基于“慣容—彈簧—阻尼”體系的線譜和寬帶一體化隔振器結(jié)構(gòu)綜合

張贛波，趙 耀，陳學(xué)東

（華中科技大學(xué)a.船舶與海洋工程學(xué)院；b.機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430074）

0 引 言

機(jī)械振動(dòng)是艦船隱蔽航行狀態(tài)下低頻線譜的主要來源，因此，亟需突破機(jī)械振動(dòng)線譜治理的關(guān)鍵技術(shù)[1]。當(dāng)前，針對(duì)線譜隔振技術(shù)的研究主要聚焦在混沌隔振和反共振隔振兩個(gè)方向?；煦绺粽窕凇皬?qiáng)非線性系統(tǒng)在混沌振動(dòng)狀態(tài)時(shí)具有‘線譜輸入，連續(xù)寬帶譜輸出’的特性”這一原理實(shí)施線譜重構(gòu)，將集中于線譜頻率的能量分散到連續(xù)寬帶頻率中[2]，但還面臨小能量控制、大參數(shù)范圍、穩(wěn)定時(shí)間、高混沌品質(zhì)等技術(shù)困難和挑戰(zhàn)[3]。反共振隔振是基于慣性力和彈性力等值反向形成反共振的原理，將線譜振動(dòng)能量吸收、轉(zhuǎn)移至儲(chǔ)能元件中，最早在直升機(jī)旋翼—機(jī)身隔振中被采用[4]，隔振器型式也從最初的機(jī)械式發(fā)展為液壓式[5]和液彈式[6]。文獻(xiàn)[7]以共振轉(zhuǎn)換器作為艦船推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)低頻線譜的反共振隔振裝置，原理樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果表明可有效降低共振線譜。

反共振隔振技術(shù)的關(guān)鍵在于引入具有兩個(gè)獨(dú)立、自由端點(diǎn)的慣性元件。具有這一動(dòng)力學(xué)特性的慣性元件被定義為“慣容”[8]。其原理是通過傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)換創(chuàng)造慣性元件發(fā)生運(yùn)動(dòng)耦合的條件，在轉(zhuǎn)換過程中同時(shí)產(chǎn)生放大效應(yīng)，放大慣性元件的視在慣性。目前，已開發(fā)的慣容實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)包括齒輪齒條式、滾珠絲杠式、流體式、液壓式等[8-11]，為突破傳統(tǒng)“彈簧—阻尼”隔振器結(jié)構(gòu)體系提供條件。文獻(xiàn)[12]將慣容引入車輛懸架中，組合得到21 種懸架結(jié)構(gòu)模型，采用雙目標(biāo)優(yōu)化識(shí)別出12 種新型結(jié)構(gòu)性能均優(yōu)于傳統(tǒng)懸架。文獻(xiàn)[13-14]在以一個(gè)彈簧作為主承載元件的條件下，組合不同元件數(shù)量的含慣容隔振器結(jié)構(gòu)模型，采用H2和H∞優(yōu)化算法推導(dǎo)出最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比的解析解，并從響應(yīng)放大角度與傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器進(jìn)行比較。上述研究都是先針對(duì)性地設(shè)定不同組合的“慣容—彈簧—阻尼”隔振器結(jié)構(gòu)模型，再分析隔振系統(tǒng)的隔振特性，屬于動(dòng)力學(xué)正問題研究。這種正向分析方法存在的問題在于漏解，即具有目標(biāo)特性的隔振器結(jié)構(gòu)可能不止一種組合。此外，因排列組合的不充分性，具有更優(yōu)越性能的隔振器結(jié)構(gòu)也可能被遺漏。

艦船工程中的激勵(lì)源具有復(fù)雜性，如浮筏、推進(jìn)系統(tǒng)等，是典型的連續(xù)寬帶和離散線譜的混合激勵(lì)。在單層、雙層和浮筏隔振技術(shù)普及應(yīng)用后，寬帶振動(dòng)得到了卓有成效的治理，但不能有效降低線譜強(qiáng)度。而單獨(dú)針對(duì)線譜的反共振隔振技術(shù)，寬帶隔振效果不佳。從工程需求角度出發(fā)，要求降低線譜應(yīng)兼顧寬帶隔振以避免顧此失彼。

本文將慣容引入隔振器結(jié)構(gòu)中，在“慣容—彈簧—阻尼”體系框架下開展隔振器結(jié)構(gòu)綜合的逆問題研究?；跈C(jī)電相似性，將隔振器作為一個(gè)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件，采用電網(wǎng)絡(luò)理論綜合出滿足要求的兩種隔振器結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行隔振特性和阻尼影響分析。所綜合的兩種隔振器結(jié)構(gòu)具有工程可實(shí)現(xiàn)性，為線譜和寬帶一體化隔振提供了一種被動(dòng)控制技術(shù)途徑。

