循“長(zhǎng)短”，探“大小”

林秋宏

【摘 要】數(shù)學(xué)概念的建立，不應(yīng)是概念術(shù)語(yǔ)的機(jī)械記憶過(guò)程，而要基于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，注重意義構(gòu)建，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，注重遷移學(xué)習(xí)，建立知識(shí)之間的連接。本文以面積概念的教學(xué)為例，通過(guò)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)、激發(fā)經(jīng)驗(yàn)、操作理解、舉一反三，讓學(xué)生內(nèi)化面積概念本質(zhì)，初步形成幾何度量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 面積 本質(zhì)理解 遷移學(xué)習(xí) 結(jié)構(gòu)

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思考

“面積”單元是北師大版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。教材對(duì)“什么是面積”和“面積單位”安排了兩個(gè)課時(shí)的教學(xué)，第一課時(shí)主要是結(jié)合實(shí)例，認(rèn)識(shí)面積含義，通過(guò)比較長(zhǎng)方形與正方形面積的活動(dòng)，探索比較面積大小的方法;第二課時(shí)是認(rèn)識(shí)常用的面積單位，體會(huì)面積單位的實(shí)際大小。

如何通過(guò)起始課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對(duì)面積概念有更全面的認(rèn)識(shí)和本質(zhì)的理解呢？通過(guò)學(xué)情調(diào)研和教學(xué)實(shí)踐分析，基于單元整體教學(xué)理念，在教材整合和教學(xué)重構(gòu)方面，我們進(jìn)行了如下思考與嘗試。

（一）“度”“量”同行，理解本質(zhì)

面積屬于度量概念。度量對(duì)象、度量單位和度量值是度量概念的三大要素，度量對(duì)象決定了度量單位，有了度量單位，才能給度量對(duì)象賦予“數(shù)值”，“度”（標(biāo)準(zhǔn)）和“量”（測(cè)量）是緊密聯(lián)系不可分離的?；诖耍瑥母拍钫w上把握，面積單位理應(yīng)成為面積概念學(xué)習(xí)的重要組成部分，面積概念與面積單位放在第一課時(shí)里一起學(xué)習(xí)，更有利于學(xué)生感知面積單位的產(chǎn)生是對(duì)面積大小刻畫的需要，感受概念學(xué)習(xí)的全過(guò)程，建立對(duì)面積概念的整體認(rèn)知。

另外，學(xué)情調(diào)研顯示：學(xué)生學(xué)習(xí)面積概念的一大難點(diǎn)在于容易與之前的周長(zhǎng)概念混淆。實(shí)踐表明，盡早引入面積單位并讓學(xué)生進(jìn)行“面”的大小的測(cè)量體驗(yàn)，充分發(fā)揮先入為主的心理優(yōu)勢(shì)，是學(xué)生有效區(qū)分面積和周長(zhǎng)概念的重要方法與有效途徑。

（二）“線”“面”同行，形成結(jié)構(gòu)

長(zhǎng)度測(cè)量的學(xué)習(xí)為面積學(xué)習(xí)提供了重要的操作經(jīng)驗(yàn)和思維體驗(yàn)，但教材的安排對(duì)此沒(méi)有相關(guān)體現(xiàn)，缺少喚醒學(xué)生長(zhǎng)度學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的素材，學(xué)生對(duì)面積內(nèi)容的學(xué)習(xí)又要從“零”開始。在教學(xué)中，教師要充分利用學(xué)生學(xué)習(xí)長(zhǎng)度時(shí)形成的認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，遷移進(jìn)行面積方面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。如教師可通過(guò)長(zhǎng)度測(cè)量中長(zhǎng)度單位累加的過(guò)程，設(shè)計(jì)“測(cè)量線的長(zhǎng)短的工具是一段一段的短線（長(zhǎng)度單位），那測(cè)量‘面的大小的工具又應(yīng)該長(zhǎng)什么樣呢？”“你能結(jié)合長(zhǎng)度測(cè)量的過(guò)程，大膽想象：我們?cè)撊绾螠y(cè)量、表示‘面的大小嗎？”“長(zhǎng)度和面積的測(cè)量有什么不同，又有什么共同點(diǎn)？”等問(wèn)題，充分借助學(xué)生學(xué)習(xí)長(zhǎng)度時(shí)形成的認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生對(duì)“面”的大小測(cè)量的思考與想象，通過(guò)梳理長(zhǎng)度和面積知識(shí)的異同，初步形成幾何度量學(xué)習(xí)的一般過(guò)程和結(jié)構(gòu)框架。

