Fong特征標(biāo)與誘導(dǎo)源

常學(xué)武，張俊偉

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

0 引言

本文中只考慮有限群, 有關(guān)群論和復(fù)特征標(biāo)以及Brauer 特征標(biāo)的符號(hào)和術(shù)語(yǔ),分別按教材[1-3]. 眾所周知, 在有限群的表示理論中, 特征標(biāo)的誘導(dǎo)是非常重要的技術(shù), 因?yàn)樗峁┝藦淖尤旱奶卣鳂?biāo)出發(fā)研究大群的特征標(biāo)的一種自然途徑. 目前比較完善的誘導(dǎo)理論是所謂的Clifford誘導(dǎo), 即考慮正規(guī)子群及其上不可約特征標(biāo)所定義的Clifford對(duì)應(yīng)(復(fù)特征標(biāo)情形見文獻(xiàn)[2，定理6.11], Brauer特征標(biāo)情形見, 文獻(xiàn)[3，定理8.9].

為了推廣特征標(biāo)的Clifford對(duì)應(yīng), Dade在1985年提出了誘導(dǎo)源的概念.設(shè)G為群,S?G為G的子群,θ∈Irr(S)為S的一個(gè)不可約復(fù)特征標(biāo). 記Gθ為θ在G中的穩(wěn)定子, 亦即

Gθ={g∈G|Sg=S,θg=θ}={g∈NG(S)|θg=θ}

為θ在NG(S)中的慣性群.如果特征標(biāo)的誘導(dǎo)定義了一個(gè)雙射

Ind:Irr(Gθ|θ)→Irr(G|θ),ξ|→ξG.

Dade稱(S,θ)為G的一個(gè)誘導(dǎo)源, 稱該雙射為一個(gè)誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng), 并在文獻(xiàn)[4]中系統(tǒng)地研究了誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng), 獲得了幾個(gè)深刻結(jié)果. 2004年Isaacs和Lewis[5]深入考察了次正規(guī)誘導(dǎo)源, 并給出該情形下誘導(dǎo)源的一個(gè)判別條件. 關(guān)于Brauer特征標(biāo)的誘導(dǎo)源理論, 或一般地, 關(guān)于 Isaacs 的π-部分特征標(biāo)的誘導(dǎo)源理論, 也得到了研究. 2008 年 Lewis[6]證明了π-部分特征標(biāo)的一個(gè)誘導(dǎo)源判別定理, 并用之研究π-部分特征標(biāo)的提升等問題. 事實(shí)上, 誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)提供了一種嶄新的證明技術(shù), 被廣泛應(yīng)用到許多重要特征標(biāo)問題的研究中, 例如, 可見在文獻(xiàn)[7]中的主要結(jié)果.

另一方面, 1984年Isaacs[8]創(chuàng)立了π-部分特征標(biāo)理論, 就π-可分群而言, 統(tǒng)一了復(fù)特征標(biāo) (取π為所有素?cái)?shù)的集合)和p-可解群的Brauer特征標(biāo)理論(取π為素?cái)?shù)p的余p′). 具體概念和內(nèi)容可參考Isaacs在2018年出版的最新專著[9]. 如同Brauer特征標(biāo)理論, 在π-部分特征標(biāo)理論中, Fong特征標(biāo)也起著非常重要的作用, 并且研究Fong特征標(biāo)在誘導(dǎo)下的表現(xiàn)是一個(gè)很基礎(chǔ)的課題, 例如文獻(xiàn)[10,11]. 1986年Isaacs[12]詳細(xì)地考察了Fong特征標(biāo)的性質(zhì), 特別是證明了Fong特征標(biāo)在正規(guī)子群上不可約復(fù)特征標(biāo)提供的Clifford對(duì)應(yīng)下保持不變, 得到了所謂的Fong特征標(biāo)的Clifford對(duì)應(yīng)定理.該定理具有許多重要應(yīng)用, 方便起見, 我們重述如下, 相關(guān)符號(hào)和術(shù)語(yǔ)可見本文中下節(jié).

Isaacs 定理 設(shè)G為π-可分群,H∈Hallπ(G),N

1)θ(1)為π-數(shù).

2)Hθ∈Hallπ(Gθ).

則特征標(biāo)的誘導(dǎo)

Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)

為雙射. 并且對(duì)任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 該雙射把Fongμ(Hγ|γ)映為FongμG(H|γ).

