基于結(jié)構(gòu)?整體著力

[摘要] 以喻平教授CPFS結(jié)構(gòu)為理論依據(jù)，整體設(shè)計(jì)一元一次不等式（組）的復(fù)習(xí)，在目標(biāo)引領(lǐng)下，“喚醒—應(yīng)用—綜合—引申—小結(jié)”等五環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，零散的知識在聚合中整體發(fā)力，在不等式域完善中應(yīng)用，在應(yīng)用中轉(zhuǎn)知成識，讓復(fù)習(xí)更富有價(jià)值。

[關(guān)鍵詞] 一元一次不等式（組）;復(fù)習(xí)設(shè)計(jì);CPFS結(jié)構(gòu);整體教學(xué)

一元一次不等式（組）是在七年級下冊（人教版）學(xué)過的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了新授課的學(xué)習(xí)，在后續(xù)函數(shù)、二次根式、一元二次方程等知識中也得到過初步的應(yīng)用，但總體而言還是零散的、粗淺的，沒有形成前后知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，沒有構(gòu)建學(xué)生良好的CPFS結(jié)構(gòu)。對初三的中考復(fù)習(xí)來說，有了兩年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，學(xué)生已具備了一定的學(xué)習(xí)能力與探索意識，不論是面對中考，還是面對自己的進(jìn)一步發(fā)展，對初中數(shù)學(xué)的總體把握也有了較為迫切的需要，這樣外力與內(nèi)在的共同作用力，加上喻平教授的CPFS結(jié)構(gòu)的宏觀引領(lǐng)，為課堂的成功奠定了理論基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)。

一、設(shè)計(jì)說明

（一）本復(fù)習(xí)課的理論支撐

喻平教授等提出：一個數(shù)學(xué)概念C的所有等價(jià)定義的圖式，叫作概念C的概念域。一組具有數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)的圖式叫作概念系。與命題A等價(jià)的命題集的圖式叫作命題A的命題域。在一個命題集中，其中任意一個命題都至少與其他某一個命題有“推出”關(guān)系，就稱這個命題集的圖式為一個命題系。概念域、概念系、命題域、命題系（記為CPFS結(jié)構(gòu)）是對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精確描述，它反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的心理現(xiàn)象和規(guī)律。CPFS結(jié)構(gòu)理論準(zhǔn)確地刻畫了數(shù)學(xué)知識在個體頭腦中的組織形式，它是一種優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而奧蘇伯爾認(rèn)為優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有助于遷移。故此可推知，學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)的形成是學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)的表征，是學(xué)生學(xué)力、思維力強(qiáng)的一種體現(xiàn)，它為復(fù)習(xí)教學(xué)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化思維路徑提供了理論上的依據(jù)。

（二）整體教學(xué)構(gòu)想

“任何知識總處于聯(lián)系之中，時間上處于歷史的聯(lián)系中，空間上處于結(jié)構(gòu)的聯(lián)系中?！绻處煱阉鶄魇诘闹R置入過程和聯(lián)系之中，課堂里的知識空間就自然形成了?！被谶@樣的認(rèn)識，本復(fù)習(xí)課以一個母題為基，以題喚知，通過題目的串并聯(lián)、優(yōu)化組合，把題目的潛能挖掘出來，充分發(fā)揮題目的喚醒與貫通作用，題盡所能，整個設(shè)計(jì)充分利用了母題資源，既減低了重復(fù)計(jì)算所帶來的外部認(rèn)知負(fù)荷，又貫通了知識的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯出數(shù)學(xué)之本質(zhì)。依次通過數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系、直接聯(lián)系（顯性聯(lián)系）和間接聯(lián)系（隱性聯(lián)系），讓學(xué)生既見樹木又見森林，意在促進(jìn)對知識的整體建構(gòu)。這種立足CPFS結(jié)構(gòu)下的系統(tǒng)統(tǒng)攝力的復(fù)習(xí)，將使得知識更具張力，更具應(yīng)用性和遷移力，在應(yīng)用中見證價(jià)值，在實(shí)踐中深化理論，進(jìn)一步感知不等式（組）復(fù)習(xí)的必要性、不可或缺性。

基于以上整體構(gòu)想和理論支撐，設(shè)計(jì)了本節(jié)復(fù)習(xí)課。

二、復(fù)習(xí)目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對“不等式與不等式組”目標(biāo)提出要求：結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì);能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式并能在數(shù)軸上表示出解集，會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集;能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題?；诖?，立足知識前后關(guān)聯(lián)的整體觀，基于課標(biāo)的定位，結(jié)合近年來全國各地中考試卷中關(guān)于不等式（組）題目的特點(diǎn)，確定如下復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）通過題組的喚醒與再現(xiàn)，梳理出本章的知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步掌握不等式的性質(zhì)，會運(yùn)用它熟練地解一元一次不等式（組），并能通過數(shù)軸表示其解集;（2）基于CPFS結(jié)構(gòu)理論，通過應(yīng)用題組展現(xiàn)不等式的廣泛應(yīng)用性，完善不等式的應(yīng)用域，增進(jìn)對不等式的積極體驗(yàn)，加深對其復(fù)習(xí)必要性的認(rèn)識;（3）認(rèn)識不等式與方程、函數(shù)等領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)，通過這種關(guān)聯(lián)加深對建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的認(rèn)識，進(jìn)一步落實(shí)化歸。