（三）“扶”“放”同行，注重遷移

新課標(biāo)指出，動(dòng)手操作、自主探索和合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。本課中，面積單位等內(nèi)容屬于規(guī)定性知識(shí)內(nèi)容，在教學(xué)此內(nèi)容時(shí)，教師可采取靈活的學(xué)習(xí)方式，以其中一個(gè)面積單位，如以平方分米的學(xué)習(xí)為樣板，引領(lǐng)學(xué)生感悟面積單位的產(chǎn)生是為了表述面積大小的需要，再通過(guò)說(shuō)一說(shuō)、找一找、量一量等活動(dòng)，對(duì)該面積單位的大小形成正確表象。而對(duì)于其他面積單位的學(xué)習(xí)，教師則可讓學(xué)生借助“平方分米”的建構(gòu)方式進(jìn)行自主探索，“扶”“放”結(jié)合，為實(shí)現(xiàn)學(xué)生群學(xué)、自學(xué)、互學(xué)提供可能，從而促使學(xué)生達(dá)成對(duì)面積單位的完整認(rèn)知構(gòu)建。

基于以上思考，我們將本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)定位為：從度量角度理解面積及面積單位的意義，建立常用面積單位的表象，經(jīng)歷用“數(shù)的多少”表示“形的大小”的過(guò)程，初步形成學(xué)習(xí)“測(cè)量”問(wèn)題的認(rèn)知結(jié)構(gòu);通過(guò)觀察、對(duì)比、測(cè)量等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生估測(cè)面積的能力和空間觀念。教學(xué)重、難點(diǎn)則是引導(dǎo)學(xué)生理解面積含義，經(jīng)歷度量面積的全過(guò)程，體會(huì)面積的度量本質(zhì)。

二、課例重點(diǎn)環(huán)節(jié)、目標(biāo)與資源

“面積”單元教學(xué)的重點(diǎn)環(huán)節(jié)、目標(biāo)和學(xué)習(xí)資料（見(jiàn)下表）。

三、教學(xué)過(guò)程展開舉例

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，以“舊”引“新”

1.設(shè)疑導(dǎo)入，提出問(wèn)題

師：同學(xué)們，朋友送了老師一幅畫，你們覺(jué)得漂亮嗎？老師想把它裝裱起來(lái)，掛到家里，怎么裝裱呢？先配上一層玻璃，四周圍上膠條，這樣就完成了。（PPT演示）

師：裝裱這樣的一幅作品，準(zhǔn)備材料時(shí)，需要先了解哪些信息呢？

學(xué)生自主交流。

教師根據(jù)學(xué)生的回答板書：

問(wèn)題一：膠條需要多長(zhǎng)呢？

問(wèn)題二：“玻璃面”有多大呢？

2.長(zhǎng)度測(cè)量，激活度量經(jīng)驗(yàn)

師：哪個(gè)問(wèn)題是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的？我們可以怎么解決？

結(jié)合學(xué)生的回答，教師將“膠條”教具拉直貼出來(lái)（板書：線的長(zhǎng)短），并用1分米的紙條測(cè)量其長(zhǎng)度（板書結(jié)果：14個(gè)1分米）。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)創(chuàng)設(shè)裝裱作品中的問(wèn)題情境，引出“膠條需要多長(zhǎng)”和“‘玻璃面有多大”兩大問(wèn)題，一舊一新，著眼全局，讓新問(wèn)題自然地促進(jìn)新概念的學(xué)習(xí)。長(zhǎng)度測(cè)量的再現(xiàn)，讓學(xué)生體會(huì)到物體的長(zhǎng)度就是其包含長(zhǎng)度單位的數(shù)量，感受度量概念學(xué)習(xí)的三要素：對(duì)象、單位、度量值，并以此形成面積學(xué)習(xí)的思維框架，讓接下來(lái)的面積學(xué)習(xí)有跡可循。

環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}解決，測(cè)量“面”的大小

1.遷移想象，大膽猜測(cè)

出示：一塊玻璃。

師：“玻璃面”有多大呢？這是關(guān)于“面”的大小的問(wèn)題（板書：“面”的大?。！懊妗钡拇笮∧軠y(cè)量嗎？該怎么測(cè)量呢？

師：測(cè)量線的長(zhǎng)短，我們用了一段一段的短線進(jìn)行測(cè)量，用學(xué)生大膽猜測(cè)一下，測(cè)量“面”的大小，我們又該用什么工具呢？

