天體運(yùn)動(dòng)教學(xué)中應(yīng)該重視的拉格朗日點(diǎn)*

呂俊君

(九江市同文中學(xué) 江西 九江 332000)

近年我國成功發(fā)射了人類歷史上第一顆地月中繼衛(wèi)星，并賦予其極具中華傳統(tǒng)文化特色的名字“鵲橋”.后續(xù)，“鵲橋”將進(jìn)入環(huán)繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的使命軌道，完成嫦娥四號(hào)與地球之間中繼通訊的任務(wù).一時(shí)之間拉格朗日點(diǎn)成為學(xué)術(shù)界熱烈討論的話題，在中學(xué)的天體運(yùn)動(dòng)教學(xué)中，也出現(xiàn)了大量以拉格朗日點(diǎn)為背景素材的試題.那么拉格朗日點(diǎn)具備怎么樣的特征，“鵲橋”為什么能夠繞L2點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，教學(xué)中應(yīng)該如何處理這類問題呢？

1 平面圓形限制性三體問題

如圖1所示為一孤立的雙星系統(tǒng)，設(shè)兩星體質(zhì)量分別為M和m,星體間距離為R，雙星靠著相互的萬有引力圍繞系統(tǒng)的質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng).質(zhì)心O到星球M距離為x1，到星球m距離為x2，則有

圖1 雙星系統(tǒng)

如果在該雙星系統(tǒng)中，放入第3個(gè)質(zhì)量為m0的小物體，小物體不影響M與m的受力情況與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但小物體同時(shí)受到M與m的萬有引力作用并能夠與他們保持相對(duì)靜止，以共同的角速度繞質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小物體應(yīng)該放在什么位置？這就是“平面圓形限制性三體問題”，該問題有5個(gè)特解.1767年數(shù)學(xué)家歐拉根據(jù)旋轉(zhuǎn)的二體引力場推算出其中的3個(gè)點(diǎn)(特解)L1，L2，L3，1772年數(shù)學(xué)家拉格朗日推算出另外兩個(gè)點(diǎn)(特解)L4和L5；但后來習(xí)慣上將這5個(gè)點(diǎn)都稱為“拉格朗日點(diǎn)”[1].如圖2所示，L1點(diǎn)、L2點(diǎn)與L3點(diǎn)均在兩星體的連線上，L4點(diǎn)與L5點(diǎn)則分別與兩星體構(gòu)成等邊三角形.下面對(duì)這5個(gè)點(diǎn)進(jìn)行討論.

圖2 拉格朗日點(diǎn)

1.1 拉格朗日L1點(diǎn)的位置

設(shè)拉格朗日L1點(diǎn)處放置一質(zhì)量為m0的小物體可以在M與m共同的引力作用下繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并和M，m保持相對(duì)靜止.

設(shè)L1點(diǎn)到星體m的距離為x，令x=kR，對(duì)物體m0分析，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

(1)

對(duì)m分析，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

(2)

其中

(3)

由式(1)～(3)聯(lián)立解得

(4)

可以看出，式(4)即為拉格朗日L1點(diǎn)的通解方程，只要知道M與m的質(zhì)量之比，就可以求出k值，下面以日地系統(tǒng)為例計(jì)算.

y=(1-k3)(1-k)2-333 445[k2-k2(1-k)3]

通過賦值方法尋找到y(tǒng)為零時(shí)k的數(shù)值，利用MICROSOFT OFFICE EXCEL工作表對(duì)k賦值，計(jì)算出以下結(jié)果[2]，如表1所示.

表1 日地系統(tǒng)L1點(diǎn)賦值

當(dāng)k≈0.009 97時(shí)，y≈0.因此拉格朗日L1點(diǎn)距離地球約x=kR=1.49×109m處，即拉格朗日L1點(diǎn)在距離地球約149萬公里處.

在地月系統(tǒng)中，地球質(zhì)量

M=5.965×1024kg

月球質(zhì)量

m=7.349×1022kg

兩者質(zhì)量之比

地球與月球距離R=3.844×108m，構(gòu)造函數(shù)

y=(1-k3)(1-k)2-81.2[k2-k2(1-k)3]

同樣通過賦值法求出k數(shù)值，如表2所示.

表2 地月系統(tǒng)L1點(diǎn)賦值

當(dāng)k≈0.151時(shí)，y≈0.因此拉格朗日L1點(diǎn)距離月球約x=kR=5.80×107m處，即拉格朗日L1點(diǎn)在距離月球約5.80萬公里處.

