西蘭惠靈頓(41°17′S、174°46′E)出發(fā)，通過南太平洋航行至巴拿馬巴拿馬城(08°57′N、079°32′W)[8]。分別計(jì)算了大圓航程和恒向線航程，并給出了航程節(jié)省率，如表1所示。

表1 實(shí)例計(jì)算

例1中起始點(diǎn)橫濱與到達(dá)點(diǎn)舊金山緯度接近，所以恒向線航向接近東西向，可根據(jù)圖1粗略查看。圖1中經(jīng)差100°時(shí)，緯度30°和40°的航程節(jié)省率分別為4.02%和6.19%。本例中經(jīng)差97.95°，緯度接近36°，計(jì)算出來的航程節(jié)省率5.61%和由圖1中內(nèi)插估算出的數(shù)值比較接近。

例2中起始點(diǎn)惠靈頓與到達(dá)點(diǎn)巴拿馬城緯度相差較大，且不在同一半球，起始點(diǎn)緯度在40°左右，到達(dá)點(diǎn)緯度在-10°，可根據(jù)圖3粗略查看。圖3中起始緯度為40°，經(jīng)差100°時(shí)，到達(dá)緯度0°和-20°的航程節(jié)省率分別為2.69%和1.29%。本例經(jīng)差105.7°，通過計(jì)算得出的航程節(jié)省率為2.38%，也接近由圖3內(nèi)插估算出的數(shù)值。

4 結(jié) 語

本文通過對(duì)大圓航程和恒向線航程的近似計(jì)算，把起止點(diǎn)的緯度以及兩點(diǎn)的經(jīng)差與大圓航線比恒向線航線的航程節(jié)省率的關(guān)系繪制成圖，并由兩個(gè)例題驗(yàn)證，得到令人滿意的效果，確定了圖表繪制的合理性。所以，當(dāng)導(dǎo)航設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)，為駕駛員在航線設(shè)計(jì)選擇航法，針對(duì)縮短航程這一要素提供了科學(xué)可靠的依據(jù)。

[1] 王志明. 論中緯度航區(qū)遠(yuǎn)洋航線的選擇[J]. 航海技術(shù)，2004(6)：10-11.

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[4] 程傳林,周利江. 利用Matlab解析法求解大圓航線[J]. 中國水運(yùn)，2008(4：下半月)20-21.

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[責(zé)任編輯：張永軍]

Comparative Analysis of Distance Between Great Circle and Rhumb Line

WANG Zai-gao

(Water Transportation Department,Anhui Communication and Vocational Technology College, Hefei 230051,China)

Great circle and rhumb line are commonly used way of designing navigational route, theoretically, we can resort to the definition of distance saving rate and its calculating formulas to analyze shorter distance between great circle and rhumb line with the same start and end position for sailing ships. To verify the hypothesis, this paper adopts mercatoral gorithm to calculate rhumb linedistance and great circle analytical method to calculate great circle distance, and compares and analyzes their distance saving rate. At last, examples are employed to verify that great circle saves much more distance when ship sailing on sea regions of high latitude, course close to east west direction, crossing large longitude.

great circle; rhumb line; distance saving rate

2016-05-28

2016-07-20

王在高(1976— )，男,安徽合肥人，安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院水運(yùn)工程系講師。

U697.33

A

2096-2371(2016)04-0073-04