1 慣容基本特性

1.1 慣容的動(dòng)力學(xué)模型

具有兩個(gè)獨(dú)立、自由端點(diǎn)的慣性元件稱之為慣容，其慣性力與兩端點(diǎn)的相對(duì)加速度成正比[8]，關(guān)系式為

式中，比例系數(shù)b為常數(shù)，稱之為慣質(zhì)，單位為kg；vi是兩端點(diǎn)速度，i= 1,2。

慣容與彈簧和阻尼一樣同屬于兩端點(diǎn)元件，其兩端點(diǎn)的加速度是慣性坐標(biāo)系下的絕對(duì)加速度，兩端點(diǎn)的絕對(duì)加速度之差產(chǎn)生慣容的慣性力。而質(zhì)量（或慣量）是單端點(diǎn)元件，單端點(diǎn)的加速度就是慣性坐標(biāo)系下的絕對(duì)加速度，直接產(chǎn)生慣性力。慣容和質(zhì)量的慣性力與加速度的關(guān)系描述見圖1。從兩端點(diǎn)的一般性看，質(zhì)量元件的另一個(gè)端點(diǎn)固定在慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)，相當(dāng)于接地的慣容。因此，慣容是更具一般性的慣性元件，而質(zhì)量是特殊性的慣性元件。

圖1 慣容和質(zhì)量的慣性力與加速度的關(guān)系Fig.1 Relationship between inertia force and acceleration of inerter and mass

1.2“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關(guān)系規(guī)律

在慣容被物理實(shí)現(xiàn)后，機(jī)械系統(tǒng)和電氣系統(tǒng)建立起嚴(yán)格相似關(guān)系。在“力—電流”第二類機(jī)電相似理論中，機(jī)械系統(tǒng)的慣容、彈簧、阻尼分別與電氣系統(tǒng)的電容、電感、電阻相對(duì)應(yīng)，為機(jī)械系統(tǒng)應(yīng)用成熟的電網(wǎng)絡(luò)綜合理論創(chuàng)造條件。據(jù)此，建立如圖2 所示的隔振系統(tǒng)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)模型。類比電網(wǎng)絡(luò)，隔振器可看作一個(gè)雙端接載的無源雙口四端網(wǎng)絡(luò)，輸入輸出端特征參數(shù)以力fi、fo和速度vi、vo表示。輸入端負(fù)載是被隔振設(shè)備阻抗Zm，輸出端負(fù)載是基礎(chǔ)（或基座）阻抗Zf。若隔振器阻抗為Zi，則以機(jī)械阻抗表示的隔振系統(tǒng)力傳遞函數(shù)為

圖2 隔振系統(tǒng)的機(jī)械網(wǎng)絡(luò)模型Fig.2 Mechanical network model of vibration isolation system

將慣容、彈簧、阻尼三元件串并聯(lián)組合成隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)模型，共有8種組合方式，如圖3所示。

圖3 慣容、彈簧、阻尼三元件組合方式Fig.3 Combination types of inerter-spring-damping three elements

根據(jù)阻抗的串并聯(lián)關(guān)系式，這8種組合方式的機(jī)械阻抗分別為

式中，k、c分別為彈簧剛度和阻尼系數(shù)，s為復(fù)數(shù)。

從圖4可以總結(jié)“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關(guān)系規(guī)律為：反共振的條件是慣容和彈簧并聯(lián)，如組合方式（a）、（e）；在并聯(lián)的慣容和彈簧結(jié)構(gòu)中串聯(lián)阻尼，將破壞反共振的條件，如組合方式（f）、（g）；在串聯(lián)的慣容和彈簧結(jié)構(gòu)中增加阻尼，都不會(huì)出現(xiàn)反共振，如組合方式（b）、（c）、（d）、（h）。

圖4 不同組合方式的力傳遞函數(shù)幅頻特性Fig.4 Amplitude-frequency characteristics of force transfer function corresponding to different types

2“慣容—彈簧”機(jī)械網(wǎng)絡(luò)綜合理論

2.1 線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件

技術(shù)條件是指所設(shè)定的隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)特性要求。在隔振系統(tǒng)分析中，通常以力傳遞率作為理論分析依據(jù)。為此，以力傳遞特性要求描述線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件。

