高中數(shù)學解題中應用構造法的總結

劉曉妮

(江蘇省無錫市第一中學 214041)

想要讓學生靈活使用構造法，必須采取科學訓練方式.學生不僅要扎實掌握基礎知識，還要善于分析題目，根據固定方式，經過有限步驟來解決問題.許多學生習慣于遵循正向方式解題，從已知條件推理出未知條件，而后逐漸解決問題.但是，高中數(shù)學中的一些問題有著較強的靈活性，學生必須轉變思考角度和方向才能有效解題，構造法就是一種創(chuàng)新解題手段.

一、觀察是使用構造法的基礎

對于構造性題目，指導學生“多看多練”，使其提升自身觀察能力.在習題課和平時教學中滲透這類題目，例如：根據直線方程觀察這條直線是否過某一點，結合函數(shù)圖象觀察目標函數(shù)的特點.構造法的關鍵在于構造，觀察則是使用構造法的第一步.

例1請證明不等式logx(x+y)>logx+z(x+y+z),x>1,y，z>0.

分析此題是關于對數(shù)函數(shù)的不等式.分析這個不等式的兩邊，會發(fā)現(xiàn)兩邊的結構存在一定關系.兩邊都屬于對數(shù)函數(shù)，那么需要從對數(shù)函數(shù)的特點著手，分別對真數(shù)和底數(shù)進行觀察，進而得出如下結論：不等式兩邊的真數(shù)比底數(shù)多出一個y.構造函數(shù)f(t)=logt(t+y)，進一步分析，多出的這個y有什么作用，這一步采用了構造法.只需要接著證明f(x)>f(x+z)就能證明以上的不等式，也就是說，需要證明f(t)是減函數(shù).

在分析題目時，首先使用直接構造的方式，也就是直接構造反例或者符合題目條件的數(shù)學對象來論證，進行存在性證明.如果發(fā)現(xiàn)題干中有“存在”和“有一個”，那么往往能使用直接構造法.如果采用常規(guī)構造模式難以解題，過渡并不順利，那么需要分析觀察數(shù)量特征、結論和條件，構造新的數(shù)學對象，這屬于間接構造法，使用A對象來輔助解決B問題.

二、通過聯(lián)想發(fā)展構造能力

一些學生的聯(lián)想能力不強，在構想方法、模型、圖形、式子時，難以順利構造和設計，這是影響學生構造能力的主要因素.在使用構造法解決高中數(shù)學題目時，僅僅依靠觀察無法達到目的，還需要具備一定的想象力，教師可以用以下的題目培養(yǎng)構造能力.

圖1

三、構建完善的數(shù)學知識結構

如果學生的數(shù)學知識體系不完善，那么會被知識體系限制，難以跳出自己的思維框架進行構造，在這種狀態(tài)下難以擺脫對數(shù)學題的負面情緒.在具備扎實的數(shù)學基礎和完善的知識體系前提下，才能進行構造和聯(lián)想.

學生在掌握復數(shù)、導數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、算法和平面幾何知識之后，形成了關于高中函數(shù)知識的知識網，在解決這個題目時，快速搜索必要信息，進行合理構造，快速解決問題.

四、利用生活知識構造數(shù)學模型

在高中數(shù)學解題教學中引入生活化題目，引導學生探索和觀察生活中的數(shù)學現(xiàn)象，分析數(shù)量關系和空間形式，結合生活經驗構建數(shù)學模型.采用這種方式，能讓問題更加通俗易懂.

例4 一個班級去野炊，大家圍坐在一起，如果相鄰的學生性別相同，那么在中間放一個青蘋果，如果相鄰的學生性別不同，那么在中間放一個砂糖橘.在活動中大家發(fā)現(xiàn)，砂糖橘和青蘋果的個數(shù)相同，證明這個班級男女的總數(shù)量必然是4的倍數(shù).

分析想要確定放砂糖橘還是蘋果，要分析兩邊學生的性別，性別屬于不同元素，可以使用希臘字母、阿拉伯數(shù)字、英文字母表示.在構造之前，首先選擇合適的符號代替學生的性別，使用正負來代表男女最方便，女生是-1，男生是+1，而后分析題干相關屬性和數(shù)理結構.

證明女生是-1，男生是+1，那么需要在(-1)(-1)或者(+1)(+1)之間擺放蘋果.如果是(-1)(+1)或者(+1)(-1)就需要擺放砂糖橘.進一步分析，如果兩數(shù)的乘積是-1，那么需要擺放砂糖橘，如果是+1，那么需要擺放青蘋果.這個問題進一步轉變成排列問題：a1,a2,a3，…,an是一個排列，它們都是-1或者+1，如果a1a2+a2a3+…+ana1=0，那么n的數(shù)值必然是4的倍數(shù).

這個數(shù)列是從a1開始的，假設從a1開始，那么經過a4,a5,a6，…,an，再次回到第一個a1，符號變化的次數(shù)必然是偶數(shù)，得出a1=(-1)2k×a1，也就是說：a1a2+a2a3+…+ana1這個數(shù)列中，-1的個數(shù)是2k，是一個偶數(shù)，+1的個數(shù)是2k，因此-1以及+1的總數(shù)是4k，4k=n，可以得出這個班級學生的總人數(shù)是4的倍數(shù).

證明過程中使用了構造法，借助數(shù)學模型解決問題，在構造模型的基礎上，解釋題目中的數(shù)量關系和條件.對于高中數(shù)學中的組合問題、操作變換問題，利用這種方法都能發(fā)掘隱含元素，用模型巧妙解題.

新課標背景下，教師要重視構造法教學，培養(yǎng)學生的構造能力.本文全面分析了構造法的應用技巧，總結了具體解題思路.應用構造法，有利于鍛煉學生的思維，在設置高中數(shù)學訓練題時，可以構造復數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學模型、反例、圖形、方程、函數(shù)等，用這些輔助對象解題.