雙波長離軸數(shù)字全息成像技術研究

葛 磊， 文永富*， 程灝波

1. 北京理工大學光電學院， 北京 100081； 2. 北京理工大學深圳研究院， 廣東 深圳 518057

數(shù)字全息顯微術(digital holographic microscopy，DHM)是數(shù)字全息術中非常重要的應用，它可以實現(xiàn)對物體三維形貌的定量、無損傷、非接觸、快速、全視場觀察，是一種新型光學顯微術[1-3]。傳統(tǒng)的DHM通常使用單一波長來記錄目標物體的全息圖，這對于表面光滑或表面光學高度不超過一個波長的物體特別有效。當物體的光學厚度大于一個波長時，由于提取相位信息時引入了反正切函數(shù)，其重建的相位圖分布在[-π,π]之間，形成包裹相位。通常，需要相位解包裹算法來獲得明確的相位圖[4]。

常見的數(shù)值相位解包裹算法有基于可靠性的相位解包裹[5]、最小范數(shù)法和最小二乘法相位解包裹等[6]。而且，當前數(shù)值解包裹算法都存在一定的問題，計算復雜耗時，當被測物體本身有間斷或者表面梯度很大時，數(shù)值解包裹算法可能引入不可預料的誤差，影響重建像的空間分辨率與時間分辨率，很難實現(xiàn)準確的三維成像[7]。為了解決這些問題，人們提出了雙波長數(shù)字全息技術[8-19]，該技術可以獲得具有更長的合成波長相位展開圖。雙波長數(shù)字全息顯微術是用兩個不同波長的激光進行記錄，分別獲取每個波長對應的相位圖，再求出兩者的相位差，即為等效波長的相位圖。如果兩波長合成的等效相位圖大于經(jīng)過物體的最大光程差，則可以直接獲得物體真實連續(xù)的相位分布，而無需進行相位解包裹運算。由于合成波長比兩個單一波長中的任何一個都長，這種方法大大擴展了測量的相位范圍。

本文提出了一種結合二向色鏡的可調離軸配置的雙波長離軸無透鏡全息成像系統(tǒng)，以記錄雙波長全息圖，包括一次拍攝中不同波長的兩個空間載波頻率。該系統(tǒng)對于雙波長全息圖中兩個載頻的調整是靈活的，特別適用于需要根據(jù)物體空間頻譜選擇載頻的情況。由于同時記錄兩個波長信息，且無需復雜的相位解包裹計算，該系統(tǒng)也可對三維物體進行實時測量。首先，本文介紹了雙波長離軸全息記錄和重建原理；其次，雙波長相位解包裹進行數(shù)值模擬；最后，將該系統(tǒng)分別對相位型物體和振幅型物體進行實驗測量，結果表明本文所提出的光路系統(tǒng)在測量微米級高度和階躍型物體具有一定優(yōu)勢，且結構簡單、調整靈活。

1 基本原理

1.1 離軸全息成像原理

在全息記錄過程中，假設物光和參考光為平面波，其分別可以表示為

O(x,y)=o(x,y)exp[jφo(x,y)]

(1)

R(x,y)=r(x,y)exp[jφr(x,y)]

(2)

式中，o(x,y)、r(x,y)分別表示物光波和參考光波的振幅分布，φo(x,y)、φr(x,y)分別表示物光和參考光的相位分布。被測物體的物光波和參考光波在CCD上進行干涉，形成干涉全息圖，其干涉條紋的強度分布見式(3)。

IH(x,y)=(O+R)2
=|O|2+|R|2+2·|O·R| cos(Δφ+x·ksinα)

(3)

式中，IH(x,y)為CCD上記錄的全息圖，Δφ為物光和參考光的相位差，k=2π/λ為波數(shù)，α為物光和參考光的離軸干涉角。被測物體的物光波和參考光波的干涉分量為式(3)第3項，對應頻譜的±1級，包含了物光波的振幅和相位信息。

