與三次函數(shù)相關(guān)的結(jié)論及其證明

高斌

三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一類(lèi)函數(shù)，很多高次函數(shù)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化成三次函數(shù)問(wèn)題，這就要求我們熟練掌握三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，深入研究三次函數(shù)的解析式、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)中心、極值、最值、切線(xiàn)等知識(shí)，總結(jié)一些與三次函數(shù)相關(guān)的結(jié)論.

結(jié)論1.三次函數(shù)f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）是中心對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心仍在該曲線(xiàn)上，且其坐標(biāo)為（

），此點(diǎn)的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn).

證法一：假設(shè)三次函數(shù)f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱(chēng)，

其充要條件是對(duì)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)X∈R，都有f（m -x） +f（m +x）= 2n，

即[a（m - X）3+ b（m - X）2+ c（m -x）+d]+ [a（m+x）3+6（m+x）2+c（m+x）+d]=2n，

整理得（6ma+ 2b）X2+ （2am3+ 2bm2+ 2mc+ 2d）=2n，

對(duì)應(yīng)系數(shù)可得m=-

且，n=am3+ bm2 +cm+ d=d-

，

由，n=f（m）知其對(duì)稱(chēng)中心（

）仍然在曲線(xiàn)上，

所以三次函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)，且對(duì)稱(chēng)中心為（

）.

證法二：f（x）= ax3+ bx2 +.x+ d= a（x+

）3+（c-

）+

+d，

令函數(shù)

= ax3+（c-

）x，

則函數(shù)h（x）是奇函數(shù)，其圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（0，0），

故函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（

+d），且該點(diǎn)（

）在三次函數(shù)曲線(xiàn)上.

證法三：設(shè)-m，n∈R使y=f（x+ m） -n是奇函數(shù)，

則f（-x+m）-n=-[f（x+ m） -n]，

化簡(jiǎn)得（3ma+ b）X2 +am3+ bm2 +cm +d=0，

則3ma+6=O.n= am3+ bm2+ cm+d，即m=，

）.

故函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（

），且在三次函數(shù)曲線(xiàn)上.

證法四：f（x）= 3ax2 +2bx +c圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

，

所以f（x）=f'（

），

故

∈R，f（x）=-f（

）+c，則當(dāng)x=-時(shí)，有2f（

）=C，

所以f（x）+f（

）=2f（

），

所以函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（

），且在三次函數(shù)曲線(xiàn)上.

證法五：f（x）= 3ax2+ 2bx+c=3a（x+

）2+

，

所以y=f（x）圖象上切線(xiàn)斜率的最小值為

≤f（x），不妨設(shè)3a>0，

二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，

）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）的圖象在（-∞，-

）上是上凸的;

二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（

+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）的圖象在（

，+∞）上是下凸的.

故導(dǎo)數(shù)的最小值點(diǎn)（

）是函數(shù)f（x）的拐點(diǎn)（橫坐標(biāo)為f（x）=0的根且隨著函數(shù)圖象的凹凸性改變），即為函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心.

該性質(zhì)還可以運(yùn)用待定系數(shù)法、配方法、構(gòu)造法、積分法、微分法等來(lái)證明，同理可證明三次函數(shù)不是軸對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn).

結(jié)論2.當(dāng)b2—3ac≤0時(shí)，三次函數(shù)y=ax3+bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上是單調(diào)函數(shù);當(dāng)b2-3ac>0時(shí)，三次函數(shù)y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

證明：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f'（x）= 3ax2+ 2bx+ c（a≠O），該導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，則△= 4b2 - 12ac=4（62- 3ac1，

當(dāng)62—3ac≤0時(shí)，△≤0，此時(shí)f（x）≤0，三次函數(shù)y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上是單調(diào)函數(shù);

當(dāng)b2—3ac>0時(shí)，△>0，方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)根，三次函數(shù)y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

運(yùn)用該結(jié)淪，我們可以直接判斷出三次函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

結(jié)論3.當(dāng)62—3ac≤0時(shí)，三次函數(shù)f（x）= ax3+bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上不存在極值點(diǎn);當(dāng)b2—3ac>0時(shí)，三次函數(shù)f（X）= ax3+ bx2 +cx+d（a≠0）在x∈R上有兩個(gè)極值點(diǎn).

