例談求圓錐曲線離心率的三種方法

何廣

離心率是圓錐曲線的基本性質.求圓錐曲線的離心率問題在解析幾何中比較常見，主要考查圓錐曲線的方程、簡單幾何性質.筆者總結了求圓錐曲線離心率的三種方法，以幫助同學們提升解答此類問題的速度和正確率.

一、公式法

公式法是指利用圓錐曲線的離心率公式e=

來解題的方法.在運用公式法解題時，首先根據(jù)題意和圓錐曲線的方程求出a、b、c的值或相關的關系式，然后利用圓錐曲線的離心率公式e=

來求得結果.

例1.點P（一3.1）在橢圓

=l（a>6>o）的左準線上，過點P且方向為a=（2，-5）的光線經(jīng)直線y= -2反射后通過橢圓的左焦點，求橢圓的離心率.

解：由題意可知，入射光線的直線方程為y—l=一

（x+3），

其反射光線的直線方程為5x-2y+5=0，

解得a=

，c=l，

故：=

本題不僅考查了圓錐曲線的準線方程、離心率、焦點坐標以及對稱問題，還考查了物理中的反射問題，題目的綜合性較強.解答本題的關鍵在于結合題意求出左焦點的坐標，建立關于a、c的方程，然后利用圓錐曲線的離心率公式求得結果.

二、齊次式法

運用齊次式法解題的基本思路是，首先根據(jù)問題的條件找到建立關于a、b、c的關系式，然后構造出有關a、c的二次齊次式，得到關于e的方程，解方程就可以求得圓錐曲線離心率的大小.運用齊次式法求圓錐曲線的離心率，能使解題的思路變得更加清晰.

例2.設雙曲線

=1（o

解：由題意可知直線L的方程為bx +ay-ab =0，

由點到直線的距離公式可得

，

C2 =a2 +b2，

4ab=

，

將上式兩邊平方可得16a2（c 2一a 2）= 3 c4，

左右同時除以n2可得3e4一16e2+ 16=0，

解方程可得。e 2=4或 e 2=

又o

，

e2 =4.e=2.

齊次式法是求解圓錐曲線離心率的常用方法之一.在上述解題的過程中，對有關a、b、c關系式的整理和化簡是解題的關鍵.

三、定義法

在求解圓錐曲線離心率問題時，我們經(jīng)常要用橢圓的第二定義來解題.圓錐曲線的第二定義是動點到焦點的距離和動點到準線距離之比等于離心率.定義法一般適用于解答與圓錐曲線的準線有關的問題.

例3.設橢

a>0，b>0）的右焦點為F1.右準線為L1，若過F1垂直于x軸的弦長等于點F1到L 1的距離，則橢圓的離心率為____.

解：根據(jù)題意作出如圖所示的圖形，其中AB是過點F1且垂直于x軸的弦，

因為AD

于D，所以IADI為F.到準線f.的距離，

根據(jù)橢圓的第二定義可得

解答本題，我們直接利用了橢圓的第二定義.畫出恰當?shù)膱D形，作出動點到焦點的距離和動點到準線距離對應的線段，是運用定義法解題的關鍵.

總之，公式法、齊次式法、定義法都是能有效解答圓錐曲線離心率問題的方法.值得注意的是，運用公式法、齊次式法解題，需要熟練掌握一些恒等變形的技巧;運用定義法解題，需結合圓錐曲線的定義畫出正確的圖形.

（作者單位：山東省鄆城縣實驗中學）