以反共振隔振作為線譜隔振的技術(shù)途徑，而寬帶隔振則采用傳統(tǒng)的隔振技術(shù)。反共振隔振的特征反映在力傳遞函數(shù)曲線上是存在陷波的反共振峰，而寬帶隔振的特征是在隔振區(qū)力傳遞函數(shù)曲線具有一定的衰減斜率，即力傳遞函數(shù)幅值單調(diào)遞減。

圖5展示了單層隔振和動(dòng)力吸隔振的力傳遞函數(shù)幅頻特性。動(dòng)力吸隔振表現(xiàn)出較好的線譜和寬帶一體化隔振特性，在線譜激勵(lì)頻率處出現(xiàn)反共振峰，而在第二階共振峰之后隔振區(qū)的力傳遞函數(shù)曲線與單層隔振的力傳遞函數(shù)曲線趨于重合，具有相同的衰減斜率。根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)的隔振與電氣系統(tǒng)的濾波在原理上的相似性，線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件反映在力傳遞函數(shù)曲線上，是在不同頻帶內(nèi)具有不同類型的“濾波”特征，如圖5所示的低通帶、陷波阻帶和高阻帶。

圖5 單層隔振和動(dòng)力吸隔振的力傳遞函數(shù)幅頻特性比較Fig.5 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function between vibration isolation and dynamic vibration absorption

2.2 力傳遞函數(shù)綜合方法

在機(jī)械系統(tǒng)的基本元件中，阻尼元件不改變機(jī)械系統(tǒng)的特性，表現(xiàn)為不影響傳遞函數(shù)曲線的基本特征，其影響局限在共振區(qū)和反共振區(qū)。故以慣容、彈簧二類元件進(jìn)行隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)綜合。

線譜隔振通過反共振實(shí)現(xiàn)。類比濾波器原理，濾波器的類型由分子多項(xiàng)式所決定。機(jī)械系統(tǒng)的反共振隔振即屬于陷波濾波器類型。陷波濾波器的構(gòu)成要求力傳遞函數(shù)分子是形如b2s2+b0的2 階多項(xiàng)式。

寬帶隔振要求力傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階數(shù)高于分子多項(xiàng)式。對(duì)于傳統(tǒng)隔振器結(jié)構(gòu)，單層隔振系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式階數(shù)比分子多項(xiàng)式高2 階，為使得一體化隔振力傳遞函數(shù)在隔振區(qū)的衰減斜率達(dá)到單層隔振的下降水平，則一體化隔振力傳遞函數(shù)分母應(yīng)是形如a4s4+a2s2+a0的4階多項(xiàng)式。

因此，線譜和寬帶一體化隔振的力傳遞函數(shù)的一般形式為

式中，a0、a2、a4、b0、b2都是正的常系數(shù)，分母是嚴(yán)格霍爾維茨多項(xiàng)式，僅有s復(fù)平面左半平面的根[15]。

假設(shè)基礎(chǔ)剛性，隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)退化為單端接載的雙口無源網(wǎng)絡(luò)，由圖2列出方程組：

式中，z11和z21是隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)阻抗矩陣的原點(diǎn)和跨點(diǎn)阻抗。對(duì)于無源網(wǎng)絡(luò)，力流無損失，有

z11=z21。

由此推導(dǎo)出隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的力傳遞函數(shù)為

式（13）表明，隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的力傳遞函數(shù)與其阻抗具有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)“力—電流”第二類機(jī)電相似理論，對(duì)于由慣容、彈簧二類元件構(gòu)成的無源機(jī)械網(wǎng)絡(luò)，z11、z21是關(guān)于s的有理正實(shí)奇函數(shù)[15]?？紤]被隔振設(shè)備阻抗Zm=ms，進(jìn)而可推知T(s)是關(guān)于s的偶函數(shù)，這進(jìn)一步印證了式（11）的正確性。

令z11=z21=N(s)D(s)，其中，N(s)是分子多項(xiàng)式，D(s)是分母多項(xiàng)式，代入式（13），整理得

根據(jù)式（11），在力傳遞函數(shù)分母是4 階多項(xiàng)式的條件下，D(s)必定是形如a3s3+a1s的3 階多項(xiàng)式。由此得到“慣容—彈簧”隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的阻抗表達(dá)式為

式中，a1、a3都是正的常系數(shù)，

這樣，滿足線譜和寬帶一體化隔振技術(shù)條件的力傳遞函數(shù)綜合轉(zhuǎn)換為隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)綜合。

