軸向載荷下鋼絲繩有限元分析及可靠度模型*

林 海 曾世龍

甘肅省特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測研究院 蘭州 730050

0 引言

鋼絲繩由于其獨(dú)特的螺旋扭曲結(jié)構(gòu)和機(jī)械性能，廣泛用于航空航天，交通與建筑等領(lǐng)域。安全可靠地使用鋼絲繩是確保工程運(yùn)行的安全重要保障，影響著生產(chǎn)效率和工作人員的人身安全。如果電梯鋼絲繩斷線不加以處理，可能會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的事故和災(zāi)難[1]。例如，2013 年，某次電梯事故造成7人受傷，其中3人傷勢嚴(yán)重。涉及電梯和自動(dòng)扶梯的事故每年在美國造成31人死亡，約17 000人重傷。故設(shè)計(jì)安全可靠的鋼絲繩已在理論研究與工程應(yīng)用中受到廣泛關(guān)注。

許多研究人員提出了一系列數(shù)學(xué)模型計(jì)算鋼絲繩的整體機(jī)械性能。但由于這些模型在計(jì)算中的簡化，加工過程與實(shí)際情況存在偏差。且有些模型計(jì)算過程復(fù)雜，很難將相關(guān)的計(jì)算結(jié)果直接用于工程實(shí)踐。Kraincanici等[2]研究了鋼絲繩的機(jī)械性能，但強(qiáng)度較高的鋼絲繩，不僅對(duì)測試設(shè)備的要求很高，且僅能獲得一些宏觀力學(xué)指標(biāo)。因此，很多學(xué)者借助有限元仿真獲得鋼絲繩的力學(xué)性能，能獲得很多有用的微觀力學(xué)指標(biāo)。Nawrocki等[3]考慮了鋼絲之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)提出了一種基于笛卡爾等參公式的鋼絲繩有限元模型，該模型利用鋼絲繩的線旋轉(zhuǎn)控制鋼絲繩的軸向運(yùn)動(dòng)，利用線滑動(dòng)控制了鋼絲繩彎曲運(yùn)動(dòng)。Judge等[4]建立了多層螺旋絞線電纜的3D有限元模型，并編寫了新程序生成模型復(fù)雜的幾何形狀和劃分有限元網(wǎng)格。Foti等[5]提出了模擬軸向扭轉(zhuǎn)載荷的鋼絲繩新模型。Yu等[6]考慮影響局部應(yīng)力分布和壽命性能的接觸條件，建立了7線絞線的3D有限元模型。

可靠性設(shè)計(jì)是考慮研究對(duì)象在各種隨機(jī)因素作用下的安全性問題，徐灝等[7]利用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型提出了機(jī)械強(qiáng)度可靠性設(shè)計(jì)的概念和方法。謝里陽等[8，9]認(rèn)為在可靠性分析中強(qiáng)度與載荷是一對(duì)對(duì)立關(guān)系，構(gòu)件失效是由于載荷大于其強(qiáng)度造成的結(jié)果。故建立了系統(tǒng)的可靠度干涉模型，該模型應(yīng)用于具有不同強(qiáng)度分布的零件組成的系統(tǒng)和各零件承受不同載荷的系統(tǒng)。

綜上所述，本文首先在Matlab中編程生成各根鋼絲的空間坐標(biāo)，導(dǎo)入SolidWorks中建立了6×19+FC型鋼絲繩三維模型。在Ansys里對(duì)鋼絲繩進(jìn)行模擬加載，研究鋼絲繩受載后的應(yīng)力分布，得到拉伸載荷下有限元分析結(jié)果，以應(yīng)力-強(qiáng)度干涉可靠性理論為基礎(chǔ)，結(jié)合最大應(yīng)力分布函數(shù)及材料強(qiáng)度分布函數(shù)，在考慮載荷作用次數(shù)情況下，建立了鋼絲繩在拉伸載荷下可靠度計(jì)算模型。

1 鋼絲繩數(shù)學(xué)建模

平直鋼絲繩在捻制過程中時(shí)，按順序分為一次纏繞鋼絲和二次纏繞鋼絲，對(duì)于單捻鋼絲繩或多股鋼絲繩股芯在捻制時(shí)都屬于一次捻制鋼絲，鋼絲繞繩芯按照一定的纏繞半徑和捻角進(jìn)行纏繞。平直鋼絲繩結(jié)構(gòu)明確的數(shù)學(xué)描述是通過一次空間螺旋曲線參數(shù)化表示的。

如圖1所示，一次纏繞鋼絲空間螺旋線的參量表示形式為

圖1 單根絲的一次纏繞曲線示意圖

式中：RD為一次纏繞半徑，φD為一次旋轉(zhuǎn)角。

如圖2所示，根據(jù)空間微分幾何理論，建立空間矢量關(guān)系，在一次螺旋線的基礎(chǔ)上，通過Frenet-Serret公式的相應(yīng)坐標(biāo)變換得出二次螺旋線空間矢量表達(dá)式為

圖2 二次纏繞曲線示意圖

式中：RL為一次纏繞半徑，φL為一次旋轉(zhuǎn)角，W為一次與二次鋼絲繩螺旋旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

根據(jù)中心線和絞線的方向，可分為交互捻或同向捻，同向W為正，交互時(shí)W為負(fù)。

2 三維建模及有限元分析

本文建模時(shí)將鋼絲繩視為幾何模型，約束相關(guān)的參數(shù)建立鋼絲繩的實(shí)體特征。確定所有繩股軸線和鋼絲繩軸線坐標(biāo)參數(shù)與函數(shù)后，在Matlab中編程生成各根鋼絲的空間坐標(biāo)，導(dǎo)入SolidWorks使用掃描選項(xiàng)建立6×19+FC型鋼絲繩三維模型。

