三角矩陣環(huán)上的Gorenstein AC-投射模

牟 婷, 王 淼, 王占平

(1. 西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070; 2. 紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 浙江 紹興 312000)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

自從Enochs等[1]引入了任意結(jié)合環(huán)R上Gorenstein投射模的概念以來(lái), 關(guān)于任意結(jié)合環(huán)上Gorenstein同調(diào)理論的研究得到廣泛關(guān)注. 作為Gorenstein投射模的特殊情形, Ding等[2]引入了強(qiáng)Gorenstein平坦模, 文獻(xiàn)[3]稱其為Ding投射模. 為研究一般環(huán)上的穩(wěn)定模范疇, Bravo等[4]引入了FP∞型模、level模和Gorenstein AC-投射模, 并研究了其同調(diào)性質(zhì), 這3種模的定義分別為: 如果存在右R-模的正合列

…→Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0,

P·=…→P-1→P0→P1→…,

2 Gorenstein AC-投射模

引理1設(shè)W=(W1,W2)φW是右T-模, 則:

2)W是有限生成右T-模當(dāng)且僅當(dāng)W2是有限生成右B-模, 且CokerφW是有限生成右A-模[11].

引理3[7]設(shè)X·是投射左R-模的正合序列. 若fd(UR)<∞, 則U?RX·是正合序列.

3) 若φL是單同態(tài), CokerφL是level左B-模,L1是level左A-模, 且UA是有限生成投射模, 則L是level左T-模.

證明: 1) 設(shè)W1是FP∞型右A-模, 則有右A-模的正合列P·=…→P1→P0→W1→0, 其中每個(gè)Pi(i≥0) 是有限生成投射右A-模. 從而有右T-模的正合列…→(P1,0)→(P0,0)→(W1,0)→0. 由引理1知, 每個(gè)(Pi,0)(i≥0)是有限生成投射右T-模, 故(W1,0)是FP∞型右T-模. 由L是level左T-模及引理2中1)知,

因此L1是level左A-模.

2) 設(shè)W2是FP∞型右B-模, 則有右B-模的正合列Q·=…→Q1→Q0→W2→0, 其中每個(gè)Qi(i≥0)是有限生成投射右B-模. 因?yàn)锽U是平坦模, 所以Q·?BU正合. 從而有右T-模的正合列

…→(Q1?BU,Q1)→(Q0?BU,Q0)→(W2?BU,W2)→0.

故L2是level左B-模.

3) 因?yàn)棣誏是單同態(tài), 故有左B-模的正合列

從而有左T-模的正合列

設(shè)(W1,W2)是FP∞型右T-模, 則有右T-模的正合列

推論1下列結(jié)論成立:

證明: 1) 由引理2中3)知, 結(jié)論顯然成立.

2) 設(shè)(W1,W2)是FP∞型右T-模, 則由引理1知,W2是FP∞型右B-模. 又由L2是level左B-模及引理2中2)知,

證明: 1) 因?yàn)镸1是Gorenstein AC-投射左A-模, 則有投射左A-模的正合列

2) 因?yàn)镸2是Gorenstein AC-投射左B-模, 故有投射左B-模的正合列

定義1[14]設(shè)X是左R-模, 令ld(X)=inf{n∈|存在左R-模的正合列 0→Ln→Ln-1→…→L1→L0→X→0, 使得對(duì)所有的i=0,1,…,n,Li是level左R-模}. 稱ld(X)為X的level維數(shù). 若這樣的n不存在, 則令ld(X)=∞.

證明: 充分性顯然成立.

0→HomR(P·,Ln)→…→HomR(P·,L0)→HomR(P·,G)→0.

又因?yàn)閷?duì)所有的i=0,1,…,n, HomR(P·,Li)正合. 再由文獻(xiàn)[15]中定理6.3知, HomR(P·,G)正合.

下面給出本文的主要結(jié)果.

其中

充分性. 因?yàn)棣誐:U?AM1→M2是單同態(tài), 所以有左T-模的正合列

由定理1可得以下推論.

1)M是Gorenstein AC-投射左T(R)-模;

2)M1,CokerφM是GorensteinAC-投射左R-模, 且φM是單同態(tài);

3)M2,CokerφM是Gorenstein AC-投射左R-模, 且φM是單同態(tài).