生1：用尺子，把它的四條邊量出來(lái)，再加起來(lái)就是這個(gè)“面”的大小。

生2：我不同意，你那樣量出來(lái)的是它的周長(zhǎng)，也還是在量膠條的長(zhǎng)度，我們現(xiàn)在要測(cè)量的是“面”的大小（生摸一摸“玻璃面”）。

生3：我同意生2的說(shuō)法，尺子是用來(lái)測(cè)量線的長(zhǎng)短的，“面”是一大片一大片的，量“面”的大小應(yīng)該是一塊一塊的。

生4：測(cè)量線的長(zhǎng)短是用短的線，我覺(jué)得測(cè)量“面”的大小可以用小一點(diǎn)的“面”，如我們的“手掌面”。

……

2.小組活動(dòng)：用不同的工具量“面”的大小

師：大家的想法都很有意思！到底用什么工具來(lái)測(cè)量“面”的大小呢？我們不妨來(lái)親手量一量？

出示操作要求：

（1）想一想：可以借助什么東西測(cè)量“面”的大小？

（2）量一量：動(dòng)手量一量“玻璃面”有多大。

（3）說(shuō)一說(shuō)：“玻璃面”大約有（ ）個(gè) 的大小。

學(xué)生選擇用正方形學(xué)具（1平方分米）、小圓形、練習(xí)本、“手掌面”等進(jìn)行“面”的大小的測(cè)量。

3.展示作品，匯報(bào)交流

生分別反饋幾種方法測(cè)量的過(guò)程與結(jié)果，師結(jié)合學(xué)生的匯報(bào)填寫測(cè)量結(jié)果。

4.梳理小結(jié)，對(duì)比優(yōu)化

師：量“玻璃面”的大小，我們用了這么多種不同的方法，請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)自己的想法。

生1：我覺(jué)得用“手掌面”測(cè)量不太好，因?yàn)槊總€(gè)人的“手掌面”大小不同。

師：也就是說(shuō)，測(cè)量的工具大小要相同，對(duì)嗎？

生2：用練習(xí)本測(cè)量不太準(zhǔn)確，只能說(shuō)“玻璃面”大約有四本練習(xí)本封面的大小，因?yàn)橛械牡胤經(jīng)]有測(cè)量到。

生3：我覺(jué)得應(yīng)該選擇小正方形來(lái)測(cè)量比較好，因?yàn)橛谜叫蝸?lái)鋪，鋪得比較滿，沒(méi)什么空隙，這樣比較準(zhǔn)確。

師：雖然同學(xué)們選擇的測(cè)量工具都不相同，但都在努力做一件什么事情呢？

生：都想努力把“玻璃面”鋪滿，都想量出“玻璃面”的大小。

師：通過(guò)剛才的討論，你們更喜歡哪一種測(cè)量工具呢？

……

[設(shè)計(jì)意圖]本環(huán)節(jié)，學(xué)生在解決“‘玻璃面有多大”的問(wèn)題中，借助長(zhǎng)度的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)測(cè)量工具的想象與選擇、測(cè)量過(guò)程的操作、測(cè)量結(jié)果的表達(dá)，經(jīng)歷“小‘面量大‘面”的全過(guò)程，充分利用先入為主的心理優(yōu)勢(shì)，感受面積是“量”出來(lái)的，感悟以“數(shù)量”刻畫“大小”的面積測(cè)量本質(zhì)，達(dá)成對(duì)面積概念的初步建構(gòu)。

環(huán)節(jié)三：認(rèn)識(shí)面積單位，揭示面積含義

1.找一找：認(rèn)識(shí)1平方分米

師：同學(xué)們都很會(huì)思考。在學(xué)習(xí)面積的相關(guān)知識(shí)時(shí)，我們可以用這樣的正方形來(lái)測(cè)量“面”的大小。這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1分米，它的大小就是1平方分米。這樣的1平方分米就是我們用來(lái)量“面”的大小的單位。

師出示“1平方分米”的透明膠紙。

師：大約需要多少個(gè)這樣的1平方分米透明膠紙才能鋪滿這個(gè)“玻璃面”呢？

生：12個(gè)。

師板書12個(gè)1平方分米。

師：請(qǐng)同學(xué)們找一找，身邊哪些“面”的大小接近1平方分米？

生找到“開關(guān)盒面”“粉筆盒面”“手掌面”等。

2.量一量：借助1平方分米測(cè)量身邊物品“面”的大小

師：有了這樣的1平方分米，我們還可以測(cè)量身邊哪些“面”的大小呢？

學(xué)生分小組利用1平方分米學(xué)具測(cè)量身邊物品，如數(shù)學(xué)課本封面、“課桌面”和“隊(duì)徽火炬面”等的大小，并匯報(bào)。