將生成的三維模型保存為x.t格式，在Ansys APDL中導(dǎo)入幾何模型，按照表1參數(shù)進(jìn)行材料屬性設(shè)置。

表1 材料屬性

在有限元分析過程中，網(wǎng)格劃分質(zhì)量對(duì)分析結(jié)果的收斂性、精度及計(jì)算過程有重要影響。本文采用Solid中20 node 186單元，使用Smart Sizing Level 6自由劃分網(wǎng)格。

鋼絲繩模型運(yùn)動(dòng)方式采用運(yùn)動(dòng)耦合，即節(jié)點(diǎn)集合與參考節(jié)點(diǎn)發(fā)生剛體運(yùn)動(dòng)。在施加拉伸載荷時(shí)，邊界條件設(shè)置為一端進(jìn)行固定，限制端面所有節(jié)點(diǎn)的6個(gè)自由度。另一端施加拉伸面載荷，邊界條件為限定端面節(jié)點(diǎn)繞軸向旋轉(zhuǎn)，避免模型的每一根鋼絲繞各自軸向發(fā)生旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致與實(shí)際中的拉伸工況不符。

圖3 網(wǎng)格劃分

由圖4可得，拉伸載荷下受力變形較大的在加載端，結(jié)合圣維南原理分析，則應(yīng)力分布均勻，并未發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。最大等效應(yīng)力與應(yīng)變出現(xiàn)在鋼絲繩側(cè)股螺旋鋼絲交叉位置，在外側(cè)股交叉接觸部位形變最大。

圖4 鋼絲繩拉伸載荷下有限元分析

3 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論

應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型簡單有效地建立了應(yīng)力-強(qiáng)度之間的可靠性關(guān)系，應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型中的應(yīng)力和強(qiáng)度是2個(gè)隨機(jī)變量，故該模型可較好地用于解決鋼絲繩在拉伸載荷下可靠度的問題。

一般認(rèn)為當(dāng)鋼絲繩的可承受強(qiáng)度δ大于外部應(yīng)力S時(shí)，能夠保證鋼絲繩可靠工作。即為

如圖5所示，在鋼絲繩的設(shè)計(jì)階段t0，會(huì)留有一定的安全裕度來保證鋼絲繩的可承受強(qiáng)度δ大于外部應(yīng)力S。但隨著鋼絲繩的不斷工作，鋼絲繩內(nèi)部損傷不斷積累造成強(qiáng)度發(fā)生退化，導(dǎo)致在t1時(shí)刻，強(qiáng)度和應(yīng)力之間部分重疊，稱此現(xiàn)象為應(yīng)力強(qiáng)度干涉。

圖5 應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型

一般情況下，鋼絲繩的應(yīng)力分布概率密度函數(shù)f(S)和強(qiáng)度分布概率密度函數(shù)g(δ)都是服從于正態(tài)分布，在計(jì)算得到了應(yīng)力與強(qiáng)度的分布參數(shù)之后，則可采用數(shù)值積分的方式對(duì)可靠度進(jìn)行計(jì)算，具體方法為：

令ψ=δ-S，則可靠度為ψ＞0的概率，即

ψ的分布函數(shù)f(ψ)等于強(qiáng)度分布g(δ)和應(yīng)力分布f(S)的差。g(δ)和f(S)滿足正態(tài)分布時(shí)，f(ψ)=g(δ)-f(S)也滿足正態(tài)分布，即

式中：f(ψ)分布的均值為

f(ψ)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為

由ψ的定義可知，ψ為正時(shí)的概率即為鋼絲繩的可靠度，表示為

將f(ψ)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則有

由式(12)可知，當(dāng)ψ=∞時(shí)，有

當(dāng)ψ=0時(shí)，有

式中：z為應(yīng)力與強(qiáng)度的聯(lián)結(jié)系數(shù)，又被稱為概率安全裕度。

選擇鋼絲繩沿直徑方向上提取任意端面上的等效應(yīng)力，結(jié)合應(yīng)力和強(qiáng)度的分布參數(shù)后，可通過式(10)和式(14)計(jì)算出鋼絲繩不同可靠度下的安全系數(shù)，如表2所示。

由表2可得，同種狀態(tài)下，可靠度越高安全系數(shù)越低；不同種狀態(tài)下，同一可靠度中等效應(yīng)力值越高時(shí)，安全系數(shù)越低。通過仿真獲取鋼絲繩的應(yīng)力分布，并應(yīng)用可靠性理論建立應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，進(jìn)而分析、推導(dǎo)、計(jì)算鋼絲繩在指定工況下的可靠性，為鋼絲繩可靠性分析提供一種便捷方法。

表2 不同應(yīng)力狀態(tài)下可靠度的安全系數(shù)

4 結(jié)論

本文在Matlab中編程生成各根鋼絲的空間坐標(biāo)，導(dǎo)入SolidWorks中建立了6×19+FC型鋼絲繩三維模型。在Ansys里對(duì)鋼絲繩進(jìn)行模擬加載，研究鋼絲繩受載后的應(yīng)力分布，得到拉伸載荷下有限元分析結(jié)果，以應(yīng)力-強(qiáng)度干涉可靠性理論為基礎(chǔ)，結(jié)合最大應(yīng)力分布函數(shù)及材料強(qiáng)度分布函數(shù)，提出了一種鋼絲繩可靠度計(jì)算模型，經(jīng)驗(yàn)證該模型滿足工程需要。