同樣，當采用雙波長(λ1和λ2)同時記錄時，CCD上獲得的干涉強度可用式(4)描述。

(4)

式(4)中的第3項和第6項分別表示被測物體的物光波與參考光波(λ1)的干涉分量和參考光波(λ2)的干涉分量，即分別對應λ1頻譜的±1級和λ2頻譜的±1級。

得益于離軸干涉裝置，離軸記錄的數(shù)字全息圖可以實現(xiàn)頻譜分離，即“零級像”和“孿生像”能夠分開，因此也可以獲得更好的再現(xiàn)像質量。假設被測物體的最大空間頻率為fM，那么離軸記錄時參考光和物光的夾角α應該滿足以下條件：

sinα=3fMλ

(5)

在全息再現(xiàn)過程中，可以通過算法將被測樣品的全部信息恢復出來。全息再現(xiàn)算法有菲涅耳積分變換法、卷積法、角譜法等，本文采用角譜法對全息圖重建，由于其在推導過程中不存在限制近似條件，故該方法可以實現(xiàn)對衍射光波的準確描述。角譜算法對全息圖重建得到的物光波復振幅分布為

(6)

式中，fx=x/λd，fy=y/λd，d為再現(xiàn)距離，λ為波長，F(xiàn){·}、F-1{·}分別表示傅里葉變換和傅里葉逆變換。

最終再現(xiàn)像的光強和相位分布為

I(x,y;d)=|O(x,y;d)|2

(7)

(8)

式中，Im表示取復振幅的虛部，Re表示取復振幅的實部。

1.2 雙波長相位解包裹

由于在提取相位信息時引入了反正切函數(shù)，因此當樣品的高度或經(jīng)過物體的最大光程差大于入射光的波長時，會產(chǎn)生2π模糊，即相位會包裹在[-π,π]或[0,2π]之間。為了獲得樣本的準確相位，需要對相位進行解包裹[4]。本文將雙波長技術用于相位解包裹。當樣品的臺階高度大于單個波長時，引入了合成波長，在該波長處計算物體的高度。通過使用合成波長技術，不需要額外的相位展開算法，如圖2、圖3所示。該技術可以顯著減少計算時間并避免相位解包裹算法帶來了一些問題。

雙波長相位解包裹方法的實質是通過兩個波長的相位圖相減得到新相位圖，新相位圖相當于由一個更大的等效波長所得到的，因此當物體的光學高度小于這個等效波長時，相位圖將不再出現(xiàn)包裹。以反射式裝置為例，假設物體的高度為h，那么對于波長λi記錄下的數(shù)字全息圖，數(shù)值重建得到的相位分布可以表示為

(9)

在全息重建中，包裹相位通常是由于測量的光學高度大于一個波長而引起的。當mi的值大于零且不確定時，單波長相位圖中總是存在相位模糊，因此必須通過一些相位解包裹算法來解決。根據(jù)雙波長數(shù)字全息成像原理，如果合成波長Λ大于樣品的光學高度，則可以通過減去兩個包裹的單波長相位來獲得解包裹相位[9-11,20,21]。合成波長可用式(10)表示，展開的相位圖φΛ由式(11)計算。

(10)

(11)

雙波長相位展開實際上取決于合成波長的值。需要注意的是，如果合成波長小于待測樣品的光學厚度，則仍然存在相位模糊。這意味著兩個波長之間的差異太大而無法實現(xiàn)相位解包裹，在這種情況下|m2-m1|>0。當兩個單波長包裹相位的差值為負值時，需要加2π來求解相位跳變，此處為|m2-m1|=1。例如，在下面的第一個實驗中，兩個波長(450 nm和635 nm)的合成波長為1.54 μm，小于要測量的磁流變拋光得到的光學表面深度，因此會有殘留的包裹相位。但在第二個實驗中，合成波長遠遠大于USAF分辨率表面圖案鍍鉻的厚度(約90 nm)。