生上臺(tái)擺一擺、說(shuō)一說(shuō)。

3.說(shuō)一說(shuō)：揭示面積的含義

師：我們用1平方分米的小正方形測(cè)量出了“玻璃面”的大小、“課桌面”的大小、數(shù)學(xué)課本封面的大小，我們測(cè)量出來(lái)的這些“面”大小的結(jié)果就是它們的面積。如我們用12個(gè)1平方分米的小正方形測(cè)量出“玻璃面”的大小，也就是“玻璃面”的面積是12平方分米。教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合身邊物品、課件舉例說(shuō)明。

4.認(rèn)一認(rèn)：認(rèn)識(shí)更多的面積單位

師：如果還用這樣的1平方分米來(lái)測(cè)量地面、“小樹葉面”的面積，你覺(jué)得怎么樣？

生：用1平方分米量“樹葉面”的面積太大了，量舞臺(tái)的面積又太小了。

師：也就是說(shuō)1平方分米不夠用了！同學(xué)們猜一猜，還有哪些面積單位呢？

生：我覺(jué)得面積單位還有平方米、平方厘米……

師：沒(méi)錯(cuò)！我們常見(jiàn)的面積單位有平方米和平方厘米。它們又分別有多大呢？這個(gè)任務(wù)就交給同學(xué)們來(lái)探索。你們可以像剛才學(xué)習(xí)“1平方分米”一樣，通過(guò)說(shuō)一說(shuō)、找一找、圍一圍、量一量的方法來(lái)認(rèn)識(shí)它們。

師：同學(xué)們可以先在小組內(nèi)自主交流對(duì)1平方米和1平方厘米的認(rèn)識(shí)，再小組匯報(bào)。

生1：我們小組對(duì)1平方厘米進(jìn)行了探究。我們發(fā)現(xiàn)1平方厘米和1平方分米的規(guī)定類似，邊長(zhǎng)1厘米的正方形的面積就是1平方厘米（生一邊說(shuō)一邊展示自己畫出來(lái)的“1平方厘米”）。

生2：我知道大拇指的指甲蓋、校服上紐扣的面積都大約是1平方厘米。

生3：平方厘米是比較小的面積單位，可以用它來(lái)測(cè)量比較小的“面”，如這個(gè)橡皮擦的“面”就大約是6平方厘米（生出示一塊橡皮擦）。

生4：邊長(zhǎng)是1米的正方形的面積就是1平方米。1平方米大概就這么大（小組4人手拉手圍出一個(gè)面積大致1平方米的正方形）。

生5：我聽爸媽說(shuō)，我家房子的面積大約是80平方米?，F(xiàn)在我知道，如果用1平方米的地磚來(lái)鋪家里的地面，大約需要80塊這樣的地磚。

……

[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生在優(yōu)化度量工具的過(guò)程中自然引出面積單位——平方分米，從而讓學(xué)生體會(huì)面積單位的產(chǎn)生是表達(dá)“面”的大小的需要，有效地將“度”和“量”建立聯(lián)系。反過(guò)來(lái)，利用這樣的1平方分米，我們還可以測(cè)量身邊哪些“面”的大小呢？由度量工具尋找更多的度量對(duì)象，借助大量例子，歸納梳理出面積概念的含義，不拘泥于文字的生硬表述。學(xué)生借助“平方分米”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，自主遷移學(xué)習(xí)其他面積單位，達(dá)成對(duì)面積概念、面積單位的整體構(gòu)建。

環(huán)節(jié)四：課堂小結(jié)，打通聯(lián)系

師：今天我們?cè)诮鉀Q“需要多長(zhǎng)的膠條”的問(wèn)題中復(fù)習(xí)了長(zhǎng)度的內(nèi)容，并在此基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)了面積，那么量長(zhǎng)度和量面積有什么不同？又有什么共同點(diǎn)呢？（出示PPT）