3“慣容—彈簧—阻尼”隔振器結(jié)構(gòu)綜合

3.1 隔振器結(jié)構(gòu)綜合

在得到線譜和寬帶一體化隔振器的機(jī)械網(wǎng)絡(luò)阻抗函數(shù)的一般表達(dá)式后，可根據(jù)阻抗或其倒數(shù)導(dǎo)納綜合出隔振器的結(jié)構(gòu)形式。由于阻抗綜合的結(jié)構(gòu)是并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，而導(dǎo)納綜合的結(jié)構(gòu)是串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，按導(dǎo)納綜合，式（15）可展開成如下多項(xiàng)式

式中，最右端第1項(xiàng)是彈簧導(dǎo)納，第2項(xiàng)是慣容和彈簧二元件并聯(lián)導(dǎo)納。

按阻抗綜合，式（15）可展開成如下多項(xiàng)式

式中，最右端第1項(xiàng)是彈簧阻抗，第2項(xiàng)是慣容和彈簧二元件串聯(lián)阻抗。

因此，滿足線譜和寬帶一體化隔振要求的隔振器結(jié)構(gòu)應(yīng)包括2個(gè)彈簧和1個(gè)慣容。由于慣容不具有獨(dú)立承載能力，一旦超過工作行程將出現(xiàn)“擊穿”短路，需要其中1個(gè)彈簧的并聯(lián)防護(hù)。

按照上述兩種綜合方法構(gòu)建的隔振器結(jié)構(gòu)形式如圖6 所示。結(jié)構(gòu)Ⅰ是兩級(jí)串聯(lián)型，“慣容—彈簧”并聯(lián)作為第一級(jí)，第2個(gè)彈簧作為第二級(jí)；結(jié)構(gòu)Ⅱ是單級(jí)并聯(lián)型，“慣容—彈簧”串聯(lián)作為第一個(gè)并聯(lián)分支，第2個(gè)彈簧作為第二個(gè)并聯(lián)分支。

圖6 隔振器結(jié)構(gòu)形式Fig.6 Isolator structure

結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的反共振頻率分別為

在相同動(dòng)力參數(shù)條件下，ωⅠ>ωⅡ。

為控制隔振系統(tǒng)的共振響應(yīng)，在隔振器結(jié)構(gòu)構(gòu)成中還應(yīng)設(shè)置阻尼，但阻尼元件數(shù)量是可選項(xiàng)。雖然阻尼的排列不影響力傳遞函數(shù)的性質(zhì)，但有可能破壞反共振條件。根據(jù)前述“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關(guān)系規(guī)律，阻尼應(yīng)并聯(lián)排列，如圖6中的虛線位置。

3.2 隔振特性分析

設(shè)定阻尼元件數(shù)量不超過2 個(gè)，記為c1、c2，隔振器Ⅰ有3 種阻尼排列方式，分別記為Ⅰ1、Ⅰ2、Ⅰ3。隔振器Ⅱ有6種阻尼排列方式，分別記為Ⅱ1、Ⅱ2、Ⅱ3、Ⅱ4、Ⅱ5、Ⅱ6。

圖7 隔振器Ⅰ的力傳遞函數(shù)幅頻特性Fig.7 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function of Isolator Ⅰ

圖8 隔振器Ⅱ的力傳遞函數(shù)幅頻特性Fig.8 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function of Isolator Ⅱ

對(duì)比看出，基于“慣容—彈簧—阻尼”結(jié)構(gòu)體系的隔振器Ⅰ、Ⅱ的力傳遞函數(shù)曲線都存在反共振峰，在隔振區(qū)的衰減斜率與傳統(tǒng)隔振器也基本一致，證實(shí)了上述關(guān)于隔振器機(jī)械網(wǎng)絡(luò)綜合方法的正確性。

觀察隔振器Ⅰ2和Ⅱ3，其力傳遞函數(shù)曲線在隔振區(qū)的衰減斜率較其他結(jié)構(gòu)的力傳遞函數(shù)曲線更大，原因在于結(jié)構(gòu)Ⅰ2和Ⅱ3力傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式與分子多項(xiàng)式的階數(shù)差比其他結(jié)構(gòu)力傳遞函數(shù)大1階。在隔振區(qū)，結(jié)構(gòu)Ⅰ2和Ⅱ3力傳遞函數(shù)曲線的下降速度為12 dB/Oct.，是其他結(jié)構(gòu)的2 倍，達(dá)到雙層隔振的衰減水平。

3.3 阻尼影響

阻尼的影響集中在共振區(qū)和反共振區(qū)，其作用是控制共振峰和反共振峰的幅值。通過比較力傳遞函數(shù)共振峰和反共振峰幅值的變化，可以識(shí)別不同位置阻尼的影響機(jī)制。