三、復(fù)習(xí)流程

環(huán)節(jié)1 喚醒中再現(xiàn)

（1）下列5個式子：①-3<0;②2x+5y>0;③x-2=0;④2（x+2）>3x;⑤≤-1;屬于

一元一次不等式的是______.（填序號）

若a>b，則：①a-2______ b-2;②2a?______? 2b;

③? ? ? ? ? ? ;④ ac2?______ bc2.（填不等號）

（2）解不等式⑤，并把解集表示在數(shù)軸上。

（3）解④、⑤組成的不等式組，并確定其整數(shù)解。

跟進(jìn)思考：同學(xué)們以（3）中的兩個不等式為基，還能改編出不同于（3）中的不等式組并求其解集嗎？

路徑預(yù)設(shè)：改換不等號方向即可改編為新題，進(jìn)而求其解集。

[設(shè)計(jì)意圖]設(shè)置具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的三個小題目是不等式知識體系中最基礎(chǔ)、最本質(zhì)的內(nèi)容，也是最重要、最核心的內(nèi)容，以此構(gòu)成了本專題復(fù)習(xí)的認(rèn)知起點(diǎn)。其中，不等式的基本性質(zhì)是不等式解法的基礎(chǔ)和依據(jù)，是不等式與不等式組的重要支撐。另外，在中考中相關(guān)不等式性質(zhì)本身的考查也時有出現(xiàn)，而不等式（組）的解法是本部分最基本、最核心的方法，是進(jìn)一步用之解答問題的基本保障。通過設(shè)計(jì)這三個簡單的小題，喚醒知識、梳理知識，通過學(xué)生的解答情況來落實(shí)以學(xué)定教，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供先手材料。

基于三個問題的順序性、關(guān)聯(lián)性，具體教學(xué)時，利用PPT，要把所設(shè)計(jì)的三個小問題依次呈現(xiàn)，而不可一次性直接呈現(xiàn)出來（若一次性呈現(xiàn)體現(xiàn)不出問題的生成性和遞進(jìn)性）。問題1是為了回顧一元一次不等式的概念及不等式性質(zhì);問題2是為了回顧解不等式的基本技能及解集的數(shù)形結(jié)合表達(dá);問題3指向不等式組的解法技能及其整數(shù)解問題，且問題2、3均選材于問題1這一母題，從經(jīng)濟(jì)、智能兩個角度充分利用了母題資源，使其具有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性。然后通過跟進(jìn)思考這一環(huán)節(jié)，使得不等式組解集的四種情形（取大、取小、取中間、無處?。┤陶宫F(xiàn)，形成知識的整體縮影。如此處理，既減少了重復(fù)解不等式，節(jié)省了復(fù)習(xí)時間（經(jīng)濟(jì)），又通過這種優(yōu)化的變式，調(diào)節(jié)學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣與熱情（智能）?？梢钥吹?，這些題目均基礎(chǔ)題，但基礎(chǔ)中孕育著創(chuàng)新，踐行了張奠宙教授“讓基礎(chǔ)富有靈性”的觀點(diǎn)。

環(huán)節(jié)2 應(yīng)用見關(guān)聯(lián)

（1）三角形三邊長分別為4，1-2a，7，則a的取值范圍是______ ? ?.

（2）二次根式在實(shí)數(shù)內(nèi)的取值范圍是______?.

（3）已知：在鈍角三角形中，一個銳角是另一個銳角的2倍，則較小的銳角的度數(shù)范圍是? ______ ?.

（4）點(diǎn)A（m，m-3）在第4象限，則m的取值范圍是______?.

（5）一次函數(shù)y=（m+2）x+1，若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是______?.

（6）若關(guān)于x的方程x2-4x+m=0沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______?.

（7）若拋物線y=（3-m）x2-4x+m的開口向下，則m的取值范圍是______.

（8）若直線y=（m-2）x+1與雙曲線 沒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是?______ ?.

（9）若拋物線y=ax2+2x+3與x軸有兩個公共點(diǎn)，則a的取值范圍是?______ ?.

