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    盛液體燒杯重心位置的探討

    2021-11-24 09:02:30李福奇
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關(guān)鍵詞:液面燒杯質(zhì)心

    李福奇

    (甘肅省蘭煉一中 730060)

    在高一的教輔資料中,有這樣的一道習(xí)題.

    原題:如圖1所示,圓桶形容器內(nèi)裝有一定量的某種液體,容器和液體整體的重心正好位于液面上的O點(diǎn),現(xiàn)將液體倒出少許,則關(guān)于整體重心位置的變化下列說法正確的是( ).

    圖1

    A.下降 B.上升 C.不變 D.不確定

    對(duì)于這個(gè)題,參考答案給出了這樣的解析:

    解析當(dāng)液體全部倒出時(shí),重心在O點(diǎn)上方,當(dāng)液體倒出少許時(shí),液體的重心是下降的,故整體的重心可能下降,也可能上升,要看倒出液體的質(zhì)量.故選D.

    從這個(gè)題的解析可以看出,由于倒出液體的質(zhì)量的多少不確定,給出了系統(tǒng)重心位置的變化不確定的結(jié)果.而對(duì)于盛液體的燒杯系統(tǒng)重心的具體變化過程,答案沒有給出明確的分析.有學(xué)生對(duì)于這個(gè)問題產(chǎn)生了如下質(zhì)疑:

    如圖2所示,初始狀態(tài)盛液體的燒杯系統(tǒng)重心在液面O點(diǎn)處.由于倒出部分液體,可以將系統(tǒng)分為倒出的液體和剩余部分(燒杯和剩余的液體)兩部分.從燒杯中倒出的液體重心設(shè)為A處,剩余的液體及燒杯的重心設(shè)為B處.現(xiàn)在將倒出的液體取走,剩余的液體及燒杯的重心依然不變,則系統(tǒng)的重心從O點(diǎn)移到B點(diǎn),重心位置升高.學(xué)生認(rèn)為答案應(yīng)該是B.

    圖2

    學(xué)生對(duì)于這樣的分析,是合理的.若要得到盛液體燒杯的重心位置具體變化過程,需要通過定量計(jì)算來分析重心的位置變化.對(duì)于由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)重心的位置,可以由質(zhì)心公式表示.

    如圖3所示,設(shè)燒杯的高度為H,燒杯的截面積為S,液體的密度為ρ,以燒杯底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),燒杯中心軸為x軸,取燒杯質(zhì)心位置為H0,注入液體的深度為h,則液體的質(zhì)心位置h0,則系統(tǒng)的質(zhì)心x可以由質(zhì)心位置公式表示為:

    圖3

    其中x隨h0而發(fā)生變化,對(duì)方程進(jìn)行變形整理

    由均值不等式,其中

    取最小值的條件是:

    則x的最小值為:

    =2h0=h

    即燒杯與液體組成的系統(tǒng)重心在液面處時(shí),系統(tǒng)的重心位置最低.

    綜上所述,若是注滿液體的燒杯,將燒杯里的液體逐漸倒出,系統(tǒng)重心先降低后升高.當(dāng)系統(tǒng)重心降至液面處時(shí),燒杯與液體組成的系統(tǒng)重心位置最低.此時(shí)繼續(xù)倒出燒杯的液體,系統(tǒng)重心位置又會(huì)上升,當(dāng)液體全部倒完時(shí),系統(tǒng)重心又會(huì)升至空燒杯重心處.

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