由式(11)，待測物體的高度可以表示為

(12)

式(12)中的相位差即相當于用等效波長Λ獲取的相位。顯然，等效波長Λ要比λ1和λ2大，而且λ1和λ2相差越小，Λ就越大。因此，只要選取合適的λ1和λ2，保證Λ大于物體表面光學高度，通過雙波長相位解包裹就能得到展開的正確相位。雙波長相位解包裹具體流程如圖1所示。

圖1 雙波長離軸全息無透鏡成像相位解包裹流程圖

2 數(shù)值模擬

數(shù)值模擬采用的兩個波長分別為λ1=450 nm和λ2=500 nm，可以計算得到其合成波長Λ=λ1λ2/|λ1-λ2|=4.5 μm。首先，模擬復雜的反射式高斯面[I(x,y)=0.12*peaks(1024)]，物體高度和深度均在1 μm左右，那么光經(jīng)物體表面反射后產(chǎn)生的最大光程約為4 μm，其值超過λ1和λ2兩個波長，但小于合成波長Λ。因此，利用雙波長技術，無需對該物體進行相位解包裹即可恢復其真實的相位信息，如圖2(c)所示。同樣，如果光經(jīng)物體表面反射后產(chǎn)生的最大光程差超過了合成波長，那么利用雙波長技術得到的仍是包裹相位。其次，數(shù)值解包裹算法可能對表面梯隊很大的物體失效，因此這里對傾斜階梯型物體雙波長相位解包裹進行了數(shù)值模擬，如圖3所示。此傾斜階梯型物體高度為0.8 μm，從圖3(a)、圖3(b)中可以明顯地看到相位的包裹。對兩個波長的包裹相位進行相減，得到合成波長相位圖，即圖2、圖3(c)所示?？梢钥吹较辔灰淹耆归_，不再有包裹。這是因為，模擬樣本的光學高度小于合成波長，兩波長的包裹相位相減后不會有相位間斷，即相減過程中沒出現(xiàn)負值，因此也無需對出現(xiàn)的負值補償2π。圖2、圖3(d)為被測物體的雙波長解相位后重建的三維高度圖。

圖2 雙波長相位解包裹數(shù)值模擬復雜高斯表面(所有圖像像素均為1024×1024)(a) 450 nm波長得到的相位圖； (b) 500 nm波長得到的相位圖； (c) 合成波長的相位圖像； (d) 物體的三維分布

圖3 雙波長相位解包裹數(shù)值模擬傾斜階梯型物體(所有圖像像素均為1024×1024)(a) 450 nm波長得到的相位圖； (b) 500 nm波長得到的相位圖； (c) 合成波長的相位圖像； (d) 物體的三維分布

通過重建的三維高度圖可以直觀地看出雙波長解相位可以拓展測量范圍，相較于單波長(可見光)一般測量范圍在400 nm，雙波長測量可以將范圍拓展3～10倍，甚至更多。且該過程沒有復雜的計算、計算量小，是較為理想的解包裹算法。

3 實驗裝置

為了驗證雙波長離軸全息無透鏡成像系統(tǒng)的可行性，實驗采用反射式離軸數(shù)字全息系統(tǒng)。兩個用于記錄的激光器分別為λ1=450 nm和λ2=635 nm的半導體激光器，根據(jù)式(10)計算可得兩波長的合成波長為Λ=1.54 μm。所用CCD為黑白相機，其分辨率為2592×1944，像素尺寸為2.2 μm×2.2 μm。實驗裝置如圖4所示。