對(duì)于隔振器Ⅰ3，對(duì)比圖7中Ⅰ1和Ⅰ3，可推知c2主要決定第1階共振峰和反共振峰的幅值，并且對(duì)兩者的影響作用相反，在降低第1 階共振峰幅值的同時(shí)，也增大反共振峰的幅值，即削弱線譜隔振效果；由圖7中Ⅰ2和Ⅰ3對(duì)比推知c1主要影響第2階共振峰幅值。

阻尼c1和c2的影響作用和效果可以從圖9進(jìn)一步驗(yàn)證。在隔振區(qū)，增加阻尼c1會(huì)相應(yīng)增大力傳遞函數(shù)幅值，不利于寬帶隔振。而改變阻尼c2對(duì)寬帶隔振效果幾乎無影響，但會(huì)顯著地影響線譜隔振效果。因此，隔振器Ⅰ的寬帶隔振效果可通過調(diào)節(jié)阻尼c1改善，而線譜隔振效果由阻尼c2調(diào)節(jié)。

圖9 隔振器Ⅰ3關(guān)于阻尼的影響Fig.9 Effect of damping on Isolator Ⅰ3

對(duì)于隔振器Ⅱ，由圖8 中Ⅱ2和Ⅱ4、Ⅱ3和Ⅱ5對(duì)比，可推知c1決定第1 階共振峰和反共振峰的幅值，并且對(duì)兩者的影響作用也是相反的，第1個(gè)共振峰幅值被抑制的同時(shí)，會(huì)增大反共振峰幅值；由圖8中Ⅱ1和Ⅱ4、Ⅱ5對(duì)比推知c2主要決定第2個(gè)共振峰幅值。

圖10具體展示阻尼c1和c2對(duì)隔振器Ⅱ4的影響作用和效果。在隔振區(qū)，力傳遞函數(shù)幅值與阻尼c1和c2正相關(guān)，增加阻尼c1和c2都會(huì)降低寬帶隔振效果。因此，阻尼c1同時(shí)決定了隔振器結(jié)構(gòu)Ⅱ4的線譜和寬帶隔振效果，而阻尼c2主要影響寬帶隔振效果。

圖10 隔振器Ⅱ4關(guān)于阻尼的影響Fig.10 Effect of damping on Isolator Ⅱ4

隔振器Ⅱ5關(guān)于阻尼的影響見圖11。阻尼c1主要影響第1 階共振峰幅值和寬帶隔振效果，而第2階共振峰幅值和線譜隔振效果由阻尼c2決定。因此，隔振器Ⅱ5的線譜和寬帶隔振效果可以分別通過阻尼c1、c2進(jìn)行獨(dú)立調(diào)節(jié)，相對(duì)于隔振器Ⅱ4更有結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)。

圖11 隔振器Ⅱ5關(guān)于阻尼的影響Fig.11 Effect of damping on Isolator Ⅱ5

4 結(jié) 論

（1）在“慣容—彈簧—阻尼”三元件匹配關(guān)系中，慣容和彈簧并聯(lián)形成反共振，在并聯(lián)的慣容和彈簧結(jié)構(gòu)中串聯(lián)阻尼，將破壞反共振的條件，而在串聯(lián)的慣容和彈簧結(jié)構(gòu)中增加阻尼也不會(huì)出現(xiàn)反共振。

（2）線譜和寬帶一體化隔振的技術(shù)條件反映在力傳遞函數(shù)表達(dá)式上時(shí)，分子多項(xiàng)式包含偶次的2階多項(xiàng)式，通過反共振實(shí)現(xiàn)線譜隔振；分母多項(xiàng)式的階數(shù)比分子多項(xiàng)式至少高1 階，通過力傳遞函數(shù)幅值單調(diào)遞減實(shí)現(xiàn)寬帶隔振。

（3）存在兩種類型的滿足線譜和寬帶一體化隔振技術(shù)條件的隔振器結(jié)構(gòu)，分別是兩級(jí)串聯(lián)型和單級(jí)并聯(lián)型；為實(shí)現(xiàn)線譜隔振效果和寬帶隔振效果的獨(dú)立調(diào)節(jié)，可以在兩級(jí)串聯(lián)型隔振器結(jié)構(gòu)中與第一級(jí)和第二級(jí)各并聯(lián)1個(gè)阻尼元件，或者在單級(jí)并聯(lián)型隔振器結(jié)構(gòu)中與分支和慣容各并聯(lián)1個(gè)阻尼元件。