[設(shè)計(jì)意圖]基于三角形的三邊關(guān)系、分式或根式的取值范圍、三角形三個角的制約關(guān)系、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的象限符號特征、一次函數(shù)的增減性、一元二次方程根的存在情況、拋物線的開口方向、圖像的公共點(diǎn)問題、拋物線與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)等問題設(shè)計(jì)了9道計(jì)算量相對較小的小題目，基本上把初中學(xué)段相關(guān)不等式（組）應(yīng)用的知識點(diǎn)來了個盤點(diǎn)，彰顯了不等式（組）的應(yīng)用價(jià)值，打通了不等式的縱橫關(guān)聯(lián)，將知識的學(xué)有所用、學(xué)有所值凸現(xiàn)出來，有利于不等式（組）“應(yīng)用域”的集成與完善。這類基于數(shù)學(xué)內(nèi)部單項(xiàng)關(guān)聯(lián)的題組，既體現(xiàn)了不等式在數(shù)學(xué)內(nèi)部的廣泛應(yīng)用，又喚醒了鄰近知識，加固了知識的整體化體系。

教學(xué)時可以利用PPT一次性呈現(xiàn)出來，以中等生完成為節(jié)點(diǎn)進(jìn)行不等式應(yīng)用范疇的梳理，安排學(xué)優(yōu)生在提前完成填空的基礎(chǔ)上幫扶學(xué)困生;通過先行梳理這一數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生想一想，初中學(xué)段還有哪些領(lǐng)域會用到不等式（組）。如此兼顧多個層級，力爭實(shí)現(xiàn)每個人在各自基礎(chǔ)上的不同提高。

環(huán)節(jié)3 綜合中聯(lián)通

如右圖，直線l1：y=2x+1與直線l2：y=mx+4相交于點(diǎn)P（1，b）.

（1）求b，m的值.

（2）寫出不等式2x+1

（3）垂直于x軸的直線x=a與直線l1、l2分別相交于C、D，若線段CD長為2，求a的值.

[設(shè)計(jì)意圖]這是一道把方程、不等式、函數(shù)鏈接在一起，打通其內(nèi)在關(guān)聯(lián)的小綜合題目，它以數(shù)形結(jié)合的形態(tài)，系列呈現(xiàn)，有機(jī)地融合在一起，見證了不等式在代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的結(jié)構(gòu)體系，是對環(huán)節(jié)2的一種綜合性體現(xiàn)，也是基于復(fù)習(xí)的整體性、關(guān)聯(lián)性開發(fā)而設(shè)計(jì)的。其中的（1）是在函數(shù)圖像的背景下，以公共點(diǎn)為依托，連通共同點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解，通過解一次方程確定出兩個待定字母;問題2是借助幾何直觀，直接觀察出不等式的解集，是數(shù)形結(jié)合思想的展現(xiàn)，當(dāng)然也可以通過解不等式組去完成，但如此就走了個彎路;問題3是以函數(shù)為載體，通過特殊狀態(tài)下兩點(diǎn)之間的距離構(gòu)造出絕對值方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程而獲解。

教學(xué)時，可以先行展示圖片，讓學(xué)生觀察并提問：能得出什么結(jié)論？以此圖像能具體確定什么？題目的問題會怎樣設(shè)計(jì)？然后再呈現(xiàn)題干條件，依次把三個問題擺出來。這樣學(xué)生會在比對自己設(shè)定的問題中獲得自信或形成新的認(rèn)識，感覺中考題無非如此。接下來讓學(xué)生先嘗試解答，再通過同位交流、小組交流、全班交流等不同形式完成這一題目的教學(xué)，讓學(xué)生進(jìn)一步體悟到方程、不等式、函數(shù)的聯(lián)系，促進(jìn)大整體觀的形成。

環(huán)節(jié)4 引申中拓展

（1）用三個不等式a>b，ab>0，<中的兩個

不等式作為題設(shè)，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，組成真命題的個數(shù)為（ ）.

（A）0（B）1 （C）2（D）3

教學(xué)說明：本題取自2019年北京市中考題，是對不等式性質(zhì)2的改造。根據(jù)不等式性質(zhì)2：若a>b，c>

0，則ac>bc（或>）。以上試題把其中的“c”替換成了“ab”，那么不等式>自然變成了>，

簡化得 > ，即<。這樣，題設(shè)中的三個不等式

顯現(xiàn)出來。但本題并未如此進(jìn)行直接考查，而是把兩個條件和一個結(jié)論的三個不等式平行給出，然后以兩個不等式作為題設(shè)，余下的不等式作結(jié)論重組命題，并判斷命題的真?zhèn)?，這就增大了題目的挑戰(zhàn)性和可變性，成為一道根植教材的創(chuàng)新題。通過本題能夠進(jìn)一步提升對不等式性質(zhì)的理解，以及多視角、辟蹊徑的聯(lián)想意識。當(dāng)然，不管用什么方法解題，首先要構(gòu)造命題：

①若a>b，ab>0，則<;

②若ab>0，<，則a>b;

③若a>b，<，則ab>0.