圖4 雙波長離軸無透鏡全息成像系統(tǒng)示意圖

兩激光器發(fā)出的激光經(jīng)非偏振分光棱鏡BS1后合為一束，保證兩個波長的激光傳輸路徑嚴格一致，之后經(jīng)過聚光鏡(L1,f=30 mm)和準直鏡(L2,f=50 mm)進行擴束準直，中間采用視場光闌減少雜散光。光束準直后由物鏡(25×0.65NA)進行傅里葉變換，經(jīng)過小孔濾波后由L3(f=50 mm)進行傅里葉逆變換。準直光束經(jīng)分束器BS2分為兩路，一路照射樣本，一路照射二向色鏡(透射帶370～480 nm，反射帶520～610 nm，HGSP-500-D25，廣州恒洋電子科技有限公司)。物光由樣本反射后經(jīng)分束器直接投射到CCD(daA2500-14 μm，Basler)上，參考光由二向色鏡分為兩條彼此分離的光路：兩條各含一個波長的參考光光路，通過調整M1和M2在兩個波長中引入正交的載波。兩個波長參考光均以不同夾角與物光形成離軸干涉，干涉圖樣如圖5(a)所示。圖5(b)顯示了雙波長全息圖的頻譜。λ1和λ2的+1級頻譜分別用藍色和紅色方框標記。為了重建雙波長全息圖，可以選擇不同波長的+1階頻譜，然后利用角譜法再現(xiàn)，得到原始物波場Eo1和Eo2，其強度圖分別為圖5(c)和圖5(d)。為了減少λ1和λ2之間的串擾，一般調整干涉條紋方向使其正交干涉，如圖5(a)所示。

圖5 磁流變拋光表面全息圖和重建強度圖(a) 雙波長離軸數(shù)字全息圖； (b) 對應(a)的傅里葉頻譜； (c)、(d) 分別為對λ1=450 nm和λ2=635 nm的重建強度圖

4 結果與討論

以下所有結果均根據(jù)圖1所示的數(shù)值重建流程獲得。圖6(a1)顯示了λ1=450 nm的磁流變拋光表面的重建包裹相位圖。利用離散余弦變換(DCT)進行相位展開操作，展開的相位圖如圖6(a2)所示，其中相位范圍擴展到[-25,5](單位：弧度)，樣品的三維表面形貌如圖6(a3)所示，對應的高度分布曲線如圖6(a4)所示。從圖6(a1)～圖6(a4)可以看出，樣品并非光滑的，具有圓環(huán)形的凹陷。根據(jù)式(9)，樣品的真實深度可以計算為h=(φ·λ)/4π。

圖6(b1)～圖6(b4)顯示了λ2=635 nm重建的包裹相位、展開的三維相位圖、三維高度圖和對應的高度分布曲線。由于λ2相比λ1更大，其包裹相位條紋顯得較為稀疏，如圖6(b1)所示，其中相位范圍擴展到了[-15,5](單位：弧度)。可以看到的是，相比較圖6(a3)物體的三維高度，圖6(b3)無明顯變化。但樣本測量時噪聲的存在，一定程度影響了測量精度，同樣干擾了后面雙波長重建的效果。主要原因是，未對樣本進行預處理，例如去傾斜和去除背景。

圖6(c1)顯示了Λ=1.54 μm重建的包裹相位圖?？梢钥吹?，相較于圖6(a1)和圖6(b1)中6個包裹相位環(huán)，圖6(c1)中僅有2個包裹相位條紋。圖6(b2)和圖6(b3)為相位展開的三維圖和物體三維高度圖，其中相位范圍拓展到[-17,7](單位：弧度)，對應的高度分布曲線如圖6(c4)所示。

圖6 磁流變拋光表面測量結果(a1,b1,c1)分別為λ1、λ2和Λ重建包裹相位圖；(a2,b2,c2)分別為λ1 、λ2和Λ重建的解包裹相位圖；(a3,b3,c3)分別為λ1、λ2和Λ重建三維高度圖；(a4,b4,c4)分別為λ1 、λ2和Λ重建高度分布曲線

