廣義Lagrange型和Cauchy型Taylor公式

于林

廣義Lagrange型和Cauchy型Taylor公式

于林

（三峽大學(xué) 理學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

通過引入適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，并以單側(cè)導(dǎo)數(shù)替換雙側(cè)導(dǎo)數(shù)，以高階導(dǎo)數(shù)替換一階導(dǎo)數(shù)，證明了一類廣義的Lagrange型和Cauchy型Taylor公式．所得結(jié)論既是Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的推廣，同時也是一種新型的Taylor公式．

微分中值定理；Taylor公式；單側(cè)導(dǎo)數(shù)

1 引言及預(yù)備知識

微分中值定理和Taylor公式的推廣主要有２個方向：一個是單側(cè)導(dǎo)數(shù)形式[1-2]，另一個是高階導(dǎo)數(shù)形式[3-6]．更多推廣和應(yīng)用參見文獻(xiàn)[7-10]．本文將２種推廣思路相結(jié)合，建立高階單側(cè)導(dǎo)數(shù)形式的廣義Lagrange型和Cauchy型Taylor公式，所得結(jié)果推廣了已有的相關(guān)結(jié)論．

人文社會科學(xué)科研項(xiàng)目工資費(fèi)、勞務(wù)費(fèi)、專家咨詢費(fèi)和績效支出等四項(xiàng)人員費(fèi)用中，勞務(wù)費(fèi)和專家咨詢費(fèi)的問題已基本得到解決，難點(diǎn)和重點(diǎn)在于工資費(fèi)和績效支出。

2　主要結(jié)果及證明

1.積極參與校企合作。企業(yè)應(yīng)改變以往的觀念，在優(yōu)惠政策下，積極參與校企合作，為高職院校的教師提供良好的培訓(xùn)平臺。同時，與職業(yè)院校搭建交流溝通的平臺，讓教師及時了解專業(yè)人才的需求情況以及專業(yè)發(fā)展的最新動態(tài)，促進(jìn)教師核心素養(yǎng)和能力的提高。

在開展角色扮演活動的基礎(chǔ)上，在主持人的引導(dǎo)下設(shè)置植物分類方面的相關(guān)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組交流活動，實(shí)現(xiàn)對植物分類的基本知識的認(rèn)知：①上述植物分別屬于哪一類植物?有幾種分類方法？②種子植物可以分為哪些類群?③無種子（孢子）植物可以分為哪些類群?④怎樣把上述植物所屬類群按簡單到復(fù)雜的順序排列?

觀察生產(chǎn)下滑，化肥市場整體弱勢回升的局面還將持續(xù)。根據(jù)價(jià)格走勢判斷，未來短期內(nèi)，國內(nèi)化肥市場總體仍將延續(xù)高位震蕩走勢，主要品種價(jià)格變化不大，行業(yè)效益繼續(xù)改善。

國家林業(yè)和草原局副局長劉東生在致辭中說，森林旅游是綠水青山變成金山銀山的“轉(zhuǎn)化器”，是實(shí)現(xiàn)“不砍樹也能致富”的“發(fā)動機(jī)”，是助力扶貧攻堅(jiān)、林區(qū)轉(zhuǎn)型發(fā)展的“動力源”，還是推動全域旅游發(fā)展的“主力軍”。

式（2）不僅是Cauchy中值定理的一種推廣，同時又使得Taylor公式成為其特殊情況．所以，可稱式（2）為廣義的Cauchy型Taylor公式．

當(dāng)被稱為“地殼構(gòu)造板塊”的巨大巖石層在地表下發(fā)生碰撞時，山脈形成了。由于板塊沖撞，土地被向上推擠形成山脈，或熔巖溢出地表形成火山。但火山的形狀比褶皺的山脈更規(guī)則。山脈上的土壤通常較為貧瘠，布滿巖石，山頂附近則寸草不生。盡管火山噴發(fā)給人類帶來了危險(xiǎn)，但火山灰能轉(zhuǎn)化成肥沃的土壤，有利于莊稼的生長。

[1] 吳開騰．廣義Lagrange中值定理的應(yīng)用[J]．內(nèi)江師專學(xué)報(bào)，1992，7（2）：50-54．

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[4] 蘇翔，趙振華，董建．一個廣義的Cauchy型Taylor公式[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2009，39（21）：214-221．

[5] 杜爭光．廣義Cauchy中值定理“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2015，45（3）：268-271．

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[7] 王穎．拉格朗日中值定理在微分學(xué)中的應(yīng)用[J]．高師理科學(xué)刊，2018，38（1）：64-66．

[8] 龔東山，劉岳巍，牛富俊．柯西中值定理的一個推廣[J]．高師理科學(xué)刊，2008，28（6）：4-6．

[9] 陳寧．微分中值定理的歷史演變[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，19（2）：96-99．

[10] 張騫．高階方向?qū)?shù)與多元Taylor定理的簡單形式[J]．菏澤學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，33（2）：11-13．

Generalized Lagrange type and Cauchy type Taylor formulas

YU Lin

（School of Science，China Three Gorges University，Yichang 443002，China）

With the help of some suitable auxiliary functions，the generalized Lagrange type and Cauchy type Taylor formulas are proved by replacing bilateral derivatives with unilateral derivatives and replacing first order derivatives with higher order derivatives．The result obtained here is not only a generalization of Lagrange′s mean value theorem and Cauchy′s mean value theorem，but also a new type of Taylor′s formula．

differential mean value theorem；Taylor′s formula；unilateral derivatives

1007-9831（2023）09-0001-03

O172.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.09.001

2023-02-18

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11871195）；三峽大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目（J2023052）

于林（1965-），男，山東濱州人，教授，博士，從事泛函分析研究．E-mail：yulin@ctgu.edu.cn