本文中主要結(jié)果是把上述正規(guī)子群上的Fong特征標(biāo)的Clifford對(duì)應(yīng)定理, 推廣到誘導(dǎo)源情形, 研究誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)何時(shí)保持Fong特征標(biāo)不變, 證明了Fong特征標(biāo)的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)定理.具體內(nèi)容如下：

定理A設(shè)G為π-可分群,H∈Hallπ(G), 并且(S,θ)為G的一個(gè)Iπ-誘導(dǎo)源. 令J=H∩S和γ=θJ, 假設(shè)下述條件成立：

1)θ(1)為π-數(shù)且Hθ∈Hallπ(Gθ).

2)Hγ?NG(S).

3) (J,γ)為H的一個(gè)誘導(dǎo)源.

則特征標(biāo)的誘導(dǎo)Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)為雙射.并且對(duì)任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 該雙射把Fongμ(Hγ|γ)映為FongμG(H|γ).

在定理A中，取S=N為G的正規(guī)子群, 則條件2)和3)自動(dòng)滿足,故定理A推廣了上述Isaacs的Fong特征標(biāo)定理.

考慮Brauer特征標(biāo)的誘導(dǎo)源, 我們可得到類似的結(jié)果.

定理B設(shè)G為p-可解群,p為素?cái)?shù),H∈Hallp′(G), 并且(S,θ)為G的一個(gè)Brauer誘導(dǎo)源. 令J=H∩S和γ=θJ, 假設(shè)下述條件成立：

1)θ(1)為p′-數(shù)且Hθ∈Hallp′(Gθ).

2)Hγ?NG(S).

3) (J,γ)為H的一個(gè)誘導(dǎo)源.

則特征標(biāo)的誘導(dǎo)Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)為雙射. 并且對(duì)任意

μ∈IBr(Gθ|θ),

該雙射把Fongμ(Hγ|γ)映為FongμG(H|γ).

同樣地, 上述兩個(gè)定理中有關(guān)π-部分特征標(biāo)和 Brauer 特征標(biāo)的誘導(dǎo)源以及 Fong 特征標(biāo)對(duì)應(yīng), 相關(guān)的概念和符號(hào), 我們也將在下節(jié)給出具體含義.

1 預(yù)備知識(shí)

方便起見, 我們先給出π-部分特征標(biāo)的定義, 具體內(nèi)容和細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)[9]. 設(shè)G為π-可分群,π為一個(gè)素?cái)?shù)集合, 記G0為G的所有π-元素的集合. 如果χ為G的一個(gè)復(fù)特征標(biāo), 稱χ到G0的限制χ0為G的一個(gè)π-部分特征標(biāo). 如果χ0不能寫成兩個(gè)π-部分特征標(biāo)的和, 則稱χ0為不可約的π-部分特征標(biāo), 簡(jiǎn)稱為Iπ-特征標(biāo), 全體記為Iπ(G). 一個(gè)基本結(jié)果是：每個(gè)π-部分特征標(biāo)η均可唯一地寫成若干Iπ-特征標(biāo)φi的正整數(shù)系數(shù)的線性組合, 稱φi為η的不可約分量.

設(shè)H?G為G的子群, 則χ0在H上的限制定義為(χ0)H=(χH)0, 如果θ0為H的一個(gè)π-部分特征標(biāo), 其中θ為H的復(fù)特征標(biāo), 則θ0到G的誘導(dǎo)定義為(θ0)G=(θG)0. 不難看出π-部分特征標(biāo)到子群的限制以及從子群的誘導(dǎo)仍為π-部分特征標(biāo). 假設(shè)α∈Iπ(H)和η∈Iπ(G), 如果α是ηH的一個(gè)不可約分量, 則稱α在η下方, 或稱η在α上方.群G的所有在α上方的Iπ-特征標(biāo)的集合記為Iπ(G|α). 現(xiàn)在定義Fong特征標(biāo). 設(shè)H∈Hallπ(G)為G的一個(gè)Hallπ-子群, 任取φ∈Iπ(G), 稱φH的所有極小次數(shù)的不可約分量為H關(guān)于φ的Fong特征標(biāo), 全體記為Fongφ(H). 再令

其中成員稱為H在G中的Fong特征標(biāo).

方便起見, 我們把所需Fong特征標(biāo)的基本性質(zhì)摘錄如下, 見文獻(xiàn)[9，定理3.4].

引理1設(shè)G為π-可分群,H∈Hallπ(G)且φ∈Iπ(G).

1) 如果α∈Irr(H), 則α∈Fongφ(H)當(dāng)且僅當(dāng)α在φ下方, 并且α(1)=φ(1)π.

2) 如果α∈Fongφ(H), 則φ是G的在α上方唯一的Iπ-特征標(biāo), 即Iπ(G|α)={φ}.

下面是Iπ-特征標(biāo)的Clifford對(duì)應(yīng), 見文獻(xiàn)[9，定理5.11].

