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    這種解法正確嗎
    ——對(duì)“一道極值問題的另一種解法”的探討和感悟

    2021-11-24 09:02:30劉永平
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關(guān)鍵詞:對(duì)稱性斜面極值

    劉永平

    (中央民族大學(xué)附屬中學(xué)海南陵水分校 572400)

    問題跳臺(tái)滑雪是勇敢者的運(yùn)動(dòng),它是利用山勢(shì)特點(diǎn)建造的一個(gè)特殊跳臺(tái).一運(yùn)動(dòng)員穿著專用滑雪板,不帶雪杖,在助滑路上獲得高速后從O點(diǎn)水平飛出,在空中飛行一段距離后在山坡上A點(diǎn)著陸,如圖1所示.已知可視為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)員水平飛出的速度v0=20 m/s,山坡看成傾角為37°的斜面,不考慮空氣阻力,求運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)水平飛出后到達(dá)與斜坡之間的距離最大處所用的時(shí)間及最大距離.(g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)

    圖1 圖2

    在這個(gè)解題過程中用到了EC=v0t1,為何EC=v0t1?式中的“t1”是運(yùn)動(dòng)員從O到達(dá)與斜坡之間的距離最大距離的時(shí)間,在“t1”內(nèi)的水平位移BD應(yīng)該等于v0t1,但這里用EC=v0t1計(jì)算結(jié)果也正確,說明了EC=BD,為啥這兩段相等呢?

    我們猜想:如果C點(diǎn)是OA的中點(diǎn),那EC就是△OFA的中位線,EC就是FA的一半.若“t1”是總時(shí)間的一半,那么BD也是FA的一半,這樣就得到EC=BD,那“t1”是總時(shí)間的一半嗎?

    證明如圖3所示,與斜坡之間的距離最大處的速度方向應(yīng)與斜坡平行.

    圖3

    由此可見,上面求解極值的過程已經(jīng)應(yīng)用了“運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)到達(dá)與斜坡之間最大距離的時(shí)間是總時(shí)間的一半”,實(shí)際形成了循環(huán)推理,所以上面的求解極值的方法應(yīng)該是不正確的.但由這個(gè)解答過程,我們不免可得到如下結(jié)論.

    1.運(yùn)動(dòng)員從O到達(dá)與斜坡之間的距離最大時(shí)的水平位移,數(shù)值上等于豎直位移、水平位移、總位移構(gòu)成的三角形的中位線,也就是只要物體從斜面的頂端水平拋出,且落在斜面上,都會(huì)得到這個(gè)結(jié)論的.

    2.運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)到達(dá)與斜坡之間的最大距離B點(diǎn)時(shí),所用時(shí)間是總時(shí)間的一半,但在一半時(shí)間里沿OA方向的位移并非是總位移的一半,即時(shí)間上具有對(duì)稱性時(shí),而空間上并沒有對(duì)稱性.

    空間上為什么沒有對(duì)稱性呢?

    證明:如圖4所示,沿斜坡和垂直斜面方向建立平面直角坐標(biāo)系,將v0和G,分別向X軸進(jìn)行分解,可得,沿斜坡方向做的是初速度為v0cosθ,加速度為Gsinθ勻加速直線運(yùn)動(dòng),所以沿OA方向時(shí)間對(duì)稱時(shí),位移并非稱.

    圖4

    從以上的證明思路我們發(fā)現(xiàn),在解決平拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí),有時(shí)可以沿平拋運(yùn)動(dòng)位移方向和垂直于位移方向建立直角坐標(biāo)系,將一個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為“斜上拋運(yùn)動(dòng)”去分析,可能使問題簡單化.

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