二次根式化簡求值的解法和推廣

洪 云 胡仁建

(1.福建省漳州市第三中學(xué) 363000；2. 重慶市潼南區(qū)康樂小學(xué) 402660)

二次根式的化簡和運算是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是數(shù)學(xué)競賽中的常見題型.二次根式的化簡,除了掌握基本概念和運算法則外,應(yīng)根據(jù)根式的具體結(jié)構(gòu)特征,靈活選用一些特殊的方法和技巧，不僅可以化難為易、化繁為簡,提高解題速度,收到事半功倍的效果,而且有助于培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力及探索求新的學(xué)習(xí)習(xí)慣.以下就幾類常用的方法和技巧舉例說明.

一、拆裂項及因式分解

解析本題的關(guān)鍵是將分子中的8拆數(shù)配方因式分解，進而約分求得結(jié)果.

二、運用逆運算

解析本題的關(guān)鍵是巧用積的乘方的逆運算：anbn=(ab)n.

三、換元思想

當(dāng)二次根式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可以通過換元，將結(jié)論的形式轉(zhuǎn)化為簡單形式，以便于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律.

四、構(gòu)造方程

兩邊平方，得x2=5x，即x(x-5)=0

五、配方法

無獨有偶，我們來看北京某中學(xué)高一試題;

考點： 二次根式的化簡.

此試題其他解法.

(方法二)：運用特殊角的三角函數(shù)值求解.

(方法三)：觀察二次根式的結(jié)構(gòu)特點，找出通法.

同類延伸推廣.

這道推廣題用原題的方法，分子分母同乘某個數(shù)來化簡，顯然不易.

1.觀察分子頭尾兩項二次根式的特點，采用三角函數(shù)法來化簡.

2.此類二次根式化簡的通性通法.

縱觀二次根式化簡求值，常見方法有公式法、拆項法、倒數(shù)法、約分法、配方法、平方法、換元法等，

筆者認為培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，夯實基礎(chǔ)，加強訓(xùn)練梯度，教師既不能以簡單題重復(fù)訓(xùn)練為主，也不能一味將學(xué)生置于大量繁瑣的復(fù)雜運算問題之中，而應(yīng)以螺旋式上升為主的梯度式訓(xùn)練，注重觀察、思考，找出通性通法，有效提高運算能力、鍛煉數(shù)學(xué)思維，從而使學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).