1.2 拉格朗日L2點(diǎn)的位置

設(shè)L2點(diǎn)到星體m的距離為x，令x=kR，對(duì)物體m0分析，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

(5)

對(duì)m分析，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

(6)

其中

(7)

由式(5)～(7)聯(lián)立解得

在日地系統(tǒng)中，通過賦值法可得k≈0.010 03，因此拉格朗日L2點(diǎn)距離地球約x=kR=1.50×109m處，即拉格朗日L2點(diǎn)在距離地球約150萬公里處；在地月系統(tǒng)中，通過賦值法可得k≈0.168，因此拉格朗日L2點(diǎn)距離月球約x=kR=6.46×107m處，即拉格朗日L2點(diǎn)在距離月球約6.46萬公里處.

1.3 拉格朗日L3點(diǎn)的位置

設(shè)L3點(diǎn)到星體m的距離為x，令x=kR，對(duì)物體m0分析，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

(8)

對(duì)m分析，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

(9)

其中

(10)

由式(8)～(10)聯(lián)立解得

在日地系統(tǒng)中，通過賦值法可得k≈2.000，因此拉格朗日L3點(diǎn)距離地球約x=kR=2.99×1011m處；在地月系統(tǒng)中，通過賦值法可得k≈1.993，拉格朗日L3點(diǎn)離月球的距離x=7.66×108m.

1.4 拉格朗日L4和L5點(diǎn)的驗(yàn)證

物體m0同時(shí)受到M與m的引力作用，設(shè)合力方向交M與m的連線于O點(diǎn)，O點(diǎn)距離M的距離設(shè)為x，如圖3所示.

圖3 拉格朗日L4和L5點(diǎn)

在力三角形中，由正弦定理可得

通過計(jì)算整理,得

(11)

在幾何三角形中，由正弦定理得

(12)

將式(11)代入(12)并約去sinθ解出

可以發(fā)現(xiàn)，O點(diǎn)的位置就是M與m系統(tǒng)的質(zhì)心位置，說明，m0將圍繞M與m系統(tǒng)的質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與M和m保持相對(duì)靜止.

2 “鵲橋”繞地月系統(tǒng)L2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

為了探測月球背面的情況，必須在月球背面放置探測器，然而探測器的信號(hào)無法直接傳輸給地球.為了解決這一問題，需要一顆中繼衛(wèi)星傳遞信號(hào)，構(gòu)成地球和探測器間的橋梁，這就是“鵲橋中繼衛(wèi)星”(簡稱“鵲橋”).它的運(yùn)動(dòng)可以簡化為繞地球公轉(zhuǎn)的同時(shí)圍繞拉格朗日L2點(diǎn)自轉(zhuǎn).然而L2點(diǎn)沒有任何物體，為何會(huì)繞其運(yùn)行呢？不妨從動(dòng)力學(xué)角度進(jìn)行分析.

設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，“鵲橋”質(zhì)量為m0.L2點(diǎn)距離月球?yàn)閤，地月間距為R.m0的受力情況如圖4所示，其中地球?qū)0的引力大小為

圖4 鵲橋在旋轉(zhuǎn)參考系中的受力示意圖

月球?qū)0的引力大小為

按照?qǐng)D中所示建立x,y坐標(biāo)軸并將各個(gè)力正交分解，在x軸方向有

Fx=F離cosβ-F1cosα-F2cosθ=

由于地月系統(tǒng)的質(zhì)心O離月球很近，且L2點(diǎn)到月球的距離遠(yuǎn)大于月球的半徑，只需要很小的θ角就可以避開月球的阻擋實(shí)現(xiàn)中繼信號(hào)傳輸[3].可以近似認(rèn)為cosα≈1，cosθ≈1，可以化簡為

由1.2中方程(5)可知Fx=0.

在y軸方向有

Fy=F離sinβ-F1sinα-F2sinθ=m0ω2(x+x2)

由于α與β極小，故tanβ≈0，cosα≈1，cosθ≈1，可得

考慮到sinθ≈tanθ，可以求得

這就是“鵲橋”的自轉(zhuǎn)周期大小，可以發(fā)現(xiàn)其周期為一定值.

3 天體運(yùn)動(dòng)教學(xué)中的拉格朗日點(diǎn)

上面的分析均基于系統(tǒng)圍繞質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，事實(shí)上在日地系統(tǒng)中，由于太陽的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地球質(zhì)量，系統(tǒng)的質(zhì)心相當(dāng)靠近太陽.因此在中學(xué)階段，可將太陽看成靜止?fàn)顟B(tài)，地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地月系統(tǒng)中也是同理.在此基礎(chǔ)上，可以歸納出天體運(yùn)動(dòng)教學(xué)中常見的拉格朗日點(diǎn)模型特征如表3所示.