預(yù)設(shè)法一：用不等式性質(zhì)，這應(yīng)該是最容易想到的思路。

預(yù)設(shè)法二：作差比較法。這也是解不等式問題常用的方法。

預(yù)設(shè)法三：構(gòu)造函數(shù)。借助外觀特征<，若有

構(gòu)造函數(shù)的意識，其實(shí)不難聯(lián)想到反比例函數(shù)y=，當(dāng)

自變量的值分別a、b時，對應(yīng)的函數(shù)值即為、。如此，

它們的大小自然和函數(shù)的增減變化趨勢掛起鉤來。

（2）若關(guān)于x的不等式組有解，求a

的取值范圍;若無解呢？若只有兩個整數(shù)解呢？

[設(shè)計(jì)意圖]本題反其道而行之，不是給出具體不等式組去求解（集），而是知道有解、無解、有怎樣的解，欲反求待定字母的取值或取值范圍。這種逆向問題，挑戰(zhàn)的是學(xué)生的逆向思維，指向的是深度學(xué)習(xí)、深度思維。本題從構(gòu)成上，仍然充分利用了母題中的不等式④和⑤，把④中不等式左端的x變?yōu)榇ㄗ帜竌，不等式⑤不變，兩個不等式結(jié)合而成含待定字母的不等式組，然后就可以遞次設(shè)計(jì)出三個問題，其中“有解”與“無解”是互補(bǔ)的，有解解決了，無解隨之而定;而“只有兩個整數(shù)解”對學(xué)生頗有沖擊力，是個難點(diǎn)，在此集中體現(xiàn)意在循階而上，處理起來相對順暢，能充分利用已經(jīng)啟動起來的思維和解題資源，體現(xiàn)了有關(guān)不等式求解的整體性。

具體教學(xué)時，首先鼓勵學(xué)生嘗試解答，在發(fā)現(xiàn)共性問題時再組織交流，其中可以借力于數(shù)軸工具去探索，以感知數(shù)形結(jié)合的魅力。本拓展環(huán)節(jié)的兩個問題，從深度學(xué)習(xí)的定調(diào)出發(fā)，把不等式性質(zhì)的應(yīng)用及不等式解集問題引向深入，一個發(fā)散思維、一個逆向思維，均是創(chuàng)新思維的踐行，核心素養(yǎng)嵌于其中?！耙I(lǐng)學(xué)生思維生成、思辨、歸納、延伸，開拓思維角度，提升思維高度，挖掘思維深度，開拓思維寬度，優(yōu)化思維品質(zhì)，讓教學(xué)實(shí)踐成為思維活動的再現(xiàn)，讓知識成為思維活動的結(jié)果”，整個環(huán)節(jié)注重基本知識的理解、基本思想本質(zhì)的挖掘、變式應(yīng)用的把握，呈現(xiàn)出深度思維的復(fù)習(xí)課樣態(tài)。

環(huán)節(jié)5 小結(jié)筑結(jié)構(gòu)

通過前面四個教學(xué)環(huán)節(jié)，漸次生長形成以上內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生構(gòu)筑各自的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步完善其不等式應(yīng)用域的CPFS結(jié)構(gòu)體系，以增強(qiáng)知識整體化所產(chǎn)生的“造血功能”。

四、結(jié)語

借力喻平教授的CPFS結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了“再現(xiàn)—應(yīng)用—綜合—引申—小結(jié)”五個教學(xué)環(huán)節(jié)，意在形成不等式（組）應(yīng)用域體系。這樣復(fù)習(xí)，使得原本零散的知識聚合在了一起，變“惰性知識”為活性知識，成為具有良好遷移力的知識。實(shí)踐見證了筆者的認(rèn)識，收獲了優(yōu)質(zhì)的復(fù)習(xí)效果。需要說明的是，為了突出不等式在數(shù)學(xué)內(nèi)部應(yīng)用的本體結(jié)構(gòu)，本設(shè)計(jì)沒有涉及不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，建議把它與方程、函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用結(jié)合起來，更能體現(xiàn)常量模型和變量模型的關(guān)聯(lián)性。

[本文系山東省教育教學(xué)研究重點(diǎn)課題“基于初中數(shù)學(xué)課程整合的單元教學(xué)案例研究”（項(xiàng)目編號：2020JXZ026）階段性研究成果]

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邢成云? ?山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部，正高級教師，山東省特級教師?！叭f人計(jì)劃”全國教學(xué)名師，全國首期名師領(lǐng)航工程人選，山東省優(yōu)秀教師，山東省有突出貢獻(xiàn)的中青年專家。