引理2設(shè)G為π-可分群,N?G, 并且θ∈Iπ(N),則Iπ-特征標(biāo)的誘導(dǎo)

Ind:Iπ(Gθ|θ)→Iπ(G|θ),ξ|→ξG

為雙射.

最后, 我們引入Iπ-特征標(biāo)的誘導(dǎo)源概念. 設(shè)G為π-可分群,H≤G且α∈Iπ(H). 如果Iπ-特征標(biāo)的誘導(dǎo)ξ|→ξG定義了一個(gè)雙射

Ind:Iπ(Gα|α)→Iπ(G|α),

則稱(H,α)為G的一個(gè)Iπ-誘導(dǎo)源, 該雙射稱為(H,α)定義的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng).

根據(jù)上述Iπ-特征標(biāo)的Clifford對(duì)應(yīng)可知, 只要N?G, 對(duì)任意θ∈Iπ(N), 則(N,θ)均為G的誘導(dǎo)源. 由此表明Iπ-特征標(biāo)的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)是其Clifford對(duì)應(yīng)的推廣. 值得指出的是, 取π為所有素?cái)?shù)的集合時(shí), 則Iπ(G)=Irr(G); 取π={p}′為素?cái)?shù)p的余集, 根據(jù)著名的Fong-Swan定理, 則不可約Brauer特征標(biāo)和Iπ-特征標(biāo)重合, 即Iπ(G)=IBr(G). 所以, 本節(jié)給出的關(guān)于Iπ-特征標(biāo)的誘導(dǎo)源定義及對(duì)應(yīng), 自然也包含了Brauer特征標(biāo)情形.

2 主要結(jié)果及證明

本節(jié)證明定理A. 事實(shí)上, 我們將證明下述結(jié)果, 給出了定理A的一個(gè)細(xì)化.

定理2.1設(shè)G為π-可分群,H∈Hallπ(G),并且(S,θ)為G的一個(gè)Iπ-誘導(dǎo)源.令J=H∩S和γ=θJ, 假設(shè)下述條件成立：

1)θ(1)為π-數(shù).

2)Hθ∈Hallπ(Gθ).

3)Hγ?NG(S).

4) (J,γ)為H的一個(gè)誘導(dǎo)源.

則(J,γ)定義的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)Ind:Irr(Hγ|γ)→Irr(H|γ)恰好給出其中Fong特征標(biāo)集合之間的雙射

Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ),

即下圖交換：

↑ ↑

進(jìn)而, 如果β∈Fongμ(Hγ|γ), 其中μ∈Iπ(Gθ), 則μ∈Iπ(Gθ|θ),βH∈FongμG(H|γ), 并且β|→βH定義了Fong特征標(biāo)集合之間的雙射

Ind:Fongμ(Hγ|γ)→FongμG(H|γ),

圖示如下：

Hall↑ Hall↑ Hall↑

定理2.1的證明驗(yàn)證γ不可約, 并且θ是γ上方唯一的Iπ-特征標(biāo). 因?yàn)闂l件1)和S?Gθ意味著θ具有π-次數(shù)且J=S∩Hγ為S的Hallπ-子群, 根據(jù)Iπ-特征標(biāo)的限制定理(詳見文獻(xiàn)[9，引理5.14]), 即知γ∈Irr(H), 并且Iπ(S|γ)={θ}.

驗(yàn)證Hγ=Hθ. 事實(shí)上, 按定義Hθ?H中的每個(gè)元素均固定S和θ, 從而也固定S∩H=J和θJ=γ, 表明Hθ?Hγ∩NG(S). 反之, 不難看出Hγ∩NG(S)中每個(gè)元素都固定J和γ以及S, 根據(jù)上段θ由γ唯一確定, 可知

Hγ∩NG(S)?Gθ∩H=Hθ,

由此即證Hθ=Hγ∩NG(S), 再?gòu)臈l件4)得到所需的Hγ=Hθ.

驗(yàn)證Fong特征標(biāo)誘導(dǎo)對(duì)應(yīng)Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)定義的合理性. 首先說明FongGθ(Hγ|γ)不能是空集. 事實(shí)上, 任取μ∈Iπ(Gθ|θ), 因?yàn)镾?Gθ且按定義θ是Gθ-不變的, 根據(jù)Iπ-特征標(biāo)的Clifford定理(文獻(xiàn)[9，推論5.7]), 可令ηS=eθ, 對(duì)某個(gè)正整數(shù)e. 但前述已證θJ=γ, 所以(ηHγ)J=ηJ=eγ, 表明ηHγ的每個(gè)不可約分量均在γ上方. 特別地, Fongμ(Hγ)中每個(gè)成員也都在γ上方, 故集合FongGθ(Hγ|γ) 非空.

