由一道題談解答解析幾何中夾角問題的思路

朱靜 肖潤(rùn)軍

解析幾何是高考中的重要考點(diǎn).解析幾何問題的命題方式有很多，如判斷直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系、求曲線的離心率、求參數(shù)的取值范圍、求夾角的取值范圍等.其中求夾角的取值范圍或證明夾角相等問題主要考查網(wǎng)錐曲線的定義、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線的斜率、傾斜角以及直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系，屬于綜合性較強(qiáng)的問題.本文以2021年八省聯(lián)考試題巾的一道解析幾何問題為例，著重探討解答解析幾何中夾角問題的思路.

例題：如圖，雙曲線

a>0，b>o）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在C上.當(dāng)BF⊥AF時(shí).IAFI= IBFI.

（l）求C的離心率;

（2）若B在第一象限，證明：∠BFA= 2∠BAF.

分析：第一個(gè)問題較為簡(jiǎn)單，我們只需根據(jù)雙曲線的方程分別求出A、F、B的坐標(biāo)以及IAFI、IBFI，建立（a、b、c的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線中關(guān)于a、b、c的關(guān)系式b2= C2一a2以及離心率公式e=

，便可求得曲線C的離心率.本文主要探討第二個(gè)問題.由圖可知，△ABF為焦點(diǎn)三角形，而∠BFA、∠BAF成二倍關(guān)系，因此解答本題的思路有很多，如利用直線的斜率公式、平面向量的數(shù)量積公式、正余弦定理、三角形的角平分線的性質(zhì)與定理、圓錐曲線的參數(shù)方程等求解.

思路一：利用直線的斜率公式

對(duì)于圓錐曲線巾的夾角問題，我們首先會(huì)想到運(yùn)用直線的斜率公式進(jìn)行求解.在解題時(shí)，需先分別求出構(gòu)成夾角的兩條直線上的點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用直線的斜率公式分別求出各條直線的斜率，再利用公式k=lana求出a，即傾斜角的值.

證明：由題意知，A（-a，0），F(xiàn)（c，0），設(shè)曲線C上動(dòng)點(diǎn)B（x1，Y1）（X1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

貝y1 2= 3（X2一a2），|FB|= 2x1-a，

當(dāng)BF⊥AF時(shí)，∠BFA= 2∠BAF= 90°，

當(dāng)BF， AF不垂直時(shí)，tan ∠BAF

又∠_BAF，∠BFA為△ABF的內(nèi)角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

在運(yùn)用直線的斜率公式解題時(shí)，要注意討論斜率存在與不存在，即傾斜角為90°和不為90°的情況.運(yùn)用分類討論思想能有效地幫助我們理清解題的思路，提高解題的正確率.

思路二：利用平面向量的數(shù)量積公式

平面向量的數(shù)量積公式為a ·b=|a||b|cos θ，將該公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃渭纯傻玫絻蓚€(gè)向量a、b的夾角cosθ=

若a=（x1.y1），b=（x2，y2），θ=，則cosθ

在求解圓錐曲線的夾角問題時(shí)，我們可以首先給夾角兩邊的線段賦予方向，求出其向量或向量坐標(biāo)，然后利用平面向量的數(shù)量積公式來求其夾角.

證明：由題意知，A（-a，0），F(xiàn)（c，0），設(shè)曲線C上動(dòng)點(diǎn)B（x1，y1）（x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

貝Y1 2= 3（X2一a2），|FB|= 2x1-a，

AB2=（x1+ a）2 +y2= 4xl+ 2ax1一2a2，

則

所以∠BFA= 2∠BAF. 這里由夾角聯(lián)想到平面向量的數(shù)量積公式，在求出各個(gè)向量的坐標(biāo)后，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積公式求得∠BAF、∠BFA的表達(dá)式，借助余弦的二倍角公式證明結(jié)論.

