借助數(shù)形結(jié)合 解決數(shù)學(xué)難題

何映霞

(安徽省廬江第四中學(xué) 231500)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)全面了解數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，優(yōu)化課堂教學(xué)方式，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí).初中數(shù)學(xué)難題解答中，引入數(shù)形結(jié)合思想，將幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，借助代數(shù)方式解答幾何問題，利用幾何圖形解答代數(shù)問題，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，降低題目解答難度，有效解決數(shù)學(xué)難題.通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的有效利用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì).

一、借助數(shù)形結(jié)合使得難題簡(jiǎn)單化

在初中數(shù)學(xué)解題中，多數(shù)的數(shù)學(xué)題目看似簡(jiǎn)單，但其題目中隱藏著幾個(gè)干擾信息，并且數(shù)學(xué)題目主要是通過(guò)語(yǔ)言和數(shù)字進(jìn)行描述，使得題目較為冗長(zhǎng)繁瑣，解題較為枯燥，學(xué)生很容易掉入陷阱，使得學(xué)生解題出現(xiàn)錯(cuò)誤，甚至?xí)绊懙綄W(xué)生自信心，使得學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)心理.因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)形結(jié)合的引入，幫助學(xué)生解答難題，根據(jù)題目敘述通過(guò)圖形展示，清除題目中的干擾信息，獲取有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，降低題目解答難度，順利完成題目解答.

例1x、y、z均為介于(0,1)之間的數(shù)，求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)小于1.

解析根據(jù)題目中的已知，x、y、z均介于(0,1)并且出現(xiàn)了x(1-y)、y(1-z)、z(1-x)三個(gè)代數(shù)式，如果按照常規(guī)解題方式，難以完成題目求解，解題過(guò)程非常復(fù)雜，很容易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合方式，對(duì)題目進(jìn)行分析.教師首先讓學(xué)生畫出一個(gè)正方形，并且正方形的邊長(zhǎng)是1，之后，在邊上分別劃分部分，分別表示x、y、z，如圖1所示.通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行分析，將三個(gè)代數(shù)式轉(zhuǎn)化成圖形面積，并且做出相應(yīng)的分析.如x(1-y)表示其中的一個(gè)長(zhǎng)方形面積，同理對(duì)其他兩個(gè)代數(shù)式進(jìn)行分析.那么x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)則轉(zhuǎn)化成圖形面積，而正方形的面積是1，所以得出x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1成立.

通過(guò)對(duì)上述例題的分析，在數(shù)學(xué)難題解題時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)能夠引導(dǎo)學(xué)生正確利用圖形，將復(fù)雜題目簡(jiǎn)單化處理，幫助學(xué)生思考和解答難題，明確問題解決思路，找出其中的數(shù)量關(guān)系，提高學(xué)生解題效率.

二、借助數(shù)形結(jié)合使得難題形象化

數(shù)學(xué)學(xué)科具有比較強(qiáng)的邏輯性和抽象性，對(duì)于多數(shù)的初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，語(yǔ)言敘述較為枯燥，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，直觀形象的信息更能吸引學(xué)生，激發(fā)學(xué)生探究欲望.雖然初中學(xué)生已經(jīng)具備一定的抽象思維，但是，在實(shí)際的數(shù)學(xué)難題解答中，依然有著一定的難度.如果學(xué)生面對(duì)難題，能夠結(jié)合題目意思，將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化成直觀的圖形，可以幫助學(xué)生對(duì)已知條件進(jìn)行整理，尋找其中蘊(yùn)藏的信息，有效理解題目?jī)?nèi)容，找出難題解答突破點(diǎn)，有效解答數(shù)學(xué)難題.

例2如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+ax+b和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(1,0)、B(3,0)，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，直線BP與y軸的交點(diǎn)是C.(1)求解拋物線y=-x2+ax+b的解析式；(2)當(dāng)P點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求解P點(diǎn)坐標(biāo).(3)在(2)的條件下，求解sin∠OCB的值.