任取β∈FongGθ(Hγ|γ),則存在某個(gè)μ∈Iπ(Gθ)使得β∈Fongμ(Hγ|γ), 此時(shí)μ在β上方, 而β在γ上方, 故μ也在γ上方. 因?yàn)镴?S?Gθ,存在某個(gè)θ′∈Iπ(S)在γ上方同時(shí)也在μ下方. 但第一段已證θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征標(biāo), 迫使θ′=θ, 即證μ在θ上方, 表明μ∈Iπ(Gθ|θ). 根據(jù)Iπ-誘導(dǎo)源(S,θ)所定義的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng),μG∈Iπ(G|θ).又因?yàn)棣蘂在μ上方, 從而也在β上方, 但βH∈Irr(H|γ), 故βH只能在μG下方. 再計(jì)算次數(shù)

βH(1)=|H:Hγ|β(1)=|G:Gθ|πμ(1)π=μG(1)π,

表明βH∈FongμG(H|γ)?FongG(H|γ),故所述Fong特征標(biāo)誘導(dǎo)對(duì)應(yīng)β|→βH是合理的 (或者說該誘導(dǎo)映射Ind是有定義的).

驗(yàn)證Fong特征標(biāo)誘導(dǎo)對(duì)應(yīng)為單射, 顯然FongGθ(Hγ|γ)?Irr(Hγ|γ)且FongG(H|γ)?Irr(H|γ), 故所述Fong特征標(biāo)誘導(dǎo)對(duì)應(yīng)恰為(J,γ)所定義的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)的限制, 故為單射.

驗(yàn)證Fong特征標(biāo)誘導(dǎo)對(duì)應(yīng)為滿射. 事實(shí)上, 任取α∈FongG(H|γ), 則存在某個(gè)φ∈Iπ(G)使得α∈Fongφ(H|γ). 此時(shí)φ在α上方, 而α在γ上方, 故φ也在γ上方. 又J?S?G, 故存在某個(gè)θ′∈Iπ(S)在γ上方, 同時(shí)也在φ下方. 仍從θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征標(biāo), 可知θ′=θ, 故φ在θ上方, 即φ∈Iπ(G|θ). 再?gòu)腎π-誘導(dǎo)源(S,θ)所定義的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)Ind:Iπ(Gθ|θ)→Iπ(G|θ),可令φ=μG, 對(duì)某個(gè)μ∈Iπ(Gθ|θ). 同理, 從Iπ-誘導(dǎo)源(J,γ)所定義的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)Ind:Irr(Hγ|γ)→Irr(H|γ), 亦可令α=βH, 對(duì)某個(gè)β∈Irr(Hγ|γ). 為證所述的滿射, 我們只需證明β為Hγ的一個(gè)關(guān)于μ的Fong特征標(biāo), 即β∈Fongμ(Hγ). 為此, 我們先計(jì)算次數(shù)β(1).因?yàn)棣潦顷P(guān)于φ的Fong特征標(biāo), 故α(1)=φ(1)π, 所以

|H:Hγ|β(1)=βH(1)=α(1)=φ(1)π=|G:Gθ|πμ(1)π,

注意到|H|=|G|π和|Hγ|=|Hθ|=|Gθ|π, 從而β(1)=μ(1)π. 其次, 我們需要證明β在μ下方. 顯然φ在α上方,α在β上方, 故φ必然在β上方.又因?yàn)镠γ?Gθ?G, 故存在某個(gè)μ′∈Iπ(Gθ)在φ下方, 同時(shí)也在β上方. 但此時(shí)從β在γ上方, 可推出μ′也在γ上方, 仍從θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征標(biāo), 可知μ′也在θ上方, 即μ′∈Iπ(Gθ|θ). 最后從(S,θ)的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng)得到μ′=μ, 即證β在μ下方, 從而β∈Fongμ(Hγ|γ), 故所述Fong特征標(biāo)對(duì)應(yīng)為滿射.

至此我們證明了H中的誘導(dǎo)源(J,γ)定義的誘導(dǎo)源對(duì)應(yīng), 可給出Fong特征標(biāo)誘導(dǎo)雙射Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ), 并且從上述證明過程可知該雙射可分塊為若干子集之間的雙射Ind:Fongμ(Hγ|γ)→FongμG(H|γ), 對(duì)任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 據(jù)此完成證明.

最后, 取π=p′為素?cái)?shù)p的余集, 按第1節(jié)的說明, 則Iπ(G)=IBr(G)為p-可解群G關(guān)于素?cái)?shù)p的不可約Brauer特征標(biāo)的集合, 故定理B為定理A的Brauer版本, 也是定理A 的直接推論.