需要注意的是，當合成波長仍小于物體高度或者經(jīng)過物體的最大光程差時，雙波長技術解相位得到的仍是包裹相位。因此，人們希望合成波長盡可能大，這樣即可避免解相位的問題。根據(jù)式(10)，增大合成波長意味著減小|λ1-λ2|的值。然而當λ1和λ2之間差值過小會造成如下問題：一方面，系統(tǒng)對二向色鏡的規(guī)格要求更高，容易造成兩波長之間的串擾，加重級次的重疊偽影，從而降低重建像的分辨率；另一方面，隨著合成波長增大，對應的測量噪聲也會相應放大。從圖6可以看到，圖6(c1)～圖6(c4)比圖6(a1)～圖6(a4)和圖6(b1)～圖6(b4)有著更多的相位噪聲。事實上，這是因為在計算合成波長的過程中，物光O1、O2中的相位噪聲同樣被放大了，盡管測量的深度得到了極大的拓展。因此，具體操作時，一般先評估樣本的高度，再選擇合適的雙波長數(shù)字全息系統(tǒng)進行測量?；蛘撸葮硕p波長系統(tǒng)的測量誤差，然后在重建時，利用軟件對測量誤差進行補償。

圖7顯示了USAF 1951分辨率板的測量結果。λ1和λ2重建的包裹相位分別為圖7(a1)和圖7(b1)，與之相對比的合成波長Λ的相位為圖7(c1)?？梢钥吹?，合成波長的相位圖已沒有包裹相位。在折射率或梯度分布較大的情況下，這更便于樣品的相位展開操作。圖7(c3)顯示了從合成波長獲得的樣品表面形貌，結果與從λ1和λ2單波長獲得的結果基本一致，但多了很多噪聲。這是因為，雙波長技術在擴展了測量范圍的同時，也同步放大了噪聲。對于高度在100 nm左右的樣品，采用雙波長技術時需注意噪聲的放大問題。例如，當λ1=500 nm和λ2=502 nm差距只有2 nm時，雖然可以獲得足夠大的合成波長(Λ=125 μm)，但噪聲也會放大Λ/λ1倍，即在單波長測量的1 nm的噪聲也會變成250 nm的噪聲，這對測量只有100 nm高度的樣本誤差是致命的。因此，在實際測量過程中，尤其需要注意雙波長噪聲的問題。因此，我們可以采取以下措施來降低噪聲放大的影響：首先，可以在系統(tǒng)中添加旋轉毛玻璃或者選擇低相干光源照明，降低系統(tǒng)的相干噪聲；其次，預估測量樣本的高度，選擇合適的雙波長以得到與物體高度大致匹配的合成波長；最后，對雙波長全息系統(tǒng)的測量誤差進行標定，在后續(xù)重建時對測量誤差進行補償。

圖7 USAF分辨率板測量結果(a1,b1,c1)分別為λ1、λ2和Λ重建包裹相位圖；(a2,b2,c2)分別為λ1、λ2和Λ重建解包裹相位圖； (a3,b3,c3)分別為λ1、λ2和Λ重建三維高度圖；(a4,b4,c4)分別為λ1、λ2和Λ重建高度分布曲線

5 總結

我們提出了一種基于二向色鏡分光的反射式雙波長離軸無透鏡數(shù)字全息顯微系統(tǒng)，可以單次采集兩個離軸干涉圖，拓展測量深度且無需相位解包裹運算。結果表明，該系統(tǒng)可以有效克服傳統(tǒng)相位展開和重建算法在微結構成像中的局限性。該結構不僅可以提高全息圖的頻譜利用率，也大大減少了兩個波長之間的串擾，且方便引入載波，調整簡單。由于雙波長技術在拓展測量深度的同時也會放大相位噪聲，因此雙波長測量時相位噪聲的抑制就很有必要。例如，后續(xù)可以采用旋轉毛玻璃來進一步降低相干噪聲，或者采用低相干光源照明。