證明：（1）當(dāng)62—3ac≤0時(shí)，由于不等式f'（x）≥0恒成立，三次函數(shù)在x∈R上是單調(diào)函數(shù)，所以原方程僅有一個(gè)實(shí)根;

（2）當(dāng)62—3ac>0時(shí)，由于方程f'（x）=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，不妨設(shè)x10可知，（x1，f（x1））為函數(shù)的極大值點(diǎn)，（x2，f（x2））為極小值點(diǎn)，且函數(shù)y=f（x）在（-∞，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減.

①若f（x1）·f（x2）>0，則函數(shù)y=f（x）極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在x軸的同側(cè)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方程f'（x）=0有且只有一個(gè)實(shí)根;

②若f （x1）·f（x2）<0，則函數(shù)y=f（x）極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在x軸異側(cè)，圖象與x軸必有三個(gè)交點(diǎn)，所以原方程f'（x）=0有三個(gè)不相等的實(shí)根;

③若f（x1）·f（x2）=0，則f（x1）與f（x2）中有且只有一個(gè)值為0，所以原方程有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等（即有兩個(gè)不相等的實(shí)根）.

我們可以繪制出如下的表格.

結(jié)論4.若函數(shù)f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0），x∈[m，n]，x。∈[m，n]，當(dāng)f'（x0）=0時(shí)，fmax（x）=max{f（m），f（x0），f（n）}，fmax（x）= min{f（m），f（x0），f（n）}.

例1.已知函數(shù)f（X） =X3+ bx2+ cx十d，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）.

A.

∈R，f（xa）=0

B.函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形

C.若xa是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在（-∞，xa）上單調(diào)遞減

D.若x。是.f（x）的極值點(diǎn)，則f'（x。）=o

解析：由三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知，A、B正確;

若f（x）有極小值點(diǎn)，則f'（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（ x1

我們直接利用了結(jié)論l、3，便能快速得出正確答案.

例2.已知函數(shù)f（X） =X3一3x -l，若直線(xiàn)y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.

解析：由已知得f'（x）=3x2—3，由f'（x）=0解得xl= -l，x2=1.

由f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x=-1處取得極大值l，在x=l處取得極小值-3.

因?yàn)橹本€(xiàn)y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以m的取值范圍是（-3，1）.

要畫(huà)出該三次函數(shù)的圖象比較困難，我們可利用結(jié)論3求出函數(shù)的極大值和極小值，進(jìn)而求得m的取值范圍.

結(jié)論5.（l）設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)f（x）= ax3+ bx2+cx+ d（a≠0）圖象上任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線(xiàn)與y=f（x）的圖象相切;

（2）若點(diǎn)P為三次函數(shù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切線(xiàn);若點(diǎn)P不是三次函數(shù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，則過(guò)點(diǎn)P有兩條切線(xiàn).

（3）設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠O）曲線(xiàn)外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P-定有直線(xiàn)與y=f（x）圖象相切，可能有一條、兩條或三條切線(xiàn)，

例3.已知函數(shù)f（X） =X3-2x，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程：

（l）在點(diǎn)（0，0）處的切線(xiàn)方程;（2）過(guò)點(diǎn)（0，0）的切線(xiàn)方程;（3）在點(diǎn)（1，-1）的切線(xiàn)方程;（4）過(guò)點(diǎn)（1，-l）的切線(xiàn)方程;（5）過(guò)點(diǎn)（1，

）的切線(xiàn)方程.

解：（1） y=-2x.（2） y=-2x.（3） y=x-2.

（4）y=x-2或y=

（5）y=

或y=

或y=

.

解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)結(jié)論5判斷三次函數(shù)的切線(xiàn)的條數(shù)，然后根據(jù)其切點(diǎn)的位置求出切線(xiàn)的方程.