生1：長(zhǎng)度量的是線的長(zhǎng)短，面積量的是“面”的大小。

生2：它們的單位“長(zhǎng)”得不一樣，長(zhǎng)度單位是一段一段的，面積單位是一塊一塊的。

生3：我覺(jué)得測(cè)量都差不多，都是要用“單位”把它們擺滿。

……

師：就像大家說(shuō)的一樣，長(zhǎng)度和面積雖然看起來(lái)都不一樣，但它們都是屬于測(cè)量的問(wèn)題。測(cè)量時(shí)，我們都需要確定“量什么”，長(zhǎng)度“量”的是線的長(zhǎng)短，面積“量”的是“面”的大小。明確量什么后，就要“定標(biāo)準(zhǔn)”，測(cè)量長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)就要使用長(zhǎng)度單位，測(cè)量面積的標(biāo)準(zhǔn)就是我們今天認(rèn)識(shí)的這些面積單位。有了標(biāo)準(zhǔn)就可以測(cè)量了，測(cè)量后，就可以“數(shù)結(jié)果”，也就是測(cè)量結(jié)果用數(shù)出來(lái)的單位個(gè)數(shù)來(lái)表示。

師小結(jié)全課，梳理測(cè)量?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程：“量什么”—“定標(biāo)準(zhǔn)”—“數(shù)結(jié)果”，并板書。

[設(shè)計(jì)意圖]在小結(jié)環(huán)節(jié)，基于學(xué)生的交流，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思長(zhǎng)度、面積測(cè)量的學(xué)習(xí)體會(huì)：重溫明確研究問(wèn)題（量什么）、認(rèn)識(shí)測(cè)量單位（定標(biāo)準(zhǔn)）、得到測(cè)量結(jié)果（數(shù)結(jié)果）的學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助學(xué)生形成圖形測(cè)量的一般學(xué)習(xí)過(guò)程，形成相對(duì)穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、板書設(shè)計(jì)

五、課后反思

本節(jié)課教學(xué)，以理解面積概念的度量本質(zhì)為目標(biāo)，逆向設(shè)計(jì)，借助長(zhǎng)度測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，突破教材限制，大膽創(chuàng)新，注重關(guān)聯(lián)，有效地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)面積概念的深度理解。

（一）突破教材，有效整合

各版本教材對(duì)本課內(nèi)容的整體安排大同小異：第一課時(shí)先通過(guò)身邊實(shí)物表面大小的具體實(shí)例抽象出面積的描述性“定義”，讓學(xué)生模仿表述，理解概念，再通過(guò)探索比較面積大小的方法，初步滲透單位意識(shí);第二課時(shí)再全面介紹各種面積單位的相關(guān)內(nèi)容。

我們認(rèn)為：面積大小比較環(huán)節(jié)對(duì)于面積單位的產(chǎn)生能起到一定的啟發(fā)作用，但也容易讓學(xué)生陷入“比較面的大小”結(jié)果的爭(zhēng)辯和方法的對(duì)比中，弱化了對(duì)面積含義的本質(zhì)理解。因此，本課舍棄面積大小比較環(huán)節(jié)，將面積單位整合到本課時(shí)，“度”“量”同行，淡化概念文字表述，創(chuàng)造性地抓住面積的上位概念“度量”展開活動(dòng)探究和別開生面的面積概念教學(xué)，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的長(zhǎng)度測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)，理解面積的本質(zhì)，通過(guò)類比推理、意義想象，充分感知面積的本質(zhì)含義。

（二）注重關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)

張丹教授指出：“觀念統(tǒng)整”教學(xué)是基于數(shù)學(xué)大觀念的整體設(shè)計(jì)，目標(biāo)直指學(xué)生實(shí)現(xiàn)意義理解和自主遷移。本課教學(xué)中，在解決完“膠條的長(zhǎng)度”問(wèn)題后，教師放手讓學(xué)生借助已有測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，解決“‘玻璃面有多大”的新問(wèn)題，前聯(lián)后延、舉一反三、觸類旁通，引導(dǎo)學(xué)生梳理出學(xué)習(xí)“圖形測(cè)量”內(nèi)容的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即明確測(cè)量對(duì)象（量什么）、認(rèn)識(shí)測(cè)量單位（定標(biāo)準(zhǔn)）、表示測(cè)量結(jié)果（數(shù)結(jié)果），幫助學(xué)生感受圖形測(cè)量的數(shù)學(xué)本質(zhì)，以此為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)角度度量、體積度量提供相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)。從整體著眼，強(qiáng)調(diào)“結(jié)構(gòu)”的體驗(yàn)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更具“深度”。