表3 常見的拉格朗日點(diǎn)模型特征

基于模型特征，中學(xué)物理對(duì)拉格朗日點(diǎn)通常有如下考查.

3.1 考查拉格朗日L1點(diǎn)

【例1】如圖5所示，拉格朗日點(diǎn)L1位于地球和月球的連線上，處在該點(diǎn)的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運(yùn)動(dòng).據(jù)此，科學(xué)家設(shè)想在拉格朗日點(diǎn)L1建立空間站，使其與月球同周期繞地球運(yùn)動(dòng).以a1,a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步衛(wèi)星向心加速度的大小.則以下判斷正確的是( )

圖5 例1題圖

A.a2>a3>a1B.a2>a1>a3

C.a3>a1>a2D.a3>a2>a1

解析：由于空間站和月球的角速度相同，月球軌道半徑大于空間站軌道半徑，根據(jù)a=ω2r可知，a2>a1.同步衛(wèi)星的周期為1天，月球周期約27天，而且兩者均只受到地球的吸引力，說明同步衛(wèi)星的軌道半徑小于月球.

3.2 考查拉格朗日L2點(diǎn)

【例2】如圖6所示，地月拉格朗日L2點(diǎn)在地球與月球的連線上，若衛(wèi)星在L2點(diǎn)，受到地球與月球兩大天體的引力作用，能與月球保持相對(duì)靜止.已知地球質(zhì)量和地月距離，若要計(jì)算L2點(diǎn)與地球的距離，只需要知道的物理量是( )

圖6 例2題圖

A.月球的質(zhì)量 B.衛(wèi)星的質(zhì)量

C.月球繞地球的運(yùn)行周期 D.引力常量

解析：設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，衛(wèi)星質(zhì)量為m0，月地距離為R，拉格朗日點(diǎn)到地球距離為x，其中只有M與R為已知量.

衛(wèi)星以角速度ω繞地球運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星同時(shí)受到太陽與地球的引力.據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，得

(13)

月球繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度也為ω，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有

(14)

由式(13)與式(14)聯(lián)立解得

(15)

由式(15)可知，在M與R已知的情況下，只需知道月球質(zhì)量m，即可求出x，正確答案為A.

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)衛(wèi)星和地球分別列出動(dòng)力學(xué)方程，學(xué)生需要去思考，為了求出x，需要知道哪些物理量，考查了逆向思維能力.

3.3 考查拉格朗日L4與L5點(diǎn)

【例3】兩個(gè)靠得很近的天體繞著它們連線上的一點(diǎn)(質(zhì)心)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成穩(wěn)定的雙星系統(tǒng).雙星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道平面上存在著一些特殊的點(diǎn)，在這些點(diǎn)處，質(zhì)量極小的物體(如人造衛(wèi)星)可以相對(duì)兩星體保持靜止，這樣的點(diǎn)被稱為“拉格朗日點(diǎn)”.現(xiàn)將地-月系統(tǒng)看作雙星系統(tǒng)，如圖7所示，O1為地球球心，O2為月球球心，它們繞著O1O2連線上的O點(diǎn)以角速度ω做圓周運(yùn)動(dòng).P點(diǎn)到O1與O2距離相等且等于O1O2間距離，該點(diǎn)處小物體受地球引力FE和月球引力FM的合力F，方向恰好指向O，提供向心力，可使小物體也繞O點(diǎn)以角速度ω做圓周運(yùn)動(dòng).因此，P點(diǎn)是一個(gè)拉格朗日點(diǎn).現(xiàn)沿O1O2連線方向?yàn)閤軸，過O1與O1O2垂直方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系；A,B,C分別為P關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)O1的對(duì)稱點(diǎn).D為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，到O1的距離小于P點(diǎn)到O1的距離.根據(jù)以上信息可判斷( )

圖7 例3題圖

A.A點(diǎn)一定是拉格朗日點(diǎn)

B.B點(diǎn)一定是拉格朗日點(diǎn)

C.C點(diǎn)可能是拉格朗日點(diǎn)

D.D點(diǎn)可能是拉格朗日點(diǎn)

解析：根據(jù)題中條件可知，P點(diǎn)處小物體受到地球和月球吸引力的合力指向地月系統(tǒng)的質(zhì)心，和月球以相同的角速度繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng).根據(jù)對(duì)稱性可知，A點(diǎn)必然是拉格朗日點(diǎn).B點(diǎn)和P點(diǎn)受到地球的引力大小相等，但受到月球引力比P點(diǎn)處受到月球引力小，其合力方向不可能指向地月系統(tǒng)的質(zhì)心，考慮到對(duì)稱性可知，B點(diǎn)與C點(diǎn)均不可能是拉格朗日點(diǎn).物體如果放在D點(diǎn)，同時(shí)受到地球和月球的吸引力，而地球在D點(diǎn)產(chǎn)生的引力加速度大于在月球處產(chǎn)生的引力加速度，說明放在D點(diǎn)處的物體的加速度一定大于月球，因此不能與月球保持相對(duì)靜止.因此答案為A.