解析(1)根據(jù)A、B的坐標(biāo)，代入拋物線y=-x2+ax+b中，得出a、b的值，完成解析式求解.

(2)的解答中，根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0的條件，確定P的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入解析式，得出P的坐標(biāo).

對(duì)上述例題進(jìn)行觀察和分析，明確題目的意圖和思路，畫出相應(yīng)的幾何圖形，將題目更好的展示出來(lái)，促進(jìn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)抽象向具體的轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生充分理解已知和未知信息，有效解答數(shù)學(xué)難題.

三、利用數(shù)形結(jié)合分析數(shù)學(xué)難題

在初中數(shù)學(xué)難題的分析中，引入數(shù)形結(jié)合的思想，可以幫助學(xué)生正確理解數(shù)與形的關(guān)系，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)理念，靈活利用數(shù)形結(jié)合思想，完成數(shù)學(xué)難題解答.在初中數(shù)學(xué)中，一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)是重要的知識(shí)，并且這些知識(shí)內(nèi)容較為抽象，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，題目解答較為困難.面對(duì)數(shù)學(xué)難題，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助學(xué)生有效分析數(shù)學(xué)題目，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

例3 某人的生活費(fèi)用是通過(guò)家教服務(wù)勞動(dòng)獲得的，此人每天家教服務(wù)時(shí)間是x小時(shí)，該月得到的費(fèi)用是y元，已知此人的基本工資是150元，x和y之間的函數(shù)圖像如圖3所示，根據(jù)圖象求解此人每月的生活費(fèi)是多少？

解析根據(jù)題目意思以及圖象分析可以得出，此人的基本工資是150元，每個(gè)月家教時(shí)間在20小時(shí)內(nèi)，績(jī)效是每小時(shí)2.5元，家教時(shí)間超過(guò)20小時(shí)，超出20小時(shí)的部分，每小時(shí)是4元.通過(guò)這樣的方式，列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，完成題目的求解.

在數(shù)學(xué)難題解答時(shí)，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行觀察，發(fā)掘圖像中隱藏的已知信息，明確函數(shù)解題方式，深入發(fā)掘和分析題目，將數(shù)形結(jié)合思想滲透其中，幫助學(xué)生思考和解答難題，提高學(xué)生解題效率.

四、借助數(shù)形結(jié)合強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用

通過(guò)數(shù)學(xué)解題教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生知識(shí)理解，鍛煉學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力.以往的初中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生常常采取生搬硬套的方式，使得題目解答較為困難，影響學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和應(yīng)用，不利于學(xué)生解題能力培養(yǎng).作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)改變以往的教學(xué)模式，在數(shù)學(xué)難題解答環(huán)節(jié)，加強(qiáng)課堂指導(dǎo)和引導(dǎo)，靈活利用數(shù)形結(jié)合方式，完成數(shù)學(xué)難題的分析和解答，提高學(xué)生解題效率，并且鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力.

解析在此題解答時(shí)，通過(guò)閱讀題目?jī)?nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合，畫出相應(yīng)的數(shù)軸，對(duì)題目進(jìn)行分析，在數(shù)軸上找到E點(diǎn)的位置，完成題目的解答，計(jì)算出E點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).通過(guò)對(duì)數(shù)形結(jié)合方式的利用，對(duì)有理數(shù)的絕對(duì)值和相反數(shù)的概念進(jìn)行利用，完成數(shù)學(xué)難題的分析和解答.通過(guò)這樣的方式，幫助學(xué)生更好的解題，保證學(xué)生解題效率.

數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想，也是學(xué)生數(shù)學(xué)解題的重要方式.因此，在數(shù)學(xué)難題解答中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生靈活利用數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，有效解答數(shù)學(xué)難題，豐富學(xué)生解題體驗(yàn)，鍛煉學(xué)生解題能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力提升.