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    怎樣確定含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類討論的“分界點(diǎn)”

    2021-11-24 07:17:51范帥江
    關(guān)鍵詞:分界點(diǎn)判別式零點(diǎn)

    范帥江

    分類討論思想是高巾數(shù)學(xué)中的重要思想之一,主要應(yīng)用于解答出現(xiàn)的情況種類較多的問(wèn)題.在運(yùn)用分類討論思想解答含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí),常常需對(duì)不同的情況進(jìn)行分類討論,然而很多同學(xué)卻無(wú)法找到含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類討論的“分界點(diǎn)”,導(dǎo)致解題出錯(cuò).事實(shí)上,解題的關(guān)鍵在于如何確定含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類討論的“分界點(diǎn)”.筆者認(rèn)為可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考慮.

    一、討論方程的判別式

    很多導(dǎo)數(shù)問(wèn)題要求討論函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、最值、極值、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等.解答這些問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用分類討論思想,討論求導(dǎo)后方程f'(x)=0的判別式與0之間的關(guān)系,進(jìn)而確定f'(x)=0的實(shí)數(shù)解.一般地,若△>0,方程有2個(gè)解;若△=0,方程有1個(gè)解;若△<0,方程無(wú)解.

    例1.已知函數(shù)f(x)=lnx+

    ( ∈R).若當(dāng)x>l時(shí),不等式f(x)<0恒成立,求

    最小值.

    解:由當(dāng)A≥

    時(shí),方程

    的判別式△:l-4 2≤0,所以當(dāng)x>l時(shí),f'(x)<0,導(dǎo)數(shù)f (x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,且廠(1)=0,故f(x)<0在區(qū)間(l,+∞)上恒成立,

    ①當(dāng)o< < 時(shí),方程

    +x- =0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,且0<所以當(dāng)x∈1=

    f(x)>o,導(dǎo)數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(1)=0,f(x)>0恒成立,與題意不符;

    ②當(dāng)A≤0時(shí),f(x)=lnx+

    ≥In x,因?yàn)閥= Inx在區(qū)間(1,+∞)上恒為正數(shù),所以f(x)>o在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,與題意不符;

    綜上所述,當(dāng)x>l時(shí),不等式f(x)<0恒成立,的最小值為

    。

    解答本題的關(guān)鍵在于確定分類討論的分界點(diǎn).在求出導(dǎo)函數(shù)后,根據(jù)方程-

    x2+x -

    =0的判別式與0之間的關(guān)系來(lái)確定參數(shù)

    的取值范圍,然后再對(duì)應(yīng)的區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系,確定函數(shù)的單調(diào)性,以便構(gòu)造出滿足不等式f(x)<0恒成立的條件,求得A的最小值.

    二、討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

    與零點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題在含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中并不少見.在進(jìn)行分類討論時(shí),要重點(diǎn)討論導(dǎo)函數(shù)f(x)=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及分布情況,在每種情況下討論參數(shù)的取值、函數(shù)的單調(diào)性、極值的大小等,最后綜合所有分類討論的結(jié)果,得到符合題意的答案.

    例2.已知函數(shù)f(x)=a

    ∈R,若方程2f(x) -lnx+x+2 =0有三個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    解:令g(x)=2f(x)-Inx+x+2= (2a - l)lnx+

    +x+2,g'(x)=

    (x>0),

    ①若a≥0,則當(dāng)X∈(o,1)時(shí),g'(x)0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)最多有2個(gè)零點(diǎn);②若a=

    ,則x∈(0,+∞),g'(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)最多有1個(gè)零點(diǎn);③若—

    解得

    ,則當(dāng)x∈(o,1)或x∈(-2a,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)在(0,1)和(-2a,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)X∈(I,-2a)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

    要使導(dǎo)數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn),則有解得

    ,而g(e-2)= 4+e-2+2a(e2 -2)<0,g(e2)= e2+ 2a(e-2+2)>o,

    綜上所述,若方程2f (.x) - Inx +x +2=0有三個(gè)解,則a的取值為

    .

    我們將方程有解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)的問(wèn)題,通過(guò)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況,進(jìn)而求得參數(shù)a的取值范圍.

    總之,在解答含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí),同學(xué)們?cè)趯?duì)函數(shù)求導(dǎo)后要明確分類的對(duì)象是方程f'(x)=0的判別式或者y=f'(x)的零點(diǎn),然后確定分類討論的“分界點(diǎn)”,討論判別式與0之間的關(guān)系、零點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而快速找到解題的思路.

    (作者單位:江蘇省啟東市第一中學(xué))

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