點(diǎn)評(píng)：質(zhì)心是中學(xué)階段不做要求的知識(shí)點(diǎn)，本題先介紹了質(zhì)心的概念并解釋了P點(diǎn)是拉格朗日點(diǎn)的原因，要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)判斷其他點(diǎn)是否為拉格朗日點(diǎn).學(xué)生需要理解新的知識(shí)并學(xué)會(huì)應(yīng)用它解決新的問題，很好地考查了知識(shí)遷移能力.

3.4 鵲橋中繼衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)情景

【例4】2019年1月3日，嫦娥四號(hào)成功著陸在月球背面開始了對(duì)月球背面區(qū)域的科學(xué)考察之旅.由于月球在繞地球的運(yùn)行過程中永遠(yuǎn)以同一面朝向地球，導(dǎo)致地球上的任何基站信號(hào)都無法直接穿透月球與嫦娥四號(hào)建立聯(lián)系，為此，我國特意于2018年5月21日成功發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，如圖8所示，若忽略除地球和月球外其它天體的影響，運(yùn)行在地月引力平衡點(diǎn)(地月第二拉格朗日點(diǎn))的“鵲橋”的運(yùn)動(dòng)可簡化為同時(shí)參與了以L2點(diǎn)為中心的自轉(zhuǎn)和與月球一起繞地球的公轉(zhuǎn)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，以確保嫦娥四號(hào)和地球之間始終能夠正常地進(jìn)行通訊聯(lián)系.以下關(guān)于月球和中繼星“鵲橋”運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)中正確的是( )

圖8 例4題圖

A.月球的自轉(zhuǎn)周期與其繞地球的公轉(zhuǎn)周期一定是相同的

B.“鵲橋”的公轉(zhuǎn)周期一定大于月球的公轉(zhuǎn)周期

C.“鵲橋”自轉(zhuǎn)的周期一定等于其繞地球公轉(zhuǎn)的周期

D.“鵲橋”繞L2點(diǎn)自轉(zhuǎn)的向心力一定是地球和月球?qū)ζ淙f有引力的合力

解析：題干中明確指出，月球在繞地球的運(yùn)行過程中永遠(yuǎn)以同一面朝向地球，因此月球的自轉(zhuǎn)周期與其繞地球的公轉(zhuǎn)周期一定是相同的，故A正確；“鵲橋”的公轉(zhuǎn)周期與月球相同，故B錯(cuò)誤；題干中沒有給出“鵲橋”自轉(zhuǎn)周期的信息，因此“鵲橋”自轉(zhuǎn)周期不一定等于其繞地球公轉(zhuǎn)的周期，故C錯(cuò)誤；“鵲橋”同時(shí)參與了以L2點(diǎn)為中心的自轉(zhuǎn)和與月球一起繞地球的公轉(zhuǎn)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，“鵲橋”繞L2點(diǎn)自轉(zhuǎn)的向心力由地球和月球?qū)ζ淙f有引力、慣性離心力三者的合力，故D錯(cuò)誤.因此答案為A.

點(diǎn)評(píng)：“鵲橋”同時(shí)參與了繞地球的公轉(zhuǎn)與繞L2點(diǎn)的自轉(zhuǎn)，除了學(xué)習(xí)過物理競賽的同學(xué)，大部分同學(xué)都無法轉(zhuǎn)換參考系分析這類問題.但考慮到“鵲橋”同時(shí)參與了兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，可以定性得到D選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.A選項(xiàng)也具有隱蔽性，需要學(xué)生準(zhǔn)確地抓住“月球在繞地球的運(yùn)行過程中永遠(yuǎn)以同一面朝向地球”這句話的隱含條件.

4 結(jié)束語

研究拉格朗日點(diǎn)可以促進(jìn)對(duì)深空探測技術(shù)的突破和掌握，對(duì)空間探測的未來發(fā)展將起到重要的推動(dòng)作用[4].我國對(duì)該項(xiàng)技術(shù)的研究處于世界前列，在教學(xué)中滲透相應(yīng)內(nèi)容，不僅可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)天體運(yùn)動(dòng)知識(shí)的運(yùn)用，同時(shí)有利于樹立愛國主義情懷，增強(qiáng)民族自豪感.拉格朗日點(diǎn)在教學(xué)中應(yīng)該重視.