結(jié)論6.在三次函數(shù)曲線(xiàn)上存在惟一的一點(diǎn)，使曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn)，且此點(diǎn)為三次曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心.

證明：設(shè)P（x0，y0）是曲線(xiàn)f（x）=ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上任意的一點(diǎn)，

則曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率k =f'（xn），切線(xiàn)方程為：y-y0=f（x0）（x-x0），

消去y，Yo得ax3+ bx2 +（2bx。一3axn2）x+ 2ax03+ bx02=0，

整理得（x-xn）2（ax+ 2ax0+b）=0，（*）

則切線(xiàn)與曲線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn)

方程（*）有三個(gè)相等的實(shí)根

，

所以點(diǎn)（

）就是三次函數(shù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，且在該曲線(xiàn)上.

故點(diǎn)P唯一確定，且恰好為曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，命題得證.

為了證明結(jié)論6，這里運(yùn)用結(jié)論l和結(jié)論5.

結(jié)論7.若三次函數(shù)曲線(xiàn)上存在極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，則極值點(diǎn)連線(xiàn)段的中點(diǎn)也在三次曲線(xiàn)上，且此中點(diǎn)為三次函數(shù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)巾心.

證明：若三次函數(shù)曲線(xiàn)f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上存在極值點(diǎn)，

則方程f'（x）= 3ax2+ 2bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即△=4（b2—3ac）>0，

解得x1=，

則

，

由結(jié)論3可知三次函數(shù)曲線(xiàn)上的兩個(gè)極值點(diǎn)為A（x1 ，f（X1）），B（X2，f （X2）），

它們的中點(diǎn)恰是三次函數(shù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心（

），且在曲線(xiàn)上，結(jié)論得證.

結(jié)論8.過(guò)三次函數(shù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)巾心且與該三次函數(shù)曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)有且僅有一條;而過(guò)三次曲線(xiàn)上除對(duì)稱(chēng)中心外的任意一點(diǎn)與該三次曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)有兩條.

證明：若P（x1，Y1）是三次曲線(xiàn)f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上的任意一點(diǎn)，

設(shè)過(guò)P的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f（x）相切于點(diǎn)（x0，y0），則切線(xiàn)方程為y—y0=f'（x0）（x-x0），

因?yàn)辄c(diǎn)P上此切線(xiàn)上，則Y1 -Y0=f'（x0）（x1-x0），

又Y0= aX03+ bx02+ cxo+d0yl=ax13+ bx12+ cxl+矗，

則 ax1 3+ bx1 2+ cx l+d- （ax03+ bx02+ cxo+d

= （3ax02 +2bxo+ c）（x1 - x0），

化簡(jiǎn)得（x1-x0）2（ax1+ 2ax0+b）=0，

解得：x0=x1 或x0=

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P是三次函數(shù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，即x1=

時(shí)，x0。=

此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解x0，則過(guò)點(diǎn)P作曲線(xiàn)的切線(xiàn)切點(diǎn)是唯一的，故只有一條切線(xiàn);

當(dāng)點(diǎn)P不是三次函數(shù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，即當(dāng)

時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則過(guò)點(diǎn)P作曲線(xiàn)的切線(xiàn)可產(chǎn)生兩個(gè)不同的切點(diǎn)，故有兩條切線(xiàn)，其中一條就是以P為切點(diǎn)（即曲線(xiàn)在點(diǎn)P處）的切線(xiàn)，得證.

當(dāng)切點(diǎn)未知時(shí)，我們可以運(yùn)用結(jié)論7和結(jié)論8來(lái)求曲線(xiàn)切線(xiàn)的方程.

通過(guò)上述說(shuō)明，大家能體會(huì)到有關(guān)三次函數(shù)的結(jié)論在解題中的優(yōu)越性和便捷性.運(yùn)用三次函數(shù)的相關(guān)結(jié)論來(lái)處理與高次函數(shù)或者三次函數(shù)相關(guān)的圖象、單調(diào)性、極值、最值、不等式、恒成立、存在性等問(wèn)題，非常便捷、高效.

（作者單位：江蘇省南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校仙林分校）