思路三：利用正余弦定理

正余弦定理是解答三角形問題的重要工具.在求解圓錐曲線的夾角問題時(shí)，我們要首先要構(gòu)造三角形，求出三角形的兩條邊和一個(gè)角，然后運(yùn)用正弦定理

求出所求角的大小;或者求出三角形的三條邊，然后運(yùn)用余弦定理a2= b2+ C2—2bccosA、b2=a2+ C2-2acCosB、C2= a2+62—2abcos C來求其夾角.

證明：由題意知，A（-a，0），F(xiàn)（c，0），設(shè)曲線C上動(dòng)點(diǎn)B（x1，Y1）（X1>a），

由（1）知

即c=2a，則y12= 3（x1 2 - a2），|FB| =2x， -a，AB2=（x1+ a）2 +y12= 4x1+ 2ax1 - 2a2，

在△ABF中，由正弦定理知

sin∠BFA：AB：

sin ∠BAF

又因?yàn)椤螧AF，∠BFA為△ABF的內(nèi)角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

解答本題需首先求出AB、F以及cos∠BAF的表達(dá)式，然后借助正弦定理以及二倍角公式來證明結(jié)論.

思路四：利用三角形的角平分線的性質(zhì)與定理

三角形的角平分線的性質(zhì)是：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.常用的三角形的角平分線定理是：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.當(dāng)題目中出現(xiàn)某個(gè)角的半角或者二倍角時(shí)，我們可以作出三角形的角平分線，尋找角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離、平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)的比例，然后利用三角形的角平行線的性質(zhì)、定理來解題.

證明：作∠BFA的角平分線FC，交AB于點(diǎn)C，

由三角形的角平分線定理知

所以BC=，

由題意知A（-a，0），F(xiàn)（c，0），設(shè)曲線C上動(dòng)點(diǎn)B（x1，y1）（x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

則y1 2= 3（x1 2- a2），|FB|= 2x1-a，

AB2 =（x1+ a）2 +y1 2= 4x1+ 2ax， - 2a2，

所以FB2_BC.AB=FB.

故FB2 =BC·AB，

因?yàn)椤螰BC= ∠ABF，所以AFBC∽AABF，

所以∠AAF= ∠BFC=

∠BFA，即∠BFA= 2∠BAF.

運(yùn)用此方法解題要求同學(xué)們熟練掌握三角形的角平分線定理及相似三角形的知識(shí).

思路五：利用圓錐曲線的參數(shù)方程

每個(gè)曲線都有與其對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程，如過點(diǎn)M（X0，y0），傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程為參數(shù)方程為

（Φ為參數(shù)）;雙曲線的參數(shù)方程為

（Φ為參數(shù)）;等等.在求解圓錐曲線的夾角問題時(shí)，我們可以用曲線的參數(shù)方程將曲線上的點(diǎn)表示出來，再將其代入直線的斜率公式中進(jìn)行求解、化簡(jiǎn)，便能快速求出夾角.

證明：由題意知A（-a，0），F(xiàn)（c，0），設(shè)曲線C上動(dòng)點(diǎn)B（x1，y1）x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，b=，

設(shè)曲線c上動(dòng)點(diǎn)B

= tan ∠BFA，

又因?yàn)椤螧AF，∠BFA為△ABF的內(nèi)角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

運(yùn)用圓錐曲線的參數(shù)方程解題，要求同學(xué)們熟練掌握?qǐng)A錐曲線的參數(shù)方程及三角恒等變換的技巧.在解題時(shí)，同學(xué)們要注意討論參數(shù)的取值范圍.因?yàn)閰?shù)的取值直接影響著曲線的方程以及夾角的取值.

圓錐曲線中的夾角問題較為復(fù)雜，但是我們?nèi)绻麖牟煌慕嵌冗M(jìn)行思考、聯(lián)想，就可以找到多種不同的解題思路.在解答網(wǎng)錐曲線巾的夾角問題時(shí)，同學(xué)們要注意運(yùn)用發(fā)散思維展開聯(lián)想，將向量、平面幾何、解析幾何、解三角形等知識(shí)融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，這樣才能有效地優(yōu)化解題的方案.

（作者單位：湖南省懷化市鐵路第一中學(xué)）