賞析立體幾何中的創(chuàng)新問題

焦玉梅

(山東省德州市慶云縣第一中學(xué) 253700)

立體幾何的常規(guī)題型只要掌握常規(guī)知識(shí)點(diǎn)并加以理解，即可求得相關(guān)問題.但對(duì)于創(chuàng)新問題不僅要掌握相關(guān)知識(shí)，還要能夠較好地對(duì)問題進(jìn)行深入思考，才能破解試題.

一、學(xué)科交叉

點(diǎn)評(píng)本題與赤道緯度相互結(jié)合，考查了空間相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，意在對(duì)學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力進(jìn)行檢測(cè).

二、實(shí)際應(yīng)用

例2 如圖2，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長(zhǎng)的一半，在該正方體側(cè)面CDD1C1上有一個(gè)小孔E，點(diǎn)E到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜(CD始終在桌面上)，則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面CDD1C1與桌面所成角的正切值為( ).

解析由題意知，水的體積為4×4×2=32，如圖2.

設(shè)正方體水槽繞CD傾斜后，水面分別與棱AA1,BB1,CC1,DD1交于點(diǎn)M,N,P,Q,由題意，知PC=3，水的體積為SBCPN·CD=32.

在平面BCC1B1內(nèi)，過點(diǎn)C1作C1H//NP交BB1于點(diǎn)H，則四邊形NPC1H是平行四邊形，且NH=PC1=1.

又側(cè)面CDD1C1與桌面所成的角即側(cè)面CDD1C1與水面MNPQ所成的角，即側(cè)面CDD1C1與平面HC1D1所成的角,其平面角為∠HC1C=∠B1HC1.

點(diǎn)評(píng)本題以正方形為載體進(jìn)行考查，解題的關(guān)鍵是建立等式求得BN的值，再將二面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中即可求解.

三、數(shù)列與立體幾何交匯

例3斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1,1,2,3,5，…為邊的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．圖5為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形作圓錐的側(cè)面，則該圓錐的體積為( ).

解析根據(jù)已知可得所求扇形半徑為r=3+5=8，即圓錐母線長(zhǎng)為l=8.

點(diǎn)評(píng)本題主要根據(jù)斐波那契數(shù)得圓弧的半徑為8，然后根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖計(jì)算出圓錐的底面半徑和高，從而可得體積.

四、數(shù)學(xué)文化

例4牙雕套球又稱“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，工藝要求極高.明代曹昭在《格古要論·珍奇·鬼工毬》中寫道：“嘗有象牙圓毬兒一箇，中直通一竅，內(nèi)車數(shù)重，皆可轉(zhuǎn)動(dòng)，故謂之鬼工毬”.現(xiàn)有某“鬼工球”，由外及里是兩層表面積分別為100πcm2和64πcm2的同心球(球壁的厚度忽略不計(jì))，在外球表面上有一點(diǎn)A，在內(nèi)球表面上有一點(diǎn)B，連接線段AB.若線段AB不穿過小球內(nèi)部，則線段AB長(zhǎng)度的最大值是( ).

解析因?yàn)橥馇虻谋砻娣e為100πcm2，內(nèi)球的表面積為64πcm2，所以外球的半徑為5cm，內(nèi)球的半徑為4cm.

點(diǎn)評(píng)本題首先根據(jù)題意確定外球的半徑以及內(nèi)球的半徑，然后以外球表面上一點(diǎn)A、內(nèi)球表面上一點(diǎn)B以及球心O作截面，根據(jù)線段AB不穿過小球內(nèi)部得出線段AB與內(nèi)球相切時(shí)線段AB的長(zhǎng)度最大，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果.

五、古代建筑與立體幾何

A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米

B．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3米

解析如圖8，在正四棱錐S-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，則SH⊥AB.

故選AC.

點(diǎn)評(píng)利用已知條件畫出圖象，設(shè)O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a，利用線面角的定義得出∠SHO=30°，根據(jù)已知條件得到各邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出正四棱錐的側(cè)面積即可.

六、命題角度創(chuàng)新

(1)求證：平面AOD⊥平面ABCO；

又OB?平面ABCO，所以平面AOD⊥平面ABCO.

所以M是BD的中點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)求二面角的正弦值，可分三步，第一步：求出兩個(gè)平面的法向量；第二步：求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值；第三步：由二面角范圍[0，π]知正弦值為正，由余弦值可得正弦值．本題的命題則拐了一個(gè)彎，先由二面角的正切值求得余弦值，從而再確定λ的值.